3.3幂函数
【知识梳理】
知识点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
知识点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
(2)五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y＝x R R 奇 在R上是增函数 都过(1,1)点
y＝x2 R [0，＋∞) 偶 在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数
y＝x3 R R 奇 在R上是增函数
y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 在[0，＋∞)上是增函数
y＝x－1 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数
要点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
预习效果检测
1.下列所给函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3 B．y＝3x
C．y＝x D．y＝x2－1
[答案] C
[解析] 幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
[答案] A
[解析] ∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.
3．在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 只有y＝是幂函数．
4．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则f(8)的值等于__________．
[答案] 2
[解析] 设f(x)＝xα，∵点(4,2)在幂函数图像上，
∴2＝4α，∴α＝，
∴f(x)＝x，∴f(8)＝2.
【题型精讲】
题型一、求函数解析式
例1.函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，试确定m的值．
[思路分析] 由已知f(x)是幂函数，且x>0时是增加的，可先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性对求出的m值进行验证．
[规范解答] 根据幂函数的定义得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增加的；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减少的，
不符合题意．故m＝3.
[规律总结] 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：①系数为1；②指数为一常数；③后面不加任何项．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还要根据单调性验根，以免产生增根．
例2：已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
由题意可得：且为偶数，，
解得，且为偶数，，
∴．
故选：C．
例3：下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3－1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x2
[答案] C [解析] A、B、D都是幂函数经过变化得到的函数，C中，y＝x－1是幂函数.
题型二、幂函数的图像与性质
例4：讨论下列函数的定义域、值域，并作出函数图像．
(1)y＝x4； (2)y＝； (3)y＝x－3.
[思路分析] 把分数指数幂化为根式，并使根式有意义．
[规范解答] (1)函数的定义域为R，值域为[0，＋∞)．
图像如图(1)所示．
(2)函数的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．
其图像如图(2)所示．
(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
其图像如图(3)所示．
[规律总结] 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性得出在其他象限内的图像．
2．幂函数图像的特征：
(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
例5．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
[答案] B
[解析] 解法1：在第一象限内，在直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.
解法2：赋值法．令x＝4，则4－2＝，4－＝，4＝2,42＝16，易知选B.
题型三、利用幂函数的性质比较大小
例6.比较下列各组数的大小.
(1)()0.5与()0.5；(2)(－)－1与(－)－1；(3)()与().
[思路分析] 题中给出的是三组幂值大小的比较．解答此题可借助幂函数的单调性或中间量进行比较．
[规范解答] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴()0.5>()0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴(－)－1>(－)－1.
(3)∵函数y＝()x为减函数，又>，∴()>()，
又∵函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
∴()>()，∴()>().
[规律总结] 本类题是比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，再利用函数的单调性比较大小．
例7：比较下列各组数的大小：
(1)3－和3.1－； (2)－8－和－().
[解析] (1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，
∴3－>3.1－
(2)－8－＝－()，
又函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，且>，
所以()>()，即－8－<－().
例8：．已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由于函数为幂函数，且在上单调递减，
则，解得，
，，，
由于指数函数在上为增函数，因此，，故选B.
题型四、幂函数性质的综合应用
例9：已知幂函数 的图象经过点 ．
⑴ 试确定 m 的值 ；
⑵ 求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数 a 的取值范围．
【答案】(1)m=1;(2)
【解析】
(1)由题得 或m=-2(舍).
(2)由题得 ,在R上单调递增,由f(2-a)>f(a-1)可得.
例10：幂函数图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的范围.
【答案】.
【解析】
在是减函数，
，又
当时，符合题意，
当时，不符合题意，舍去，
，借助图象得
或 或或
综上：
课后作业
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x B．y＝x3
C．y＝x2 D．y＝x－2
[答案] C
[解析] 函数y＝x和y＝x－2我们不太熟悉，但对于y＝x2的图像与性质，我们记忆深刻，并且知道y＝x2在(－∞，0)上为减函数，故选C.
2．幂函数y＝x的定义域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．以上皆错
[答案] B
[解析] ∵y＝x，∴y＝的定义域为[0，＋∞)．
3．函数y＝x的图像大致是( )
[答案] B
[解析] ∵>0，∴图像过原点且递增，又>1，故选B.
4．f(x)＝(x2－2x)－的定义域是( )
A．{x|x≠0或x≠2}
B．(0,2)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 由x2－2x>0可得x<0或x>2，故选D.
5．已知函数f(x)＝(a＋2)x－2是幂函数，则f(a)的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
[答案] A
[解析] 由于f(x)是幂函数，所以a＋2＝1，即a＝－1，于是f(x)＝x－2，故f(－1)＝f(－1)－2＝1.
6．若幂函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f()等于( )
A．4 B．2
C. D.
[答案] D
[解析] 设f(x)＝xα，∵f(x)的图像经过点(2,4)，
∴4＝2α.∴α＝2.
∴f(x)＝x2.∴f()＝()2＝.
二、填空题
7．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．
[答案] －1或4
[解析] 由幂函数定义可知a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.
8．已知f(x)为幂函数，且过(2，)点，则f(x)＝________.
[答案] x
[解析] ∵函数f(x)为幂函数，∴可设解析式为f(x)＝xα，又∵f(x)图像过(2，)点，
即f(2)＝2α＝，∴α＝，故f(x)＝x.
三、解答题
9．比较下列各数的大小：
(1)(－)和(－)；
(2)4.1，3.8－和(－1.9).
[解析] (1)函数y＝x在(－∞，0)上为减函数，又－<－，
∴(－)>(－).
(2)4.1>1＝1；0<3.8－<1－＝1；(－1.9)<0，∴(－1.9)<3.8－<4.1.
10．证明：函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
[证明] 方法一：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1∴f(x1)－f(x2)＝－
＝＝<0，
即f(x1)由函数单调性的定义可知，f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
方法二：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，
∴＝＝<1，
即f(x1)由函数单调性的定义可知，f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数.
一、选择题
1．幂函数y＝xα中α的取值集合C是{－1,0，，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( )
A．{－1,0，} B．{，1,2}
C．{－1，，1,3} D．{，1,2,3}
[答案] C
[解析] 根据幂函数y＝x－1，y＝x0，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
2．如果f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，则f(x)在其定义域上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上为减函数
D．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝(m－1)x m2－4m＋3是幂函数，
∴m－1＝1，即m＝2.
f(x)＝x－1，
显然f(x)＝x－1在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．
二、填空题
3．比较大小(填“>”“<”或“＝”)：
(1)()0.5________()0.5；
(2)(－π)3________(－3)3.
[答案] (1)> (2)<
[解析] 因为幂函数y＝x0.5在区间[0，＋∞)上是增加的，又>，所以()0.5>()0.5.
(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，＋∞)上是增加的，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3.
4．给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x－；
④y＝x－；⑤y＝x；⑥y＝x－；⑦y＝x及如图所示的一组函数图像．请把图像对应的解析式号码填在图像下面的括号内．
[答案] ⑥④③②⑦①⑤
[解析] 由第一、二、三个图像在第一象限的单调性知，α<0，而第一个图像关于原点对称，为奇函数，第二个图像关于y轴对称，为偶函数；第三个在y轴左侧无图像，故这三个图像分别填⑥④③.
由第四、五、六个图像在第一象限的特征知，0<α<1，再由其奇偶性及定义域知这三个图像应依次填②⑦①.
第七个图像对应的幂指数大于1，故填⑤.
三、解答题
5．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．
[解析] ∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1.
即(m－2)(m＋1)＝0，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数．
综上所述，所求m＝2.
6．已知幂函数f(x)的图像过点(2,32)，求函数y＝f(x－2)的解析式．
[解析] 设f(x)＝xα，则2α＝32，
∴α＝5.∴f(x)＝x5.
∴f(x－2)＝(x－2)5.
7．已知幂函数f(x)的图像过点(，2)，幂函数g(x)的图像过点(2，)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；
③f(x)＜g(x)．
[解析] (1)设f(x)＝xα，
∵其图像过点(，2)，故2＝()α，
∴α＝2，∴f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，
∵其图像过点(2，)，
∴＝2β，∴β＝－2，∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图像，如图所示：
由图像可知：f(x)，g(x)的图像均过点(－1,1)与(1,1)．
∴①当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．3.3幂函数
【知识梳理】
知识点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
知识点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
(2)五种常见幂函数的性质，列表如下：
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
y＝x R R 奇 在R上是增函数 都过(1,1)点
y＝x2 R [0，＋∞) 偶 在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数
y＝x3 R R 奇 在R上是增函数
y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 在[0，＋∞)上是增函数
y＝x－1 (－∞，0)∪(0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数
要点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
预习效果检测
1.下列所给函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3 B．y＝3x
C．y＝x D．y＝x2－1
2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
3．在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则f(8)的值等于__________．
【题型精讲】
题型一、求函数解析式
例1.函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，试确定m的值．
[规律总结] 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：①系数为1；②指数为一常数；③后面不加任何项．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还要根据单调性验根，以免产生增根．
例2：已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例3：下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3－1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x2
题型二、幂函数的图像与性质
例4：讨论下列函数的定义域、值域，并作出函数图像．
(1)y＝x4； (2)y＝； (3)y＝x－3.
[规律总结] 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性得出在其他象限内的图像．
2．幂函数图像的特征：
(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．
(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
例5．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像．已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
题型三、利用幂函数的性质比较大小
例6.比较下列各组数的大小.
(1)()0.5与()0.5；(2)(－)－1与(－)－1；(3)()与().
[规律总结] 本类题是比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，再利用函数的单调性比较大小．
例7：比较下列各组数的大小：
(1)3－和3.1－； (2)－8－和－().
例8：．已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、幂函数性质的综合应用
例9：已知幂函数 的图象经过点 ．
⑴ 试确定 m 的值 ；
⑵ 求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数 a 的取值范围．
例10：幂函数图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的范围.
课后作业
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x B．y＝x3
C．y＝x2 D．y＝x－2
2．幂函数y＝x的定义域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．以上皆错
3．函数y＝x的图像大致是( )
4．f(x)＝(x2－2x)－的定义域是( )
A．{x|x≠0或x≠2}
B．(0,2)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝(a＋2)x－2是幂函数，则f(a)的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
6．若幂函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f()等于( )
A．4 B．2
C. D.
二、填空题
7．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．
8．已知f(x)为幂函数，且过(2，)点，则f(x)＝________.
三、解答题
9．比较下列各数的大小：
(1)(－)和(－)；
(2)4.1，3.8－和(－1.9).
10．证明：函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
一、选择题
1．幂函数y＝xα中α的取值集合C是{－1,0，，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为( )
A．{－1,0，} B．{，1,2}
C．{－1，，1,3} D．{，1,2,3}
2．如果f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，则f(x)在其定义域上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上为减函数
D．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数
二、填空题
3．比较大小(填“>”“<”或“＝”)：
(1)()0.5________()0.5；
(2)(－π)3________(－3)3.
4．给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x－；
④y＝x－；⑤y＝x；⑥y＝x－；⑦y＝x及如图所示的一组函数图像．请把图像对应的解析式号码填在图像下面的括号内．
三、解答题
5．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．
6．已知幂函数f(x)的图像过点(2,32)，求函数y＝f(x－2)的解析式．
7．已知幂函数f(x)的图像过点(，2)，幂函数g(x)的图像过点(2，)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；
③f(x)＜g(x)．
