3.2.1：函数的单调性与最大（小）值
第一课时：函数单调性的概念
知识点1：函数的单调性
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1
(3)属于同一个单调区间．
2.函数的单调性及单调区间
（1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.
（2）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
提示 当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．
题型一：单调性概念的理解
例1：已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
例2：下列命题为正命题的是（ ）.
A.定义在上的函数，如果，当时，有，那么在
上单调递增
如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减
定义在上的函数，若有无穷多对，当时，有，那么在上为增函数
，当，成立，则函数在上不是单调递增的
题型二：判断或证明函数的单调性
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
例3: 证明：函数f(x)＝在区间[3,5]上是增加的．
例4：证明：函数y＝x＋在(0,3]上是减少的．
题型三：求复合函数单调性的步骤：
确定函数的定义域
将复合函数分解成两个基本函数 分解成
分别确定这两个函数在定义域的单调性
（4）再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
例5：判断函数 f（x）=, x[2,6]的单调性.
题型四 求函数的单调区间
求给定函数的单调区间通常采用以下方法：(1)利用已知函数的单调性；(2)图像法；(3)定义法(利用单调性的定义探讨)．
（1）熟悉掌握常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数 时，在R上单调递增；时，在R上单调递减.
反比例函数 时，单调递减区间是和；时，单调递增区间是和.
二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是.
的增区间是和，减区间是和.
（2）求函数的单调区间一般步骤：
①先求函数的定义域，在定义域范围内求单调区间；
②根据函数图象（一次函数，二次函数，反比函数，含绝对值等），根据图象求单调区间．
(3)求函数单调区间的注意点
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
例6：求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋3x－2；
(2)f(x)＝3|x|；
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(4)f(x)＝1－(x>0)．
例7：(1)设f(x)是定义在区间U上的增函数，且f(x)>0，则下列函数中增函数的个数是( )
①y＝1－f(x) ②y＝ ③y＝f 2(x) ④y＝－
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上为增函数，在区间________上为减函数．
第二课时：函数的最值
知识点1：函数的最大（小）值
名称 定义 几何意义
函数的最大 值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足： ，都有 ，使得 那么，我们称M是函数的最大值 函数的最大值对应图像最高点的纵坐标.
函数的最小 值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有 （2），使得 那么，我们称是函数的最大值 函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.
2.利用函数单调性求最值的常用结论
（1）如果函数在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，最大值为。
（2）如果函数在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，最小值为。
（3）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，如图（1）所示：
（4）如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，如图（2）所示：
题型一：利用函数的单调性求最值
例8：(1)求函数f(x)＝－x2＋2x在区间[0，＋∞)上的最大值；
(2)求函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
例9：若函数f(x)＝，x∈[3,4]，求f(x)的最值．
题型二：利用单调性求参数取值范围
例10： 已知f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．
[规律总结] 利用函数的单调性求参数的取值范围的步骤：①把自变量“装在”定义域内；②找出x1，x2的关系，得出函数的单调性，从而得出函数值之间的关系(注意也可逆用)；③最后再应用分类讨论、数形结合等思想解决问题．
例10：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减少的，且f(1－a)题型二：二次函数的最值问题
1.定轴定区间
例1：已知函数，当自变量在下列范围取值时，求函数的最大值和最小值：
（1）R； （2）[0,3]
2.动轴定区间
例1：求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
3.定轴动区间
例2：已知函数的最小值为，求的函数表达式.
课后作业
一、选择题
1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝x0 D．y＝x2
2．若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则m＝( )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
3．函数y＝(k＋2)x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k的范围是( )
A．{k|k≥－2} B．{k|k≤－2}
C．{k|k<－2} D．{k|k>－2}
4．关于函数y＝－的单调性的叙述正确的是( )
A．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的
B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是递增的
C．在[0，＋∞)上是递增的
D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的
5．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是( )
A．2 B．3
C．－1 D．1
6．函数f(x)＝2x2－3|x|的递减区间是( )
A．[，＋∞)
B．(－∞，－]
C．[－，0]和[，＋∞)
D．(－∞，－]和[0，]
二、填空题
7．如图所示，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的单调减区间为________．
8．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)三、解答题
9．利用函数的单调性定义证明函数f(x)＝在x∈[2,4]是单调递减函数，并求函数的值域．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；
(3)求函数f(x)的最小值．
一、选择题
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)2．已知y＝f(x)是R上的增函数，令F(x)＝f(1－x)－f(3＋x)，则F(x)在R上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增加后减少 D．先减少后增加
二、填空题
3．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
4．若f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
5．利用单调性的定义证明函数f(x)＝在区间[3,5]上是增加的．
函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
7．已知f(x)的定义域为R，且有f(－x)＝f(x)，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．3.2.1：函数的单调性与最大（小）值
第一课时：函数单调性的概念
知识点1：函数的单调性
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
2.函数的单调性及单调区间
（1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.
（2）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
提示 当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．
3.常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数 时，在R上单调递增； 时，在R上单调递减.
反比例函数 时，单调递减区间是和； 时，单调递增区间是和.
二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是.
题型一：单调性概念的理解
例1：已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
[思路分析] 已知函数的图像判断其单调性应从它的图像是上升的还是下降的角度来考虑．
[规范解答] 根据函数单调性的定义结合函数图像可知函数B在定义域内为单调递增函数．
[答案] B
例2：下列命题为正命题的是（ ）.
A.定义在上的函数，如果，当时，有，那么在
上单调递增
如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减
定义在上的函数，若有无穷多对，当时，有，那么在上为增函数
，当，成立，则函数在上不是单调递增的
[答案] D
[解析] 由单调性定义知，选项A、B错；对于C，可举反例，如y＝－，在区间(－∞，0)上是增加的，在区间(0，＋∞)上也是增加的，若x1＝－1，x2＝1时，x1f(1)＝－1，∴函数y＝－在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增加的，注意这种写法的错误性，所以C错，故选D.
题型二：判断或证明函数的单调性
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
例3: 证明：函数f(x)＝在区间[3,5]上是增加的．
[证明] 设x1，x2是区间[3,5]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为3≤x1所以2－x1<0,2－x2<0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3,5]上是增加的.
例4：证明：函数y＝x＋在(0,3]上是减少的．
[思路分析] 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[规范解答] 设0y1－y2＝(x1＋)－(x2＋)
＝(x1－x2)－
＝(x1－x2)(1－)．
∵0∴x1－x2<0，>1，
即1－<0，
∴y1－y2>0，即y1>y2，
∴函数y＝x＋在(0,3]上是减少的．
题型三：求复合函数单调性的步骤：
确定函数的定义域
将复合函数分解成两个基本函数 分解成
分别确定这两个函数在定义域的单调性
（4）再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
例5：判断函数f(x)= , x[2,6]的单调性.
解析:函数f(x)= 可分解为函数y=和函数u=x-1,其中x[2,6],u∈[1,5],
显然函数u=x-1在x[2,6]时单调递增，
函数y=在u∈[1,5]时单调递减，
由复合函数的性质知,函数f(x)= 在[2,6]上单调递减.
题型四 求函数的单调区间
求给定函数的单调区间通常采用以下方法：(1)利用已知函数的单调性；(2)图像法；(3)定义法(利用单调性的定义探讨)．
（1）熟悉掌握常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数 时，在R上单调递增；时，在R上单调递减.
反比例函数 时，单调递减区间是和；时，单调递增区间是和.
二次函数 时，单调递减区间是，单调增区间是 时，单调递减区间是，单调增区间是.
的增区间是和，减区间是和.
（2）求函数的单调区间一般步骤：
①先求函数的定义域，在定义域范围内求单调区间；
②根据函数图象（一次函数，二次函数，反比函数，含绝对值等），根据图象求单调区间．
(3)求函数单调区间的注意点
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
例6：求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋3x－2；
(2)f(x)＝3|x|；
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(4)f(x)＝1－(x>0)．
[思路分析] 求给定函数的单调区间通常采用以下方法：(1)利用已知函数的单调性；(2)图像法；(3)定义法(利用单调性的定义探讨)．
[规范解答] (1)f(x)＝－2＋.
∵y＝f(x)是开口向下的抛物线，对称轴为x＝，
∴f(x)在上是增加的，在上是减少的．
∴f(x)的单调增区间是，单调减区间是.
(2)∵f(x)＝3|x|＝
由一次函数的单调性可得f(x)在(－∞，0)上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的．
所以f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是[0，＋∞)．
(3)∵f(x)＝其图像如图所示．
由此可知，y＝f(x)在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的；y＝f(x)在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．
∴f(x)的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间是[－1,0]，[1，＋∞)
(4)设0∵00，
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
∴f(x)的单调增区间是(0，＋∞)．
[规律总结] 1.对于含有绝对值的函数，往往转化为分段函数去处理．如y＝|x|＝在此基础上，画出图像，写出单调区间．
2．利用图像法求函数的单调区间，应先画出图像，根据图像的上升和下降的趋势写出单调区间．
3．由图像确定函数的单调区间时需注意两点：
(1)单调区间必须是函数定义域的子集；
(2)图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
例7：(1)设f(x)是定义在区间U上的增函数，且f(x)>0，则下列函数中增函数的个数是( )
①y＝1－f(x) ②y＝ ③y＝f 2(x) ④y＝－
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 由于y＝1－t，y＝，y＝－均在(0，＋∞)上递减，而f(x)递增，且f(x)>0，
∴函数y＝1－f(x)，y＝，y＝－均在U上递减．又y＝t2在(0，＋∞)上递增，∴y＝f 2(x)也递增．
(2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上为增函数，在区间________上为减函数．
[答案] [－1，＋∞) (－∞，－1]
[解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，
∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1]上为减函数.
第二课时：函数的最值
知识点1：函数的最大（小）值
名称 定义 几何意义
函数的最大 值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足： ，都有 ，使得 那么，我们称M是函数的最大值 函数的最大值对应图像最高点的纵坐标.
函数的最小 值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1），都有 （2），使得 那么，我们称是函数的最大值 函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.
2.利用函数单调性求最值的常用结论
（1）如果函数在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，最大值为。
（2）如果函数在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，最小值为。
（3）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，如图（1）所示：
（4）如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，如图（2）所示：
题型一：利用函数的单调性求最值
例8：(1)求函数f(x)＝－x2＋2x在区间[0，＋∞)上的最大值；
(2)求函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
[思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值；
(2)利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规范解答] (1)画出函数f(x)＝－x2＋2x的图像(如图)，由图像可知：f(x)在[0,1]上是增加的，在[1，＋∞)上是减少的，所以f(x)在[0，＋∞]上的最大值是f(1)＝1.
(2)任取x1，x2∈[2,6]，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为2≤x10，(x2＋1)(x1＋1)>0，
于是>0，即f(x1)所以函数f(x)＝在区间[2,6]上是增加的，所以函数f(x)＝在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值、最大值，即最大值为f(6)＝＝－，最小值为f(2)＝＝－.
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤：
(1)判断：先判断函数的单调性．
(2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最值．
2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点：
(1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标．
(2)求最值忘记求定义域．
(3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
例9：若函数f(x)＝，x∈[3,4]，求f(x)的最值.
[解析] 在[3,4]上任取两个值x1，x2且x10，f(x2)－f(x1)＝－＝＝.
∵x1，x2∈[3,4]，∴(x2－1)(x1－1)>0，x1－x2<0.∴f(x2)∴f(x)＝在[3,4]上是减少的．
∴f(x)的最大值为f(3)＝，f(x)的最小值为f(4)＝.
题型二：利用单调性求参数取值范围
例10： 已知f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增加的，求a的取值范围．
[规范解答] 在区间(－2，＋∞)上任取x1，x2，且－2f(x2)－f(x1)＝－.
＝＝
∵x1>－2，x2>－2，∴x1＋2>0，x2＋2>0.
∵f(x)在(－2，＋∞)上是增加的，
∴f(x2)－f(x1)>0，∵x2－x1>0，
∴2a－1>0，∴a>.
[规律总结] 利用函数的单调性求参数的取值范围的步骤：①把自变量“装在”定义域内；②找出x1，x2的关系，得出函数的单调性，从而得出函数值之间的关系(注意也可逆用)；③最后再应用分类讨论、数形结合等思想解决问题．
例10：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减少的，且f(1－a)[分析] 不等式f(1－a)[解析] 由题意可知
解得0∵f(x)在(－1,1)上是减少的，且f(1－a)∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0即所求a的取值范围是0题型二：二次函数的最值问题
1.定轴定区间
例1：已知函数，当自变量在下列范围取值时，求函数的最大值和最小值：
（1）R； （2）[0,3]
[思路分析] 本题为求函数的最大值、最小值问题，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.
[规范解答]f(x)=3x -12x+5=3(x-2) -7
当xR时，f(x)=3(x-2)2-7≥-7恒成立.故函数f(x)的最小值为-7,无最大值
(2)画出函数f(x)=3(x-2) -7的图像
由图可知,在[0,3]上，
函数f(x)在x=0处取得最大值,最大值为5;在x=2处取得最小值,最小值为-7.
2.动轴定区间
例1：求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[思路分析] 当f(x)的对称轴相对于区间[0,2]的位置不同时，f(x)在[0,2]上的单调性不同，最值也会不同，因此需根据对称轴x＝a相对于区间[0,2]的位置进行分类讨论．
[规范解答] f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图1可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a<1时，由图2可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
3.定轴动区间
例2：已知函数的最小值为，求的函数表达式.
[思路分析] 二次函数的解析式是确定的,但定义域是变化的，需依据t的大小画出对应的简图(抛物线的一段),从而求解.
[答案]当t<0时 =t2+1
当0≤t≤1时 =1
当t>1时 =t2-2t+2
课后作业
一、选择题
1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝x0 D．y＝x2
[答案] D
[解析] ∵函数y＝x2的图像是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
2．若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则m＝( )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
[答案] C
[解析] 函数y＝5x2＋mx＋4的图像为开口向上对称轴是x＝－的抛物线，要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则－＝－1，∴m＝10.
3．函数y＝(k＋2)x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k的范围是( )
A．{k|k≥－2} B．{k|k≤－2}
C．{k|k<－2} D．{k|k>－2}
[答案] D
[解析] 由题意结合一次函数的图像可知k＋2>0，即k>－2.
4．关于函数y＝－的单调性的叙述正确的是( )
A．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的
B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是递增的
C．在[0，＋∞)上是递增的
D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的
[答案] D
[解析] 结合函数y＝－的图像可知，其在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的．
5．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是( )
A．2 B．3
C．－1 D．1
[答案] D
[解析] 容易判断f(x)在区间[1,3]上是增加的，所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)＝1.
6．函数f(x)＝2x2－3|x|的递减区间是( )
A．[，＋∞)
B．(－∞，－]
C．[－，0]和[，＋∞)
D．(－∞，－]和[0，]
[答案] D
[解析] 作出f(x)＝2x2－3|x|＝的图像，由图像易知选D.
二、填空题
7．如图所示，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的单调减区间为________．
[答案] (－∞，－)，(0，＋∞)
[解析] 根据单调减函数的概念与其图像形状可知：函数的单调减区间为(－∞，－)，(0，＋∞)．
8．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)[答案]
[解析] 依题意，由不等式组
解得三、解答题
9．利用函数的单调性定义证明函数f(x)＝在x∈[2,4]是单调递减函数，并求函数的值域．
[证明] 在[2,4]上任取x1，x2且x1∴f(x1)－f(x2)＝－＝
∵2≤x10，x1－1>0，x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是在[2,4]上的减函数．
∴f(x)min＝f(4)＝，f(x)max＝f(2)＝2，
因此，函数的值域为[，2]．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；
(3)求函数f(x)的最小值．
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，
所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．
(2)证明：设－1≤x10，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝＝.
∵－1≤x1∴x1－x2<0，≥0，>0.
∴f(x1)0，
∴函数f(x)在定义域上是增加的．
(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增加的，
∴f(x)≥f(－1)＝0，
即函数f(x)的最小值是0.
一、选择题
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)[答案] D
[解析] ∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a，
又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴f(a2＋1)2．已知y＝f(x)是R上的增函数，令F(x)＝f(1－x)－f(3＋x)，则F(x)在R上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增加后减少
D．先减少后增加
[答案] B
[解析] 设任意的x1，x2∈R，且x1则F(x2)－F(x1)
＝f(1－x2)－f(3＋x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)
＝f(1－x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)－f(3＋x2)
因为x11－x2,3＋x2>3＋x1，
所以F(x2)－F(x1)<0，即F(x)在R上是减函数．
二、填空题
3．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
[答案] f(－3)>f(－π)
[解析] 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．
4．若f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，则实数a的取值范围为________．
[答案] a≥3
[解析] ∵函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2的对称轴为x＝1＋a，∴要使函数在(－∞，4]上是减少的，应满足1＋a≥4，∴a≥3.
三、解答题
5．利用单调性的定义证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减少的．
[解析] 设x1>x2>－1，则Δx＝x2－x1<0，
Δy＝y1－y2＝－＝
∵x1>x2>－1，x1＋1>0，x2＋1>0，
Δx＝x2－x1<0.
∴<0.
Δy＝y1－y2<0.
∴y＝在(－1，＋∞)上是减少的．
6．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
[解析] (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
7．已知f(x)的定义域为R，且有f(－x)＝f(x)，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．
[解析] f(x)在(－∞，0)上为增加的．
证明：设x1∈(－∞，0)，x2∈(－∞，0)，
且x1且－x1>－x2.
又f(x)在(0，＋∞)上为减少的，
∴f(－x1)又∵f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，
∴f(x1)∴f(x)在(－∞，0)上为增加的．