13.4课题学习 最短路径问题填空题专项练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 13.4课题学习 最短路径问题填空题专项练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 971.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-30 09:57:54 | ||
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文档简介
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最短路径问题填空题专项练习
1．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，2）、B（2，7），在x轴上求一点C，使|CB﹣CA|最大，则点C的坐标为 ．
2．如图，Rt△ABC纸片的直角边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝6，平面内一点O到直线l的距离为9，Rt△ABC纸片沿直线l左右移动，则OA+OB的最小值为 ．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，点D是BC的中点，P是AD上的动点，E是AB的中点，则PB+PE的最小值为 cm．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为 ．
5．平面直角坐标系中，点A（3，6）、B（﹣4，﹣2），若点F在坐标轴上，且FA+FB的距离最小，则F点坐标为 ．
6．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（3，），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），点C和D都在x轴上（C在D左侧），且线段CD＝1，连接AB，BC，AD，当四边形ABCD周长最小时，点C的坐标为 ．
8．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4﹣m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，点A，C坐标分别为A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点P在y轴上移动，点Q在线段AB上移动．则BP+PQ的最小值为 ．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 ．
11．如图，若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，2），在x轴上找一点P，使△PAB的周长最小，则点P的坐标为 ．
12．如图，AB＝AC＝5，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 ．
13．如图，在边长为2的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 ．
15．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值是 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，EF垂直平分AB边，动点P在直线EF上，若BC＝12，S△ABC＝84，则线段PB+PD的最小值为 ．
18．如图，平面直角坐标系中，A，B，P三点的坐标分别为（4，0），（0，3），（0，﹣2），AB＝PB，点M，N是x轴，线段AB上的动点，则PM+MN的最小值为 ．
19．如图，点P为∠MON内一点，点A、B分别是边OM和ON上的动点，且A、P、B不共线，若∠MON＝30°，OP＝8cm，则△PAB周长的最小值是 ．
20．如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为 ．
21．如图所示，A村、B村都在河边CD的同侧，已知AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．若在河边CD上选点建水厂，则A村、B村到水厂的距离之和的最小值为 ．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
23．如图，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，BM＝BN，∠ABN＝15°（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为+1时，正方形的边长为 ．
参考答案
1．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，2）、B（2，7），在x轴上求一点C，使|CB﹣CA|最大，则点C的坐标为 （﹣5，0） ．
解：由BC﹣AC≤AB可知当A、B、C三点共线时|CB﹣CA|最大，
∴设直线AB为y＝kx+b，
∵直线过A（﹣3，2）、B（2，7），
∴，
解得，
∴直线AB为y＝x+5，
∴当y＝0时，x＝﹣5，
∴点C的坐标为（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
2．如图，Rt△ABC纸片的直角边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝6，平面内一点O到直线l的距离为9，Rt△ABC纸片沿直线l左右移动，则OA+OB的最小值为 13 ．
解：过点O作直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B'，当A、O、B'共线时，OA+OB最小CB'＝9+（9﹣6）＝12
根据勾股定理得
AB＝＝＝13，
∴OA+OB的最小值是13，
故答案为：13．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，点D是BC的中点，P是AD上的动点，E是AB的中点，则PB+PE的最小值为 5 cm．
解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
当C、E、P三点共线时，EP+PC＝EP+BP＝CE，
∵等边△ABC中，E是AB边的中点，
∴CE⊥AB，
∴CE＝＝5，
∴PB+PE的最小值为5，
故答案为：5．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为 8 ．
解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，AM＝BM，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故答案为：8．
5．平面直角坐标系中，点A（3，6）、B（﹣4，﹣2），若点F在坐标轴上，且FA+FB的距离最小，则F点坐标为 （0，）或（﹣，0） ．
解：连接AB，与y轴交于F1，与x轴交于点F2，此时FA+FB最小，
∵A（3，6）、B（﹣4，﹣2），
∴直线AB表达式：y＝x+，
当x＝0时，y＝，y＝0时，x＝﹣，
即F（0，）或（﹣，0）．
故答案为：（0，）或（﹣，0）．
6．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（3，），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 4 ．
解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（3，），
∴OP′＝OP＝OP″＝＝4，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ＝2，P′Q＝P″Q＝2，
∴P′P″＝2P′Q＝2×2＝4，
则△PMN周长的最小值是4．
故答案为：4．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），点C和D都在x轴上（C在D左侧），且线段CD＝1，连接AB，BC，AD，当四边形ABCD周长最小时，点C的坐标为 （，0） ．
解：过A作AM⊥y轴于M，
∵A（4，4），B（0，1），
∴AM＝4，BM＝OM﹣OB＝4﹣1＝3
AB＝＝＝＝＝5，
∵CD＝1，
∴四边形ABCD周长：AB+BC+CD+AD＝5+1+BC+AD＝6+BC+AD，
∴要求四边形ABCD周长最小，即求BC+AD的最小值，
作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，以B'C、CD为邻边作 B'B''DC，
∴B''D＝B'C＝BC，B'B''＝CD＝1，B''（1，﹣1），
∴BC+AD＝B''D+AD≥AB''，
即当A、D、B''在同一直线上时，BC+AD的最小值为AB''，
设直线AB''的解析式为：y＝kx+b，
将A（4，4），B''（1，﹣1）代入，
，
解得k＝，b＝﹣，
∴直线AB''的解析式：y＝，
设y＝0，则＝0，
解得x＝，
∴D（，0），
∴OD＝，
∵CD＝1，
∴OC＝OD﹣CD＝﹣1＝，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
8．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4﹣m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 2． ．
解：作点A关于x轴的对称点A'，关于直线l的对称点A''，连接A'A''，交直线l于点B，交x轴于点C．
则AC＝A'C，AB＝A''B，
∴△ABC周长的最小值为A'A''的长．
∵B（m，4﹣m），
∴点B在直线y＝﹣x+4上运动，
连接A''D，
∴∠A''DO＝90°，
∵A的坐标为（0，2），
∴A'（0，﹣2），A''（2，4），
∴A''D＝2，A'D＝6
∴AA'＝＝＝2．
故答案为：2．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，点A，C坐标分别为A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点P在y轴上移动，点Q在线段AB上移动．则BP+PQ的最小值为 ．
解：作点Q关于y轴的对称点Q'，连接PQ'，则PQ'＝PQ，
BP+PQ的最小值即为BP+PQ'的最小值，
当B、P、Q'在同一直线上，且BQ'⊥AC时，BP+PQ'最小．
∵A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，
∴BC＝6，OA＝4，
∵S△ABC＝，
BQ'＝＝＝，
∴BP+PQ的最小值．
故答案为：．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 13 ．
解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×6×AD＝30，解得AD＝10，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MB，
∵AD≤BM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（BM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×6＝10+3＝13．
故答案为：13．
11．如图，若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，2），在x轴上找一点P，使△PAB的周长最小，则点P的坐标为 （0，0） ．
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，点P即为所求，
点P的坐标为（0，0），
故答案为（0，0）．
12．如图，AB＝AC＝5，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 5 ．
解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．
∵AB＝AC＝5，
∴AB'＝AC＝5，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝5，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为5．
∴|PB﹣PC|的最大值是5．
故答案为：5．
13．如图，在边长为2的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 ．
解：连接AG、AE、AF．作点F关于点E的对称点F'，连接AF'．
∵AE∥BD，
则AF'＝AF，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，
∴AG＝CG，AF＝CF，
∴AF'＝CF，
∴CF+CG＝AF'+AG，
当G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG的最小值为GF'．
连接GF'，
∵等边△ABC的边长为2
∴GF＝BD＝＝×2＝，FF'＝2EF＝2AD＝AC＝2，
∴GF'＝＝＝，
即AF'+AG的最小值为．
故答案为：．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 4 ．
解：如图，连接AE，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，
∴BC＝2AB＝2×2＝4，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PB+PC＝BC，最小，
此时点P与点F重合．
所以PA+PB的最小值即为BC的长，为4．
所以PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
15．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 120° ．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值是 ．
解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，
则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′＝2AC＝2×3＝12，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴
∴A′D＝12×＝，
即AE+DE的最小值是．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，EF垂直平分AB边，动点P在直线EF上，若BC＝12，S△ABC＝84，则线段PB+PD的最小值为 14 ．
解：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
又∵BC＝10，S△ABC＝60，
∴，
∴AD＝14，
∵EF垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴PB+PD＝PA+PD，
∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD＝PA+PD＝AD，
即AD的长度＝PB+PD的最小值，
∴PB+PD的最小值为14，
故答案为：14．
18．如图，平面直角坐标系中，A，B，P三点的坐标分别为（4，0），（0，3），（0，﹣2），AB＝PB，点M，N是x轴，线段AB上的动点，则PM+MN的最小值为 4 ．
解：过点P作PH⊥AB于H，交x轴于点E，连接PA．
∵点M，N是x轴，线段AB上的动点，
∴PM+MN的最小值为PH的长，
∵S△PAB＝，AB＝PB
∴PH＝OA＝4．
故对答案为：4．
19．如图，点P为∠MON内一点，点A、B分别是边OM和ON上的动点，且A、P、B不共线，若∠MON＝30°，OP＝8cm，则△PAB周长的最小值是 8 ．
解：分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；连接P′，P″，分别交OM，ON于点A、点B，连接OP，OP′，OP″，
由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝8，
∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∵∠MON＝30°，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝60°，且PO＝P′O＝P″O，
∴△P′OP″是等边三角形，∴P′P″＝OP＝8，
∴△PAB周长最小值是8．
故答案为8．
20．如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为 95° ．
解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，AC＝BC，∠ACB＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝50°，
∴∠ACH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠ACH＝40°，
∵AE＝CF，
在△AEC与△CFH中，
∴△AEC≌△CFH（SAS），
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝50°，
∴∠AFB＝95°，
故答案为：95°．
21．如图所示，A村、B村都在河边CD的同侧，已知AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．若在河边CD上选点建水厂，则A村、B村到水厂的距离之和的最小值为 5km ．
解：作BD关于CD的对称点B'，连接AB'与CD交点M即为水厂位置，过A作AE⊥BD交于E点，
由对称可知：B'M＝BM，
∴AM+BM＝AM+B'M≥AB'，
当A、M、B三点共线时，A村、B村到水厂的距离之和的最小，
∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，
∴DE＝1km，B'D＝3km，AE＝3km，
在Rt△AB'E中，AB'＝5km，
∴AM+BM的最小值在为5km，
故答案为5km．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 9.6 ．
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC AD＝AC BQ，
∴BQ＝＝＝9.6．
故答案为：9.6．
23．如图，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，BM＝BN，∠ABN＝15°（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为+1时，正方形的边长为 ．
解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，连接EC，
∴∠EBF＝90°﹣60°＝30°，
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝，
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x＝（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
故答案为：．
最短路径问题填空题专项练习
1．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，2）、B（2，7），在x轴上求一点C，使|CB﹣CA|最大，则点C的坐标为 ．
2．如图，Rt△ABC纸片的直角边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝6，平面内一点O到直线l的距离为9，Rt△ABC纸片沿直线l左右移动，则OA+OB的最小值为 ．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，点D是BC的中点，P是AD上的动点，E是AB的中点，则PB+PE的最小值为 cm．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为 ．
5．平面直角坐标系中，点A（3，6）、B（﹣4，﹣2），若点F在坐标轴上，且FA+FB的距离最小，则F点坐标为 ．
6．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（3，），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），点C和D都在x轴上（C在D左侧），且线段CD＝1，连接AB，BC，AD，当四边形ABCD周长最小时，点C的坐标为 ．
8．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4﹣m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，点A，C坐标分别为A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点P在y轴上移动，点Q在线段AB上移动．则BP+PQ的最小值为 ．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 ．
11．如图，若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，2），在x轴上找一点P，使△PAB的周长最小，则点P的坐标为 ．
12．如图，AB＝AC＝5，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 ．
13．如图，在边长为2的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 ．
15．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值是 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，EF垂直平分AB边，动点P在直线EF上，若BC＝12，S△ABC＝84，则线段PB+PD的最小值为 ．
18．如图，平面直角坐标系中，A，B，P三点的坐标分别为（4，0），（0，3），（0，﹣2），AB＝PB，点M，N是x轴，线段AB上的动点，则PM+MN的最小值为 ．
19．如图，点P为∠MON内一点，点A、B分别是边OM和ON上的动点，且A、P、B不共线，若∠MON＝30°，OP＝8cm，则△PAB周长的最小值是 ．
20．如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为 ．
21．如图所示，A村、B村都在河边CD的同侧，已知AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．若在河边CD上选点建水厂，则A村、B村到水厂的距离之和的最小值为 ．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
23．如图，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，BM＝BN，∠ABN＝15°（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为+1时，正方形的边长为 ．
参考答案
1．在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，2）、B（2，7），在x轴上求一点C，使|CB﹣CA|最大，则点C的坐标为 （﹣5，0） ．
解：由BC﹣AC≤AB可知当A、B、C三点共线时|CB﹣CA|最大，
∴设直线AB为y＝kx+b，
∵直线过A（﹣3，2）、B（2，7），
∴，
解得，
∴直线AB为y＝x+5，
∴当y＝0时，x＝﹣5，
∴点C的坐标为（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
2．如图，Rt△ABC纸片的直角边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝6，平面内一点O到直线l的距离为9，Rt△ABC纸片沿直线l左右移动，则OA+OB的最小值为 13 ．
解：过点O作直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B'，当A、O、B'共线时，OA+OB最小CB'＝9+（9﹣6）＝12
根据勾股定理得
AB＝＝＝13，
∴OA+OB的最小值是13，
故答案为：13．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，点D是BC的中点，P是AD上的动点，E是AB的中点，则PB+PE的最小值为 5 cm．
解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
当C、E、P三点共线时，EP+PC＝EP+BP＝CE，
∵等边△ABC中，E是AB边的中点，
∴CE⊥AB，
∴CE＝＝5，
∴PB+PE的最小值为5，
故答案为：5．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△BDM周长的最小值为 8 ．
解：连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，AM＝BM，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故答案为：8．
5．平面直角坐标系中，点A（3，6）、B（﹣4，﹣2），若点F在坐标轴上，且FA+FB的距离最小，则F点坐标为 （0，）或（﹣，0） ．
解：连接AB，与y轴交于F1，与x轴交于点F2，此时FA+FB最小，
∵A（3，6）、B（﹣4，﹣2），
∴直线AB表达式：y＝x+，
当x＝0时，y＝，y＝0时，x＝﹣，
即F（0，）或（﹣，0）．
故答案为：（0，）或（﹣，0）．
6．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（3，），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 4 ．
解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（3，），
∴OP′＝OP＝OP″＝＝4，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ＝2，P′Q＝P″Q＝2，
∴P′P″＝2P′Q＝2×2＝4，
则△PMN周长的最小值是4．
故答案为：4．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（0，1），点C和D都在x轴上（C在D左侧），且线段CD＝1，连接AB，BC，AD，当四边形ABCD周长最小时，点C的坐标为 （，0） ．
解：过A作AM⊥y轴于M，
∵A（4，4），B（0，1），
∴AM＝4，BM＝OM﹣OB＝4﹣1＝3
AB＝＝＝＝＝5，
∵CD＝1，
∴四边形ABCD周长：AB+BC+CD+AD＝5+1+BC+AD＝6+BC+AD，
∴要求四边形ABCD周长最小，即求BC+AD的最小值，
作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，以B'C、CD为邻边作 B'B''DC，
∴B''D＝B'C＝BC，B'B''＝CD＝1，B''（1，﹣1），
∴BC+AD＝B''D+AD≥AB''，
即当A、D、B''在同一直线上时，BC+AD的最小值为AB''，
设直线AB''的解析式为：y＝kx+b，
将A（4，4），B''（1，﹣1）代入，
，
解得k＝，b＝﹣，
∴直线AB''的解析式：y＝，
设y＝0，则＝0，
解得x＝，
∴D（，0），
∴OD＝，
∵CD＝1，
∴OC＝OD﹣CD＝﹣1＝，
∴C（，0），
故答案为：（，0）．
8．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4﹣m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 2． ．
解：作点A关于x轴的对称点A'，关于直线l的对称点A''，连接A'A''，交直线l于点B，交x轴于点C．
则AC＝A'C，AB＝A''B，
∴△ABC周长的最小值为A'A''的长．
∵B（m，4﹣m），
∴点B在直线y＝﹣x+4上运动，
连接A''D，
∴∠A''DO＝90°，
∵A的坐标为（0，2），
∴A'（0，﹣2），A''（2，4），
∴A''D＝2，A'D＝6
∴AA'＝＝＝2．
故答案为：2．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，点A，C坐标分别为A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点P在y轴上移动，点Q在线段AB上移动．则BP+PQ的最小值为 ．
解：作点Q关于y轴的对称点Q'，连接PQ'，则PQ'＝PQ，
BP+PQ的最小值即为BP+PQ'的最小值，
当B、P、Q'在同一直线上，且BQ'⊥AC时，BP+PQ'最小．
∵A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，
∴BC＝6，OA＝4，
∵S△ABC＝，
BQ'＝＝＝，
∴BP+PQ的最小值．
故答案为：．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积为30，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为 13 ．
解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×6×AD＝30，解得AD＝10，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MB，
∵AD≤BM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（BM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×6＝10+3＝13．
故答案为：13．
11．如图，若点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，2），在x轴上找一点P，使△PAB的周长最小，则点P的坐标为 （0，0） ．
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，连接AP，点P即为所求，
点P的坐标为（0，0），
故答案为（0，0）．
12．如图，AB＝AC＝5，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 5 ．
解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．
∵AB＝AC＝5，
∴AB'＝AC＝5，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝5，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为5．
∴|PB﹣PC|的最大值是5．
故答案为：5．
13．如图，在边长为2的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为 ．
解：连接AG、AE、AF．作点F关于点E的对称点F'，连接AF'．
∵AE∥BD，
则AF'＝AF，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，
∴AG＝CG，AF＝CF，
∴AF'＝CF，
∴CF+CG＝AF'+AG，
当G、A、F'三点在同一直线上时，AF'+AG的最小值为GF'．
连接GF'，
∵等边△ABC的边长为2
∴GF＝BD＝＝×2＝，FF'＝2EF＝2AD＝AC＝2，
∴GF'＝＝＝，
即AF'+AG的最小值为．
故答案为：．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是 4 ．
解：如图，连接AE，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，
∴BC＝2AB＝2×2＝4，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PB+PC＝BC，最小，
此时点P与点F重合．
所以PA+PB的最小值即为BC的长，为4．
所以PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
15．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 120° ．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值是 ．
解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，
则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′＝2AC＝2×3＝12，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴
∴A′D＝12×＝，
即AE+DE的最小值是．
故答案为：．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，EF垂直平分AB边，动点P在直线EF上，若BC＝12，S△ABC＝84，则线段PB+PD的最小值为 14 ．
解：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
又∵BC＝10，S△ABC＝60，
∴，
∴AD＝14，
∵EF垂直平分AB，
∴PA＝PB，
∴PB+PD＝PA+PD，
∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD＝PA+PD＝AD，
即AD的长度＝PB+PD的最小值，
∴PB+PD的最小值为14，
故答案为：14．
18．如图，平面直角坐标系中，A，B，P三点的坐标分别为（4，0），（0，3），（0，﹣2），AB＝PB，点M，N是x轴，线段AB上的动点，则PM+MN的最小值为 4 ．
解：过点P作PH⊥AB于H，交x轴于点E，连接PA．
∵点M，N是x轴，线段AB上的动点，
∴PM+MN的最小值为PH的长，
∵S△PAB＝，AB＝PB
∴PH＝OA＝4．
故对答案为：4．
19．如图，点P为∠MON内一点，点A、B分别是边OM和ON上的动点，且A、P、B不共线，若∠MON＝30°，OP＝8cm，则△PAB周长的最小值是 8 ．
解：分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；连接P′，P″，分别交OM，ON于点A、点B，连接OP，OP′，OP″，
由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝8，
∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∵∠MON＝30°，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝60°，且PO＝P′O＝P″O，
∴△P′OP″是等边三角形，∴P′P″＝OP＝8，
∴△PAB周长最小值是8．
故答案为8．
20．如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为 95° ．
解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，AC＝BC，∠ACB＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝50°，
∴∠ACH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠ACH＝40°，
∵AE＝CF，
在△AEC与△CFH中，
∴△AEC≌△CFH（SAS），
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝50°，
∴∠AFB＝95°，
故答案为：95°．
21．如图所示，A村、B村都在河边CD的同侧，已知AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．若在河边CD上选点建水厂，则A村、B村到水厂的距离之和的最小值为 5km ．
解：作BD关于CD的对称点B'，连接AB'与CD交点M即为水厂位置，过A作AE⊥BD交于E点，
由对称可知：B'M＝BM，
∴AM+BM＝AM+B'M≥AB'，
当A、M、B三点共线时，A村、B村到水厂的距离之和的最小，
∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，
∴DE＝1km，B'D＝3km，AE＝3km，
在Rt△AB'E中，AB'＝5km，
∴AM+BM的最小值在为5km，
故答案为5km．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 9.6 ．
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC AD＝AC BQ，
∴BQ＝＝＝9.6．
故答案为：9.6．
23．如图，△ABE是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，BM＝BN，∠ABN＝15°（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为+1时，正方形的边长为 ．
解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，连接EC，
∴∠EBF＝90°﹣60°＝30°，
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝，
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x＝（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
故答案为：．