6.2.3平面向量基本定理及坐标 达标训练（含解析）

6.2.3平面向量基本定理及坐标达标训练
一、单项选择题
1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于(　　)
A．(6,3) B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
2．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A． B．
C．(3,2) D．(1,3)
4．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
5.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b B.a－b
C．a＋b D.a＋b
6．已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
7．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题
8．已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若平面α内的点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则下列命题正确的是(　　)
A．线段AB的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1
D．向量垂直于向量的充要条件是x1y2＋x2y1＝0
9．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)
A．－2 B．
C．1 D．－1
10．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是(　　)
图1　　　图2
A．－6 B．1 C．5 D．9
三、填空题
11．在 ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为________．
12．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________.
13．已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．
14．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
四、解答题
15．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
16.如图，在△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，设＝a，＝b.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若＝，判断C，D，E三点是否共线，并说明理由．
17．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
18.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
19．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC的延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．
参考答案
1．B
解析：2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．
2．D
解析：由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2.
故选D.
3．A
解析：设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，
又＝2，∴∴故选A.
4．D
解析：D
如图，建立平面直角坐标系xOy，设正方形网格的边长为1，则a＝(1,1)，b＝(0，－1)，c＝(2,1)，∴λa＋b＝(λ，λ－1)．∵λa＋b与c共线，∴λ＝2(λ－1)，解得λ＝2，故选D.
5．D
解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
6．C
解析：∵m∥n，∴sin A(sin A＋cos A)＝，
∴2sin2A＋sin 2A＝3.
∴sin＝1.
又A∈(0，π)，∴2A－∈.
由2A－＝得A＝.
故选C.
7．D
解析：
法一：依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，
则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，
于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是，
故选D.
法二：∵＝x＋－x，
∴－＝x(－)，即＝x＝－3x，
∵O在线段CD(不含C，D两点)上，
∴0＜－3x＜1，
∴－＜x＜0.
8．AC
解析：设线段AB的中点为M，则＝(＋)＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，
所以点M的广义坐标为，知A正确；
由于该坐标系不一定是平面直角坐标系，因此B错误；
由向量平行得＝λ，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)，所以x1y2＝x2y1，得C正确；
与垂直，即·＝0，所以x1x2e＋(x1y2＋x2y1)e1·e2＋y1y2e＝0，即x1y2＋x2y1＝0不是与垂直的充要条件，因此D不正确．
故选AC.
9．ABD
解析：各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD.
10．BC
解析：设＝a，＝b，求x＋y的最大值，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：
(1)若P在A点，∵＝a，∴(x，y)＝(1,0)；
(2)若P在B点，∵＝b，∴(x，y)＝(0,1)；
(3)若P在C点，∵＝＋＝a＋2b，∴(x，y)＝(1,2)；
(4)若P在D点，∵＝＋＋＝a＋b＋(a＋2b)＝2a＋3b，∴(x，y)＝(2,3)；
(5)若P在E点，∵＝＋＝a＋b，∴(x，y)＝(1,1)；
(6)若P在F点，∵＝＋＝a＋3b，∴(x，y)＝(1,3)．
∴x＋y的最大值为2＋3＝5.
根据对称性，可知x＋y的最小值为－5.
故x＋y的取值范围是[－5,5]．故选BC.
11．答案：(－3，－5)
解析：∵＋＝，
∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝－＝(－3，－5)．
12．答案：2
解析：由＝(＋－)＝(＋)知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，所以＝(－2,2)．故||＝＝2.
13．答案：0　2
解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，
所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，
此时|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；
取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，
则|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2.
14．答案：2
解析：
法一：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1,0)，B.
设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)．
由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin.
又α∈，
所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
法二：(等和线法)如图，连接AB交OC于点P，
∵＝x＋y，
∴当点C与A、(B)重合时，x＋y＝1.
当点C为与AB平行且与圆弧相切的切点时，
＝2，设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1，
∴＝2＝2λ＋2μ＝x＋y，
∴x＋y＝2λ＋2μ＝2(λ＋μ)＝2.
所以x＋y的最大值为2.
15．解：(1)因为＝2，所以＝，
所以＝(－)＝－，
又因为＝r＋s，
所以r＝，s＝－，所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以＝＋，
又因为＝m＋，所以＝＋(m＋1)，
依题意，是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
16.解：(1)因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，所以＝－，＝2，＝.因为＝a，＝b，所以＝＋＝－－＝－a－b，＝＋＝2＋＝2＋(＋)＝＋＝a＋b.
(2)C，D，E三点不共线．理由如下：
因为＝，
所以＝＋＝＋＝－－＝a＋b－b＝a＋b，
由(1)知＝a＋b，
所以不存在实数λ，使得＝λ.
所以C，D，E三点不共线．
17．解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.
18.解：法一：如图，作平行四边形OB1CA1，
则＝1＋1，
因为与的夹角为120°，
与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，
所以|1|＝2，||＝4，
所以|1|＝||＝4，
所以＝4＋2，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，
得解得
所以λ＋μ＝6.
19．解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，所以AD＝.
(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，
因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.