1.2.4 绝对值解答题专题培优练习(含解析)
文档属性
| 名称 | 1.2.4 绝对值解答题专题培优练习(含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 803.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-29 17:12:44 | ||
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文档简介
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七年级数学上册绝对值解答题专题培优练习
1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求的值．
（2）当a＝﹣2时，求的值．
（3）若有理数a不等于零，求的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝ ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是 ．
（4）当a＝ 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．
4．在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：
（1）若将点B向右移动6个单位后，三个点所表示的数最小的数是多少？
（2）在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；
（3）在点B左侧找一点E，使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，并写出点E表示的数．
5．如图，数轴上有点a，b，c三点
（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）b﹣a 1（填“＜”“＞”，“＝”）
（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：
①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为 ；
②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为 ；
③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为 ．
6．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值 和最小值 ．
7．阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；
（2）当abc≠0时，求的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．
8．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 ；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
9．有理数a，b，c，ab＜0，ac＞0，且|c|＞|b|＞|a|，数轴上a，b，c对应的点分别为A，B，C．
（1）若a＝1，请你在数轴上标出点A，B，C的大致位置；
（2）若|a|＝﹣a，则a 0，b 0，c 0；（填“＞”、“＜“或“＝”）
（3）小明判断|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|的值一定是正数，小明的判断是否正确？请说明理由．
10．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由．
11．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ；
（2）当x＝ 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．
若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
12．有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示
（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1
（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1|﹣|b﹣a﹣1|
（3）若c （a2+1）＜0，且c+b＞0，求的值．
13．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值＝ ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 ．
14．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”
【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1
所以：++的值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．
15．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ；
（2）当x＝ 时，点P到点A，点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
16．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 个单位；
（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 种，其中移动所走的距离和最小的是 个单位；
（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳 步，落脚点表示的数是 ；
（4）若有两只小青蛙A、B，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且|x﹣2|+|y+3|＝2，求两只小青蛙A、B之间的距离．
17．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．
18．阅读下列材料并解决相关问题．
化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x＝．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x＜，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”．
（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？
（3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．
19．阅读下面材料：
在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣8）﹣（﹣5）|＝3
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为 ；
数轴上表示数 和 的两点之间的距离表示为|x+2|；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+2|+|x﹣3|进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，|x﹣3|+|x+2|的值总是一个固定的值为： ．
②请你在草稿纸上画出数轴，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，数轴上表示点的数x＝ ．
20．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x的值．
（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．
21．（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
④当x＝ 时，|x+1|+|x﹣2|＝5．
22．（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x＝的值．
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x都等于0；
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求x＝+﹣的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式++的值．
参考答案
1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求的值．
（2）当a＝﹣2时，求的值．
（3）若有理数a不等于零，求的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．
解：（1）当a＝5时，＝1；
（2）当a＝﹣2时，＝﹣1；
（3）若有理数a不等于零，当a＞0时，＝1，当a＜0时，＝﹣1；
（4）若有理数a、b均不等于零，当a，b是同正数，＝2，
当a，b是同负数，＝﹣2，
当a，b是异号，＝0．
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝ ﹣4或2 ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 6 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是 12 ．
（4）当a＝ 1 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 7 ．
解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故这些点表示的数的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ 2或﹣4 ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 8 ，最小距离是 2 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ 6 ．
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案为：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，
当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案为：6．
4．在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：
（1）若将点B向右移动6个单位后，三个点所表示的数最小的数是多少？
（2）在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；
（3）在点B左侧找一点E，使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，并写出点E表示的数．
解：（1）点B表示的数为﹣5+6＝1，
∵﹣1＜1＜2，
∴三个点所表示的数最小的数是﹣1；
（2）点D表示的数为（﹣1+2）÷2＝1÷2＝0.5；
（3）点E在点B的左侧时，根据题意可知点B是AE的中点，
则点E表示的数是﹣5﹣（﹣1+5）＝﹣9．
5．如图，数轴上有点a，b，c三点
（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）b﹣a ＜ 1（填“＜”“＞”，“＝”）
（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：
①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为 b﹣a ；
②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为 b+1 ；
③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为 b﹣c ．
解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；
（2）由题意得：b﹣a＜1；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
＝b﹣c﹣（a﹣c﹣1）+a﹣1
＝b﹣c﹣a+c+1+a﹣1
＝b；
（4）①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；
②当x＝a时，
|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|＝0+b﹣a+a﹣（﹣1）＝b+1为最小值；
③当x＝a时，
|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．
故答案为：＜；b﹣a；b+1；b﹣c．
6．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 |x+1| ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ﹣3或1 ．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3 ，此时x的取值是 ﹣1≤x≤2 ；
（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值 6 和最小值 ﹣7 ．
解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；
②依题意有
|x+1|＝2，
x+1＝﹣2或x+1＝2，
解得x＝﹣3或x＝1．
故x值为﹣3或1．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；
（3）∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，
∴﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3，
∴x﹣2y的最大值为2﹣2×（﹣2）＝6，最小值为﹣1﹣2×3＝﹣7．
故x﹣2y的最大值6，最小值﹣7．
故答案为：|x+1|；﹣3或1；3，﹣1≤x≤2；6，﹣7．
7．阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；
（2）当abc≠0时，求的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．
解：（1）∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
∴＝﹣1﹣1＝﹣2；
（2）当a、b、c同正时，＝1+1+1＝3；
当a、b、c两正一负时，＝1+1﹣1＝1；
当a、b、c一正两负时，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
当a、b、c同负时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
（3）∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c
∴
＝+﹣
＝﹣﹣+
又∵abc＜0，
∴当c＜0，a＞0，b＞0时，原式＝﹣﹣+
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
当c＞0，a＞0，b＜0时，原式＝﹣﹣+
＝﹣1+1+1＝1；
当c＞0，a＜0，b＞0时，原式＝﹣﹣+
＝1﹣1+1＝1．
8．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 0 ；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0，
当a＞0，b＜0时，；
当 a＜0，b＞0时，．
故答案为：0．
（2）abc＜0，
∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：|＝＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则＝＝﹣1+1+1＝1；
（3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a．
a，b，c中只有一个负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
＝1﹣1﹣1＝﹣1．
9．有理数a，b，c，ab＜0，ac＞0，且|c|＞|b|＞|a|，数轴上a，b，c对应的点分别为A，B，C．
（1）若a＝1，请你在数轴上标出点A，B，C的大致位置；
（2）若|a|＝﹣a，则a ＜ 0，b ＞ 0，c ＜ 0；（填“＞”、“＜“或“＝”）
（3）小明判断|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|的值一定是正数，小明的判断是否正确？请说明理由．
解：（1）a＝1时，b＜0，c＞0，
而|c|＞|b|＞|a|，
所以c＞1，﹣c＜b＜﹣1，
如图，
（2）∵|a|＝﹣a，
∴a＜0，
∴b＞0，c＜0，
故答案为＜，＞，＜；
（3）小明的判断正确．理由如下：
当a＞0时，则b＜0，c＞0，
而|c|＞|b|＞|a|，
则|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|＝a﹣b﹣（b+c）+c﹣a＝﹣2b＞0；
当a＜0时，则b＞0，c＜0，
而|c|＞|b|＞|a|，
则|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|＝﹣（a﹣b）+（b+c）+a﹣c＝2b＞0；
综上所述，|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|的值一定是正数．
10．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由．
解：（1）a是最大的负整数，即a＝﹣1；
b是﹣5的相反数，即b＝5，
c＝﹣|﹣2|＝﹣2，
所以点A、B、C在数轴上位置如图所示：
（2）设运动t秒后，点P可以追上点Q，
则点P表示数﹣1+3t，点Q表示5+t，
依题意得：﹣1+3t＝5+t，
解得：t＝3．
答：运动3秒后，点P可以追上点Q；
（3）存在点M，使M到A、B、C三点的距离之和等于12，
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣3；
当M在AB之间，则M对应的数是4．
故使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，点M对应的数是﹣3或4．
11．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ ﹣4或2 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ﹣3≤x≤1 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．
若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动 或2 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，
解得x＝﹣1；
（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，
∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，
解得x＝﹣4，
点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，
解得x＝2，
综上所述，x＝﹣4或2；
（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，
所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；
（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，
∵点P到点E，点F的距离相等，
∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，
∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，
解得t＝或t＝2．
故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．
12．有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示
（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1
（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1|﹣|b﹣a﹣1|
（3）若c （a2+1）＜0，且c+b＞0，求的值．
解：（1）由数轴可得：
﹣1＜﹣b＜0＜﹣a；
（2）原式＝﹣a+2（a+b﹣1）﹣（b﹣a﹣1）
＝；
（3）∵c （a2+1）＜0，且c+b＞0，
∴c＜0，1＞b＞0，
∴|c|＜b，
原式＝+﹣
＝1﹣1+1
＝1．
13．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 |x+2| ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 |5﹣x| ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值＝ 4 ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是 ﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 3 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 7 ．
解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，
故答案为：|x+2|，|5﹣x|；
③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|＝x﹣1+x+3＝2x+2，
在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3+2﹣x＝﹣2x﹣1＝5，
解得：x＝﹣3，
此时不符合x＜﹣3，舍去；
当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，
此时x＝﹣3或x＝﹣2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＝5，
解得：x＝2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x＝0时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
当x＝1时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
当x＝﹣1时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；
⑤∵设y＝|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，
i、当x≥5时，y＝x+2+x﹣3+x﹣5＝3x﹣6，
∴当x＝5时，y最小为：3x﹣6＝3×5﹣6＝9；
ii、当3≤x＜5时，y＝x+2+x﹣3+5﹣x＝x+4，
∴当x＝3时，y最小为7；
iii、当﹣2≤x＜3时，y＝x+2+3﹣x+5﹣x＝10﹣x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x＜﹣2时，y＝﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x＝6﹣3x，
∴此时y最小接近12；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．
14．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”
【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1
所以：++的值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．
解：（1）∵abc＜0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：++＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则++＝1+1﹣1＝1．
（2）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，
∴a＝﹣3，b＝1或﹣1，
则a+b＝﹣2或﹣4．
15．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ ﹣4或2 时，点P到点A，点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ﹣3≤x≤1 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动 或2 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，
解得x＝﹣1；
（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，
∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，
解得x＝﹣4，
点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，
解得x＝2，
综上所述，x＝﹣4或2；
（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，
所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；
（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，
∵点P到点E，点F的距离相等，
∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，
∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，
解得t＝或t＝2．
故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．
16．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 3或7 个单位；
（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 3 种，其中移动所走的距离和最小的是 7 个单位；
（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳 199 步，落脚点表示的数是 100 ；
（4）若有两只小青蛙A、B，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且|x﹣2|+|y+3|＝2，求两只小青蛙A、B之间的距离．
解：（1）由图象可知需将点C向左移动3或7个单位，
故答案为3或7．
（2）有3种方法：①移动B、C，把点B向左移动2个单位长度，把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：2+7＝9；
②移动A、C，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度，移动距离之和为：2+5＝7；
③移动B、A，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度，移动距离之和为：7+5＝12．
所以移动所走的距离和最小的是7个单位，
故答案为：3，7；
（3）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步，
…
∴第n次跳（2n﹣1）步，
当n＝100时，2×100﹣1＝200﹣1＝199，
此时，所表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣197+199，
＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣197+199），
＝2×
＝100，
故答案为199，100；
（4）根据题意，|x﹣2|与|x+3|都是整数．分三种情况进行分类讨论
①|x﹣2|＝0，|y+3|＝2，所以|x﹣y|＝3或7
②|x﹣2|＝1，|y+3|＝1．所以|x﹣y|＝3或5或7
③|x﹣2|＝2，|y+3|＝0．所以|x﹣y|＝3或7
故两青蛙之间的距离是3或5或7．
17．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．
解：（1）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2；
当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6；
当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；
（2）当x＜﹣1时，原式＝3x+5＜2，
当﹣1≤x≤1时，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，
当x＞1时，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，
则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2．
18．阅读下列材料并解决相关问题．
化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x＝．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x＜，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”．
（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？
（3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．
解：（1）|x+5|+|2x﹣3|＝．
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：
x﹣1＝0，x＝1，
x+1＝0，x＝﹣1，
|x﹣1|﹣2＝0，x＝3或﹣1，
综上所述，代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：x＝±1或3．
（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|＝．
19．阅读下面材料：
在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣8）﹣（﹣5）|＝3
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为 |x﹣3| ；
数轴上表示数 x 和 ﹣2 的两点之间的距离表示为|x+2|；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+2|+|x﹣3|进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，|x﹣3|+|x+2|的值总是一个固定的值为： 5 ．
②请你在草稿纸上画出数轴，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，数轴上表示点的数x＝ ﹣3或4 ．
解：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离＝|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离＝|x﹣3|；
数轴上表示数x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|；
（2）①当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|＝x+2+3﹣x＝5；
②当x＞3时，x﹣3+x+2＝7，
解得：x＝4，
当x＜﹣2时，3﹣x﹣x﹣2＝7．
解得x＝﹣3．
∴x＝﹣3或x＝4．
故答案为：（1）3；|x﹣3|；x；﹣2；（2）5；﹣3或4．
20．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x的值．
（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．
解：根据分析，可得
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3．
（2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．
②如果|AB|＝2，
则|x+1|＝2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3．
（3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和，
∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5，
即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4．
故答案为：5，﹣1≤x≤4．
21．（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|＝2，那么x为 1或﹣3 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ．
④当x＝ 3或﹣2 时，|x+1|+|x﹣2|＝5．
解：①|2﹣5|＝3，|﹣2﹣（﹣5）|＝3，|1﹣（﹣3）|＝4；
②|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
如果AB＝2，则x+1＝±2，
解得x＝1或﹣3；
③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2．
④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）＝5，解得x＝3，
若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝5，解得x＝﹣2，
若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，
所以当x＝3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|＝5．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．
22．（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x＝的值．
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x都等于0；
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求x＝+﹣的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式++的值．
解：（2）①当a，b，c都为正数时：x＝+﹣＝1+1﹣1＝1．
②当a，b为正，c为负时：x＝+﹣＝1+1+1＝3．
当a，c为正，b为负时：x＝+﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1．
当b，c为正，a为负时：x＝+﹣＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
③当a，b为负，c为正时：x＝+﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
当a，c为负，b为正时：x＝+﹣＝﹣1+1+1＝1．
当b，c为负，a为正时：x＝+﹣＝1﹣1+1＝1．
④当a，b，c都为负数时：x＝+﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
综上所述x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．
（3）∵a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，
∴a，b，c为两正一负或两负一正．
∴①当a，b，c为两正一负时：++＝﹣﹣﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
②当a，b，c为两负一正时：++＝﹣﹣﹣＝1+1﹣1＝1．
七年级数学上册绝对值解答题专题培优练习
1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求的值．
（2）当a＝﹣2时，求的值．
（3）若有理数a不等于零，求的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝ ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是 ．
（4）当a＝ 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．
4．在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：
（1）若将点B向右移动6个单位后，三个点所表示的数最小的数是多少？
（2）在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；
（3）在点B左侧找一点E，使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，并写出点E表示的数．
5．如图，数轴上有点a，b，c三点
（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）b﹣a 1（填“＜”“＞”，“＝”）
（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：
①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为 ；
②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为 ；
③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为 ．
6．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 ，此时x的取值是 ；
（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值 和最小值 ．
7．阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；
（2）当abc≠0时，求的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．
8．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 ；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
9．有理数a，b，c，ab＜0，ac＞0，且|c|＞|b|＞|a|，数轴上a，b，c对应的点分别为A，B，C．
（1）若a＝1，请你在数轴上标出点A，B，C的大致位置；
（2）若|a|＝﹣a，则a 0，b 0，c 0；（填“＞”、“＜“或“＝”）
（3）小明判断|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|的值一定是正数，小明的判断是否正确？请说明理由．
10．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由．
11．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ；
（2）当x＝ 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．
若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
12．有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示
（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1
（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1|﹣|b﹣a﹣1|
（3）若c （a2+1）＜0，且c+b＞0，求的值．
13．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值＝ ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 ．
14．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”
【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1
所以：++的值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．
15．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ；
（2）当x＝ 时，点P到点A，点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
16．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 个单位；
（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 种，其中移动所走的距离和最小的是 个单位；
（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳 步，落脚点表示的数是 ；
（4）若有两只小青蛙A、B，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且|x﹣2|+|y+3|＝2，求两只小青蛙A、B之间的距离．
17．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．
18．阅读下列材料并解决相关问题．
化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x＝．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x＜，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”．
（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？
（3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．
19．阅读下面材料：
在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣8）﹣（﹣5）|＝3
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为 ；
数轴上表示数 和 的两点之间的距离表示为|x+2|；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+2|+|x﹣3|进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，|x﹣3|+|x+2|的值总是一个固定的值为： ．
②请你在草稿纸上画出数轴，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，数轴上表示点的数x＝ ．
20．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x的值．
（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．
21．（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
④当x＝ 时，|x+1|+|x﹣2|＝5．
22．（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x＝的值．
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x都等于0；
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求x＝+﹣的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式++的值．
参考答案
1．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求的值．
（2）当a＝﹣2时，求的值．
（3）若有理数a不等于零，求的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．
解：（1）当a＝5时，＝1；
（2）当a＝﹣2时，＝﹣1；
（3）若有理数a不等于零，当a＞0时，＝1，当a＜0时，＝﹣1；
（4）若有理数a、b均不等于零，当a，b是同正数，＝2，
当a，b是同负数，＝﹣2，
当a，b是异号，＝0．
2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝ ﹣4或2 ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 6 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是 12 ．
（4）当a＝ 1 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 7 ．
解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故这些点表示的数的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 3 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 5 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ 2或﹣4 ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 8 ，最小距离是 2 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ 6 ．
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案为：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，
当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案为：6．
4．在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：
（1）若将点B向右移动6个单位后，三个点所表示的数最小的数是多少？
（2）在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；
（3）在点B左侧找一点E，使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，并写出点E表示的数．
解：（1）点B表示的数为﹣5+6＝1，
∵﹣1＜1＜2，
∴三个点所表示的数最小的数是﹣1；
（2）点D表示的数为（﹣1+2）÷2＝1÷2＝0.5；
（3）点E在点B的左侧时，根据题意可知点B是AE的中点，
则点E表示的数是﹣5﹣（﹣1+5）＝﹣9．
5．如图，数轴上有点a，b，c三点
（1）用“＜”将a，b，c连接起来．
（2）b﹣a ＜ 1（填“＜”“＞”，“＝”）
（3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
（4）用含a，b的式子表示下列的最小值：
①|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为 b﹣a ；
②|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为 b+1 ；
③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为 b﹣c ．
解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；
（2）由题意得：b﹣a＜1；
（3）|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|
＝b﹣c﹣（a﹣c﹣1）+a﹣1
＝b﹣c﹣a+c+1+a﹣1
＝b；
（4）①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，
∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；
②当x＝a时，
|x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|＝0+b﹣a+a﹣（﹣1）＝b+1为最小值；
③当x＝a时，
|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．
故答案为：＜；b﹣a；b+1；b﹣c．
6．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 |x+1| ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ﹣3或1 ．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3 ，此时x的取值是 ﹣1≤x≤2 ；
（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值 6 和最小值 ﹣7 ．
解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|；
②依题意有
|x+1|＝2，
x+1＝﹣2或x+1＝2，
解得x＝﹣3或x＝1．
故x值为﹣3或1．
（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值是﹣1≤x≤2；
（3）∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，
∴﹣1≤x≤2，﹣2≤y≤3，
∴x﹣2y的最大值为2﹣2×（﹣2）＝6，最小值为﹣1﹣2×3＝﹣7．
故x﹣2y的最大值6，最小值﹣7．
故答案为：|x+1|；﹣3或1；3，﹣1≤x≤2；6，﹣7．
7．阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；
（2）当abc≠0时，求的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．
解：（1）∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
∴＝﹣1﹣1＝﹣2；
（2）当a、b、c同正时，＝1+1+1＝3；
当a、b、c两正一负时，＝1+1﹣1＝1；
当a、b、c一正两负时，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
当a、b、c同负时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
（3）∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c
∴
＝+﹣
＝﹣﹣+
又∵abc＜0，
∴当c＜0，a＞0，b＞0时，原式＝﹣﹣+
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
当c＞0，a＞0，b＜0时，原式＝﹣﹣+
＝﹣1+1+1＝1；
当c＞0，a＜0，b＞0时，原式＝﹣﹣+
＝1﹣1+1＝1．
8．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，++值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是 0 ；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．
解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0，
当a＞0，b＜0时，；
当 a＜0，b＞0时，．
故答案为：0．
（2）abc＜0，
∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：|＝＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则＝＝﹣1+1+1＝1；
（3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a．
a，b，c中只有一个负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
＝1﹣1﹣1＝﹣1．
9．有理数a，b，c，ab＜0，ac＞0，且|c|＞|b|＞|a|，数轴上a，b，c对应的点分别为A，B，C．
（1）若a＝1，请你在数轴上标出点A，B，C的大致位置；
（2）若|a|＝﹣a，则a ＜ 0，b ＞ 0，c ＜ 0；（填“＞”、“＜“或“＝”）
（3）小明判断|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|的值一定是正数，小明的判断是否正确？请说明理由．
解：（1）a＝1时，b＜0，c＞0，
而|c|＞|b|＞|a|，
所以c＞1，﹣c＜b＜﹣1，
如图，
（2）∵|a|＝﹣a，
∴a＜0，
∴b＞0，c＜0，
故答案为＜，＞，＜；
（3）小明的判断正确．理由如下：
当a＞0时，则b＜0，c＞0，
而|c|＞|b|＞|a|，
则|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|＝a﹣b﹣（b+c）+c﹣a＝﹣2b＞0；
当a＜0时，则b＞0，c＜0，
而|c|＞|b|＞|a|，
则|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|＝﹣（a﹣b）+（b+c）+a﹣c＝2b＞0；
综上所述，|a﹣b|﹣|b+c|+|c﹣a|的值一定是正数．
10．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣2|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由．
解：（1）a是最大的负整数，即a＝﹣1；
b是﹣5的相反数，即b＝5，
c＝﹣|﹣2|＝﹣2，
所以点A、B、C在数轴上位置如图所示：
（2）设运动t秒后，点P可以追上点Q，
则点P表示数﹣1+3t，点Q表示5+t，
依题意得：﹣1+3t＝5+t，
解得：t＝3．
答：运动3秒后，点P可以追上点Q；
（3）存在点M，使M到A、B、C三点的距离之和等于12，
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣3；
当M在AB之间，则M对应的数是4．
故使点M到A、B、C三点的距离之和等于12，点M对应的数是﹣3或4．
11．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ ﹣4或2 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ﹣3≤x≤1 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．
若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动 或2 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，
解得x＝﹣1；
（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，
∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，
解得x＝﹣4，
点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，
解得x＝2，
综上所述，x＝﹣4或2；
（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，
所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；
（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，
∵点P到点E，点F的距离相等，
∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，
∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，
解得t＝或t＝2．
故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．
12．有理数a、b在数轴上的对应点位置如图所示
（1）用“＜”连接0、﹣a、﹣b、﹣1
（2）化简：|a|﹣2|a+b﹣1|﹣|b﹣a﹣1|
（3）若c （a2+1）＜0，且c+b＞0，求的值．
解：（1）由数轴可得：
﹣1＜﹣b＜0＜﹣a；
（2）原式＝﹣a+2（a+b﹣1）﹣（b﹣a﹣1）
＝；
（3）∵c （a2+1）＜0，且c+b＞0，
∴c＜0，1＞b＞0，
∴|c|＜b，
原式＝+﹣
＝1﹣1+1
＝1．
13．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 |x+2| ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 |5﹣x| ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值＝ 4 ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是 ﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 3 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 7 ．
解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，
故答案为：|x+2|，|5﹣x|；
③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|＝x﹣1+x+3＝2x+2，
在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3+2﹣x＝﹣2x﹣1＝5，
解得：x＝﹣3，
此时不符合x＜﹣3，舍去；
当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5，
此时x＝﹣3或x＝﹣2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＝5，
解得：x＝2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x＝0时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
当x＝1时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
当x＝﹣1时，|x+3|+|x﹣2|＝5；
故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；
⑤∵设y＝|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，
i、当x≥5时，y＝x+2+x﹣3+x﹣5＝3x﹣6，
∴当x＝5时，y最小为：3x﹣6＝3×5﹣6＝9；
ii、当3≤x＜5时，y＝x+2+x﹣3+5﹣x＝x+4，
∴当x＝3时，y最小为7；
iii、当﹣2≤x＜3时，y＝x+2+3﹣x+5﹣x＝10﹣x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x＜﹣2时，y＝﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x＝6﹣3x，
∴此时y最小接近12；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．
14．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”
【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1
所以：++的值为3或﹣1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．
解：（1）∵abc＜0，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，
则：++＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，
则++＝1+1﹣1＝1．
（2）∵|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，
∴a＝﹣3，b＝1或﹣1，
则a+b＝﹣2或﹣4．
15．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ ﹣4或2 时，点P到点A，点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ﹣3≤x≤1 ；
（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动 或2 秒时，点P到点E，点F的距离相等．
解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，
解得x＝﹣1；
（2）∵AB＝|1﹣（﹣3）|＝4，点P到点A，点B的距离之和是6，
∴点P在点A的左边时，﹣3﹣x+1﹣x＝6，
解得x＝﹣4，
点P在点B的右边时，x﹣1+x﹣（﹣3）＝6，
解得x＝2，
综上所述，x＝﹣4或2；
（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，
所以x的取值范围是﹣3≤x≤1；
（4）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点E表示的数为﹣3﹣t，点F表示的数为1﹣4t，
∵点P到点E，点F的距离相等，
∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，
∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，
解得t＝或t＝2．
故答案为：（1）﹣1；（2）﹣4或2；（3）﹣3≤x≤1；（4）或2．
16．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 3或7 个单位；
（2）若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 3 种，其中移动所走的距离和最小的是 7 个单位；
（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳 199 步，落脚点表示的数是 100 ；
（4）若有两只小青蛙A、B，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且|x﹣2|+|y+3|＝2，求两只小青蛙A、B之间的距离．
解：（1）由图象可知需将点C向左移动3或7个单位，
故答案为3或7．
（2）有3种方法：①移动B、C，把点B向左移动2个单位长度，把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：2+7＝9；
②移动A、C，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度，移动距离之和为：2+5＝7；
③移动B、A，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度，移动距离之和为：7+5＝12．
所以移动所走的距离和最小的是7个单位，
故答案为：3，7；
（3）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步，
…
∴第n次跳（2n﹣1）步，
当n＝100时，2×100﹣1＝200﹣1＝199，
此时，所表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣197+199，
＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣197+199），
＝2×
＝100，
故答案为199，100；
（4）根据题意，|x﹣2|与|x+3|都是整数．分三种情况进行分类讨论
①|x﹣2|＝0，|y+3|＝2，所以|x﹣y|＝3或7
②|x﹣2|＝1，|y+3|＝1．所以|x﹣y|＝3或5或7
③|x﹣2|＝2，|y+3|＝0．所以|x﹣y|＝3或7
故两青蛙之间的距离是3或5或7．
17．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．
解：（1）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2；
当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6；
当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；
（2）当x＜﹣1时，原式＝3x+5＜2，
当﹣1≤x≤1时，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，
当x＞1时，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，
则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2．
18．阅读下列材料并解决相关问题．
化简代数式|x+5|+|2x﹣3|的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如|x+5|，只要考虑x+5的正负，可以分为x＜﹣5与x≥﹣5两种情况来讨论，这里的x＝﹣5是使x+5＝0的x值，我们称它为x+5的一个零点．同理，对于2x﹣3，也有一个零点x＝．为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x＜﹣5，﹣5≤x＜，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”．
（1）填空：|x+5|+|2x﹣3|＝
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有哪些？
（3）化简||x﹣1|﹣2|+|x+1|．
解：（1）|x+5|+|2x﹣3|＝．
（2）代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：
x﹣1＝0，x＝1，
x+1＝0，x＝﹣1，
|x﹣1|﹣2＝0，x＝3或﹣1，
综上所述，代数式||x﹣1|﹣2|+|x+1|的零点值有：x＝±1或3．
（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|＝．
19．阅读下面材料：
在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7；
在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：|﹣2﹣3|＝5；
在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣8）﹣（﹣5）|＝3
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|
回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为 |x﹣3| ；
数轴上表示数 x 和 ﹣2 的两点之间的距离表示为|x+2|；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+2|+|x﹣3|进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，|x﹣3|+|x+2|的值总是一个固定的值为： 5 ．
②请你在草稿纸上画出数轴，要使|x﹣3|+|x+2|＝7，数轴上表示点的数x＝ ﹣3或4 ．
解：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离＝|﹣2﹣（﹣5）|＝3；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离＝|x﹣3|；
数轴上表示数x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|；
（2）①当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|＝x+2+3﹣x＝5；
②当x＞3时，x﹣3+x+2＝7，
解得：x＝4，
当x＜﹣2时，3﹣x﹣x﹣2＝7．
解得x＝﹣3．
∴x＝﹣3或x＝4．
故答案为：（1）3；|x﹣3|；x；﹣2；（2）5；﹣3或4．
20．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x的值．
（3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围．
解：根据分析，可得
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：
|（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3．
（2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．
②如果|AB|＝2，
则|x+1|＝2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3．
（3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和，
∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5，
即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4．
故答案为：5，﹣1≤x≤4．
21．（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；
当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 4 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|＝2，那么x为 1或﹣3 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ．
④当x＝ 3或﹣2 时，|x+1|+|x﹣2|＝5．
解：①|2﹣5|＝3，|﹣2﹣（﹣5）|＝3，|1﹣（﹣3）|＝4；
②|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
如果AB＝2，则x+1＝±2，
解得x＝1或﹣3；
③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2．
④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）＝5，解得x＝3，
若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝5，解得x＝﹣2，
若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，
所以当x＝3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|＝5．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．
22．（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x＝的值．
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x都等于0；
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求x＝+﹣的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式++的值．
解：（2）①当a，b，c都为正数时：x＝+﹣＝1+1﹣1＝1．
②当a，b为正，c为负时：x＝+﹣＝1+1+1＝3．
当a，c为正，b为负时：x＝+﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1．
当b，c为正，a为负时：x＝+﹣＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
③当a，b为负，c为正时：x＝+﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
当a，c为负，b为正时：x＝+﹣＝﹣1+1+1＝1．
当b，c为负，a为正时：x＝+﹣＝1﹣1+1＝1．
④当a，b，c都为负数时：x＝+﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
综上所述x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．
（3）∵a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，
∴a，b，c为两正一负或两负一正．
∴①当a，b，c为两正一负时：++＝﹣﹣﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
②当a，b，c为两负一正时：++＝﹣﹣﹣＝1+1﹣1＝1．