3.2.2函数的奇偶性
知识点1：函数的奇偶性
1.定义
定义 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.
奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.
非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.
定义域特征和图像特征 定义域特征：定义域必须是关于原点对称的区间 图像特征：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称
等价形式 设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立.
偶函数的性质
若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质：
（1） 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；
图像关于y轴对称；
（4）偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性
奇函数的性质
若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质：
（1）定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
（2）对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；
（3）图像关于原点（0,0） 对称；
（4）若在处有意义，则f（0）=0;
（5）奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
（6）奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。
预习效果检测
1.函数f(x)＝，x∈(0,1)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇数又是偶函数
[答案] C
[解析] f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．
2．设函数f(x)＝x|x|定义在(－∞，＋∞)上，则f(x)( )
A．既是偶函数，又是减函数
B．既是奇函数，又是减函数
C．既是偶函数，又是增函数
D．既是奇函数，又是增函数
[答案] D
[解析] f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)函数为奇函数．
f(x)＝，画出图像，可知函数为增函数．
3．已知函数f(x)是定义在区间[a－1,2a]上的奇函数，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C. D．不确定
[答案] C
[解析] ∵奇函数f(x)的定义域为[a－1,2a]，
∴a－1＋2a＝0，a＝.
如图给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值是________．
[答案] －
[解析] 由图像知f(2)＝.又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－.
5．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝xf(x)(x∈R)，则f(1)＝________.
[答案] 0
[解析] 令x＝－1，则f(－1＋2)＝－f(－1)，
即f(1)＝－f(－1)，又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，
所以f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.
题型一:函数奇偶性概念的理解
例1：给出下列结论：
①若的定义域关于原点对称，则是偶函数； ②若是偶函数，则它的定义域关于原点对称；
③若，则（）是偶函数； ④若（）是偶函数，则；
⑤若，则（）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是；
⑦若是定义域为R的奇函数，则.
其中正确的结论是 .（填序号）
例2：若函数为奇函数，则必有（ ）
A. B. C. D.
例3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
题型二：函数的奇偶性的判定与证明
函数的奇偶性判定方法
（1）定义法：
（2）图像法：
性质法：奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设的定义域分别是F、G，若F=G，则有下列结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意：利用定义判断函数奇偶性时，首先应看函数的定义域是否关于原点对称．
在选择、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
题型二：函数奇偶性的判断
例4:判断下列函数的奇偶性；
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3； (3)f(x)＝|x|； (4)f(x)＝.
[思路分析] 确定函数的奇偶性，首先确定其定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，要注意等价转化再验证 f(x)与f(－x)的关系．
[规范解答] (1)∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)＝为非奇非偶函数．
(2)∵f(x)＝x3的定义域为R，关于原点对称且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，∴f(x)＝x3为奇函数．
(3)∵f(x)＝|x|的定义域为R，关于原点对称且f(－x)＝|－x|＝f(x)．
∴f(x)＝|x|为偶函数．
(4)∵f(x)＝的定义域为
解得{x|－1≤x≤1且x≠0}．
定义域关于原点对称．
∵－1≤x≤1且x≠0，∴|x＋2|－2＝x，
∴f(x)＝＝.
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴函数f(x)＝为奇函数．
例5：判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (4)f(x)＝.
[解析] (1) f(x)的定义域为{2}，不关于原点对称．因此，函数f(x)为非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，且f(x)＝0，f(－1)＝0，
f(1)＝0.∴f(－1)＝f(1)，且f(－1)＝－f(1)．
因此，函数f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为R，又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
因此，函数f(x)是偶函数．
(4)由x2－1≠0得x≠±1，
∴函数的定义域为{x|x≠±1}，定义域关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
题型三：分段函数奇偶性的判定
例6：用定义判断函数f(x)＝的奇偶性．
[思路分析] 判断分段函数的奇偶性，要注意x与－x是在不同的“段”中，f(－x)与f(x)是不同的关系式．
[规范解答] 解法1：任取x>0，则－x<0.
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1
＝－(－x2＋1)＝－f(x)．
又任取x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝－(x2－1)＝－f(x)．
对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)成立．∴函数f(x)为奇函数．
解法2：f(x)＝，
即f(x)＝|x|(－x＋)(x≠0)，
则f(－x)＝|x|(x－)＝－|x|(－x＋)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
例7：判断函数f(x)＝的奇偶性．
[解析] 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)．
当x＝0时，f(0)＝0，即x＝0时，f(－x)＝－f(x)．
综上所述，x∈R，有f(－x)＝－f(x)，故该函数为奇函数.
题型四：函数奇偶性的概念与图像
1.奇函数的图像特征
若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
2.偶函数的图像特征
若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.
（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
例8：下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像一定关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是y＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[规范解答] 可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断．偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数y＝x0，y＝x－2都是偶函数，但它们的图像不与y轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如y＝x－1，故②错误；若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如x∈(－1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故④错误．所以四个结论中只有③正确，故选A.
[答案] A
例9：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 .
例10：已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y＝f(x)图像上的是( )
A．(－a，f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，－f(a))
[答案] A
[解析] 因为函数f(x)(x∈R)是偶函数，所以，若点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a))关于y轴的对称点(－a，f(a))必在函数图像上.
题型五：函数奇偶性的应用
1.利用奇偶性求参数的值
例11：（1）若函数是偶函数，定义域为，则= ； .
（2）若为偶函数，则实数= .
2.利用奇偶性求函数的值
例12：（1）已知，且，则（ ）.
A.-26 B. -18 C.-10 D.10
（2）已知为奇函数，，则（ ）.
A.-1 B. 0 C.1 D.2
3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式
例13：（1）已知函数为R上的偶函数，且当时，，则当时， .
（2）为R上的奇函数，当时，则的解析式为 .
（3）已知为奇函数，则= .
题型六：函数的奇偶性与单调性的综合应用
例14：设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减少的，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[规范解答] 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)
又∵f(x)在[0,2]上为减少的且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减少的．
∴即
解得－1≤m<.
[规律总结] 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)例15：定义在R上的偶函数f(x)在x>0上是增函数，则( )
A．f(3)C．f(3)[答案] C
[解析] ∵f(x)在实数集R上是偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．
而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)课后作业
一、选择题
1．下列说法中不正确的是( )
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数个
D．图像关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数
[答案] B
[解析] ∵奇函数的图像不一定过原点，如y＝，故应选B.
2．已知函数f(x)＝x4，则其图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] B
[解析] ∵f(－x)＝x4＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称．
3．下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是( )
[答案] B
4．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
[答案] C
[解析] 本题考查复合函数的奇偶性．函数f(x)是奇函数，则函数|f(x)|是偶函数，所以选项A得到的函数是奇函数；选项B、D是偶函数；所以选C，一个奇函数和一个偶函数的积在其公共的定义域内是奇函数．
5．函数f(x)＝＋x－1，若f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－4
[答案] D
[解析] 令g(x)＝＋x，则g(x)为奇函数．
∵f(a)＝g(a)－1＝2，∴g(a)＝3.
∴f(－a)＝g(－a)－1＝－g(a)－1＝－4，故选D.
6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( )
A．{x|－33}
B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3}
D．{x|－3[答案] B
[解析] x>0时f(3)＝－f(－3)＝0，
又∵f(x)在(0，＋∞)内是增加的，
∴x∈(0,3)时f(x)<0，
又∵f(x)为奇函数．当x<0时，只有x∈(－∞，－3)时，f(x)<0，故选B.
二、填空题
7．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，则f(－2)、f(1)、f(－3)的大小关系是____________．
[答案] f(1)[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
∵f(x)在[0，＋∞)上是增加的，且1<2<3，
∴f(1)8．下列函数中是奇函数的序号是________．
①y＝－；②f(x)＝x2；③y＝2x＋1；④f(x)＝－3，x∈[－1,2]．
[答案] ①
[解析] y＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数；f(x)＝x2的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以是偶函数；y＝2x＋1的定义域为R，图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称是非奇非偶函数；f(x)＝－3x，x∈[－1,2]，定义域不关于原点对称，不具备奇偶性．
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x2；
(2)f(x)＝0；
(3)f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝.
[解析] (1)函数的定义域为R，它关于原点对称，
但f(－x)＝－x3＋x2与－f(x)和f(x)都不相等，
所以f(x)＝x3＋x2为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，它关于原点对称，
因为f(－x)＝0，f(x)＝0，
即f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)同时成立．
所以f(x)＝0既是奇函数又是偶函数．
(3)函数的定义域为R，
f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2＝x3＋3x，
f(－x)＝－x3－3x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．
(4)定义域为{x∈R，x≠0}，而当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)；
∴f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数．
(5)解法1：函数的定义域为实数集R，且
f(－x)＋f(x)＝＋＝
＝＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)在R上是奇函数．
解法2：当x≠0时，f(x)≠0，此时
＝
＝
＝＝＝－1，
即f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，f(－0)＝0＝－f(0)．
∴f(x)在R上为奇函数．
10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减少的，若f(a)≥f(2)，求实数a的取值范围．
[解析] 解法1：因为y＝f(x)在R上为偶函数，且在(－∞，0]上是减少的，
所以y＝f(x)在[0，＋∞)上为增加的．
①当a≥0时，因为f(a)≥f(2)，所以a≥2.
②当a≤0时，因为f(x)为偶函数，
所以f(2)＝f(－2)．
又因为f(a)≥f(2)，所以f(a)≥f(－2)．
而f(x)在(－∞，0]上为减少的，所以a≤－2.
由①②可得a≤－2或a≥2.
解法2：因为f(x)在R上为偶函数且在(－∞，0]上为减少的，
所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是增加的．
因此由f(|a|)＝f(a)≥f(2)得|a|≥2，解得a≤－2或a≥2.
即a的取值范围为a≤－2或a≥2.
一、选择题
1．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，①
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，②
由①②得f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，
∴f(1)＝2，g(1)＝－1，∴f(1)＋g(1)＝1.
2．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )
A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2)
C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)
[答案] D
[解析] ∵函数y＝f(x＋2)为偶函数，
令g(x)＝f(x＋2)，
∴g(－x)＝f(－x＋2)＝g(x)＝f(x＋2)，
∴f(x＋2)＝f(2－x)，
∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，
又∵函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，
∴在(－∞，2)上为减函数，利用距对称轴x＝2的远近可知，
f(0)>f(1)，f(0)>f(2)，f(1)>f(2)，f(1)＝f(3)．
二、填空题
3．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________.
[答案] －1
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0[答案] －0.5
[解析] ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)
＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)，
又f(x)为奇函数，∴f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
三、解答题
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)[分析] 已知条件较多，充分利用已知条件：f(1－m)[解析] 因为f(x)在[－2,2]上为偶函数，f(1－m)所以即
解得6．(1)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较f(－)与f(1)的大小；
(2)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解析] (1)∵－1<－，且函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，
∴f(－1)又∵y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)(2)由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①
得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.
∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②
①＋②得2f(x)＝2x2－4，∴f(x)＝x2－2.
①－②得2g(x)＝2x，∴g(x)＝x.
7．已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，并且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c.
[分析] 根据定义，应使f(x)＋f(－x)＝0对定义域内的任意x恒成立的式子即为恒等式．
[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴＝0，
即＝0.
∵ax2＋1不恒为0，∴c＝0.
又∵f(1)＝2，
∴＝2.∴a＋1＝2b.
又∵f(2)<3，∴<3.
将2b＝a＋1代入上式<3，得<0.
∴－1∵a∈Z，∴a＝0，或a＝1.
而a＝0，b＝与b∈Z矛盾，故舍之．
∴a＝1，b＝1，c＝0.3.2.2函数的奇偶性
知识点1：函数的奇偶性
1.定义
定义 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数.
奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数.
非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.
定义域特征和图像特征 定义域特征：定义域必须是关于原点对称的区间 图像特征：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称
等价形式 设函数的定义域为，则有是偶函数，都有，且；是奇函数如果，都有，且.特别地，若，还可以判断是否成立.
偶函数的性质
若函数是定义在区间的偶函数，则具备以下性质：
（1） 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；
图像关于y轴对称；
（4）偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性
奇函数的性质
若函数f（x）是定义在区间的奇函数，则具备以下性质：
（1）定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;
（2）对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；
（3）图像关于原点（0,0） 对称；
（4）若在处有意义，则f（0）=0;
（5）奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
（6）奇函数在关于原点对称的区间有最大值M和最小值n，则。
预习效果检测
1.函数f(x)＝，x∈(0,1)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇数又是偶函数
2．设函数f(x)＝x|x|定义在(－∞，＋∞)上，则f(x)( )
A．既是偶函数，又是减函数
B．既是奇函数，又是减函数
C．既是偶函数，又是增函数
D．既是奇函数，又是增函数
3．已知函数f(x)是定义在区间[a－1,2a]上的奇函数，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C. D．不确定
如图给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值是________．
5．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝xf(x)(x∈R)，则f(1)＝________.
题型一:函数奇偶性概念的理解
例1：给出下列结论：
①若的定义域关于原点对称，则是偶函数； ②若是偶函数，则它的定义域关于原点对称；
③若，则（）是偶函数； ④若（）是偶函数，则；
⑤若，则（）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是；
⑦若是定义域为R的奇函数，则.
其中正确的结论是 .（填序号）
例2：若函数为奇函数，则必有（ ）
A. B. C. D.
例3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
题型二：函数的奇偶性的判定与证明
函数的奇偶性判定方法
（1）定义法：
（2）图像法：
性质法：奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设的定义域分别是F、G，若F=G，则有下列结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意：利用定义判断函数奇偶性时，首先应看函数的定义域是否关于原点对称．
在选择、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
题型二：函数奇偶性的判断
例4:判断下列函数的奇偶性；
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝x3； (3)f(x)＝|x|； (4)f(x)＝.
例5：判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (4)f(x)＝.
题型三：分段函数奇偶性的判定
例6：用定义判断函数f(x)＝的奇偶性．
例7：判断函数f(x)＝的奇偶性．
题型四：函数奇偶性的概念与图像
1.奇函数的图像特征
若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
2.偶函数的图像特征
若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.奇、偶函数的单调性
根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.
（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
例8：下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定经过原点；③偶函数的图像一定关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是y＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
例9：已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 .
例10：已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y＝f(x)图像上的是( )
A．(－a，f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，－f(a))
题型五：函数奇偶性的应用
1.利用奇偶性求参数的值
例11：（1）若函数是偶函数，定义域为，则= ； .
（2）若为偶函数，则实数= .
2.利用奇偶性求函数的值
例12：（1）已知，且，则（ ）.
A.-26 B. -18 C.-10 D.10
（2）已知为奇函数，，则（ ）.
A.-1 B. 0 C.1 D.2
3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式
例13：（1）已知函数为R上的偶函数，且当时，，则当时， .
（2）为R上的奇函数，当时，则的解析式为 .
（3）已知为奇函数，则= .
题型六：函数的奇偶性与单调性的综合应用
例14：设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减少的，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[规律总结] 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)例15：定义在R上的偶函数f(x)在x>0上是增函数，则( )
A．f(3)C．f(3)课后作业
一、选择题
1．下列说法中不正确的是( )
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数个
D．图像关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数
2．已知函数f(x)＝x4，则其图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
3．下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是( )
4．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
5．函数f(x)＝＋x－1，若f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．－2 B．2
C．1 D．－4
6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( )
A．{x|－33} B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3二、填空题
7．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增加的，则f(－2)、f(1)、f(－3)的大小关系是____________．
8．下列函数中是奇函数的序号是________．
①y＝－；②f(x)＝x2；③y＝2x＋1；④f(x)＝－3，x∈[－1,2]．
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x2；
(2)f(x)＝0；
(3)f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝.
10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减少的，若f(a)≥f(2)，求实数a的取值范围．
一、选择题
1．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
2．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )
A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2) C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)
二、填空题
3．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0三、解答题
5．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)6．(1)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较f(－)与f(1)的大小；
(2)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
7．已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，并且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c.