13.4课题学习 最短路径问题解答题培优练习（含解析）

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八年级数学上册最短路径问题解答题培优练习
1．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
2．如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
3．如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
4．如图，在∠ABC内有一点P，问：能否在BA、BC边上各找一点M，N，使△PMN的周长最短？若能，请作图确定点M，N的位置（不需证明，不写作法，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由．
5．已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）．
（1）求点A的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：
①点P的坐标；
②PA+PB的最小值．
6．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．
（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？
（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？
7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠AMN的度数是　 　．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC＝1，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
9．如图，正方形ABCD，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN+MN最小．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，如果直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，那么是否可求出△BEQ周长的最小值．
11．如图，直线m⊥n，点A在m上
（1）试在直线n确定一点C，使C到点A、点B的距离之和最小
（2）若点A到直线n的距离为3cm，点B到两直线m、n的距离都是9cm，求出上题中C到A、B距离之和的最小值．
12．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BC，DE平分∠ADC交AB于点E，M是DE上的动点．已知 AC＝4，BC＝3，求△MBC周长的最小值．
13．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
14．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．
15．如图①所示，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠B＝45°，AD是∠CAB的角平分线，AD的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，F，G，连接ED．
（1）求证：ED＝AG；
（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD上找一点P，使得PG+PB取得最小值，并说明理由；如果ED＝10，则PG+PB的最小值是多少？
16．已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　 　；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
参考答案
一．解答题（共16小题）
1．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？
解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求点．
2．如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
解：如图，过B作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，
则AP+BP＝AP+PB′＝AB′，
所以P点即为到A，B距离之和最短的点，
过A作AE⊥BB′于点E，
则AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1+BB1＝2+4＝6，
由勾股定理，得AB′＝＝＝10．
即AP+BP＝AB′＝10，
故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km．
3．如图红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和3千米，又知道CD的长为3千米，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设管道的费用最省．
（2）并求出铺设水管的最省总费用．
解：（1）
延长AC到F，使AC＝CF，连接BF，交CD于E，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）
过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠BNC＝∠NCD＝∠BDC＝90°，
∴四边形NCDB是矩形，
∴BN＝CD＝3千米，BD＝CN＝3千米，
∵AC＝CF＝1千米，
∴NF＝3千米+1千米＝4千米，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5（千米），
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE+BE＝EF+BE＝BF＝5千米，
∴铺设水管的最省总费用是：20000元/千米×5千米＝100000元．
4．如图，在∠ABC内有一点P，问：能否在BA、BC边上各找一点M，N，使△PMN的周长最短？若能，请作图确定点M，N的位置（不需证明，不写作法，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由．
解：如图：
理由：∵根据题意可得：PM＝P′M，PN＝P″N，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MN＝P′M+MN+P″N，
∵两点之间线段最短，
∴此时最短．
5．已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）．
（1）求点A的坐标；
（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：
①点P的坐标；
②PA+PB的最小值．
解：（1）∵点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，
∴，
解得1＜m＜3，
∴m＝2，
∴A（﹣1，2）；
（2）如图，作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），
连接BC交x轴于P，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴y＝x﹣；
①令y＝0，则x＝，即P（，0）；
②如图，过C作CD∥x轴，过B作BD∥y轴，则CD＝4，BD＝3，
∴Rt△BCD中，BC＝＝5，
即PA+PB的最小值为5．
6．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．
（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？
（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？
解：（1）奶吧D的位置如图1所示；
（2）奶吧D的位置如图2所示．
7．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠AMN的度数是　50°　．
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA＝50°，
故答案为：50°；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）；
②当P与M重合时，△PBC的周长最小．
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC＝1，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
解：如图：
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB．∠ABC＝60°．
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE，
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD＝DE，∠DBE＝∠DEB＝60°，
∴AE＝DE＝DB＝BC，∠DBC＝∠AED＝120°，
∴△ADE≌△CDB（SAS）．
（2）作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于点H，
此时BH＝B′H，B′E＝B′H+HE＝BH+HE最小．
∵BC＝1，BB′＝2，∴B′E＝．
答：这个最小值为．
9．如图，正方形ABCD，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN+MN最小．
解∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BM交AC于N，点N即为所求的点，如图所示：
则BN＝DN，BM的长即为DN+MN的最小值．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，如果直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，那么是否可求出△BEQ周长的最小值．
解：连接BD、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，∠DAE＝90°，AB＝AD＝4，
∴DE的长即为DQ+QE的最小值，BE＝1，
∵DE＝＝＝5，
∴△BEQ的最小值＝5+1＝6．
11．如图，直线m⊥n，点A在m上
（1）试在直线n确定一点C，使C到点A、点B的距离之和最小
（2）若点A到直线n的距离为3cm，点B到两直线m、n的距离都是9cm，求出上题中C到A、B距离之和的最小值．
解：（1）方法：作点A关于n的对称点D，连接BD交直线n于点C，
则C为所求；
（2）
过B作BE⊥直线m于E，BF⊥直线n于F，
∵点A到直线n的距离为3cm，点B到两直线m、n的距离都是9cm，A和D关于直线n对称，
∴AQ＝DQ＝3cm，BE＝9cm，BF＝EQ＝9cm，∠BED＝90°，
∴ED＝9cm+3cm＝12cm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BD＝＝＝15（cm），
∵A和D关于直线n对称，
∴AC＝CD，
∴C到A、B距离之和的最小值是AC+BC＝DC+BC＝BD＝15cm．
12．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BC，DE平分∠ADC交AB于点E，M是DE上的动点．已知 AC＝4，BC＝3，求△MBC周长的最小值．
解：如图，连接AE交BD于点P，连接PC，设AC交DE于点F，
∵AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝CD，DE平分∠ADC交AC于点F，
∴AF＝CF，
∴直线DE是线段AC的垂直平分线，
即点A与点C关于DE对称，
∵M是DE上的动点，
∴MC＝MA，
∴MC+MB＝MA+MB，
当点A、M、B三点在同一条直线上时，即点M与点E重合时，MC+MB＝MA+MB＝EA+EB＝AB，
此时MC+MB最小，即△MBC周长的最小，
∵AB+BC＝5+3＝8，
∴△PCE周长的最小值为8．
13．已知：如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
（2）在x轴上画出点P，使PA+PC最小．
解：（1）
分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：
A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）
（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，
（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．
14．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；
方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．
解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，
方案2：，
∵，
∴方案1更合适；
（2）（方法不唯一）如图，
①若AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，
（或）＞4
∴（不合题意，舍去）
②若AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，
，
③当AQ3＝BQ3时，
设DQ3＝x，
则有x2+42＝（4﹣x）2+12
8x＝1
∴，
即：；
故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．
15．如图①所示，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠B＝45°，AD是∠CAB的角平分线，AD的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，F，G，连接ED．
（1）求证：ED＝AG；
（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD上找一点P，使得PG+PB取得最小值，并说明理由；如果ED＝10，则PG+PB的最小值是多少？
（1）证明：如图1，连接DG，
∵EG垂直平分AD，
∴AF＝DF，EG⊥AD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵∠AFE＝∠AFG＝90°，
∴∠AEF＝∠AGE，
∴AE＝AG，
∴EF＝FG，
∵AF＝DF，AD⊥EG，
∴四边形DEAG是菱形，
∴DE＝AG；
（2）解：如图2，连接EB交AD于P，连接PG，此时PG+PB最小，理由如下：
在AD上任取一点P'（不与P重合），连接EP'、BP'、GP'，
由（1）知：AD是EG的垂直平分线，
∴EP＝PG，EP'＝GP'，
∴EB＝EP+PB＝PG+PB，
△EP'B中，EP'+BP'＝P'G+BP'＞EB，
即P'G+P'B＞PG+PB，此时PG+PB的值最小，
如图3，过E作EH⊥AB于H，过D作DM⊥AB于M，则EH＝DM，
Rt△AEH中，AE＝ED＝10，∠CAB＝30°，
∴EH＝5，
∴DM＝5，
Rt△DMB中，∠ABC＝45°，
∴DM＝BM＝5，
∵ED＝HM＝10，
∴BH＝HM+BM＝10+5＝15，
Rt△EHB中，BE＝＝＝＝5，
即PG+PB的最小值是5．
16．已知点P在∠MON内．
（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　100°　；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．
解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，
∴∠APB＝30°+30°＝60°．