13.4课题学习 最短路径问题解答题巩固练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 13.4课题学习 最短路径问题解答题巩固练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 426.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-30 10:00:45 | ||
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文档简介
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八年级数学上册最短路径问题解答题巩固练习
1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．
2．在△ABC中（AC＞AB），∠A＝30°，AB＝2，P、Q分别为AC、AB上的点，求PB+PQ的最小值．
3．如图，点C的坐标为（3，y），使△ABC的周长最短，求y的值．
4．（1）若P为x轴上一动点，A（2，2），B（4，4），求PA+PB最小值？
（2）若P为半径为1的⊙O上一动点，O（0，0），A（2，2），B（4，4），求PA+PB的最小值？
5．如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使△PMN的周长最小，并说明理由．
6．如图，角形铁架∠MON小于60°，A，D分别是OM，ON上的点，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．
7．如图，A，B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6km，BD＝15km，且CD＝15km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．试在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少．
8．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时．
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON＝θ，∠APB又等于多少？
9．如图，∠MON的边OM、ON上分别有点A、D，且∠MON＝30°，OA＝10，OD＝6，B、C分别是边OM、ON上的动点，求AC+BC+BD的最小值．
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
11．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值．
12．已知点A（2，3），B（5，9），在x轴上找一点C，使AC+BC最小并求出最小值．
13．如图1，点E是正方形ABCD边上一点，AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，在图2中作出点P，使得PB+PE最小（不写画法，保留作图痕迹），并计算PB+PE的最小值．
参考答案
1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．
解：作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E⊥AC，垂足为E．
由轴对称的性质可知：PB＝PB′，DB′＝DB．
∴PA+PB＝AP+PB′．
由两点之间线段最短可知；当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB最短．
在Rt△AEB′中，AB′＝＝＝1000．
2．在△ABC中（AC＞AB），∠A＝30°，AB＝2，P、Q分别为AC、AB上的点，求PB+PQ的最小值．
解：如图所示：在AB上取点Q，作点Q′与点Q关于AC对称．
∵点Q′与点Q关于AC对称，
∴∠Q′AC＝∠CAB＝30°，QP＝Q′P．
∴∠Q′AB＝60°，PB+PQ＝PB+PQ′＝Q′B．
由垂线段最短可知：当Q′B⊥AQ′时，Q′B有最小值，Q′B的最小值＝sin60° AB＝＝．
∴PB+PQ的最小值为．
3．如图，点C的坐标为（3，y），使△ABC的周长最短，求y的值．
解：作A关于x＝3的对称点A′，连接A′B交直线x＝3与点C．
∵点A与点A′关于x＝3对称，
∴AC＝A′C．
∴AC+BC＝A′C+BC．
当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．
∵点A与点A′关于x＝3对称，
∴点A′的坐标为（6，3）．
设直线BA′的解析式y＝kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：，
解得：．
∴y＝．
将x＝3代入函数的解析式得y＝．
∴y的值为．
4．（1）若P为x轴上一动点，A（2，2），B（4，4），求PA+PB最小值？
（2）若P为半径为1的⊙O上一动点，O（0，0），A（2，2），B（4，4），求PA+PB的最小值？
解：（1）如图1所示；作点A关于x轴的对称点A′．
由轴对称的性质可知点A′的坐标为（2，﹣2），
∵PA+PB＝PA′+PB．
当点A′、P、B在一条直线上时，PA+PB有最小值．
由两点间的距离公式得：A′B＝＝2．
∴PA+PB的最小值为2．
（2）如图2所示：当点A、B、P在一条直线上时，PA+PB有最小值．
由两点之间的距离公式得：OA＝＝2，OB＝＝4．
AP+PB＝OA+OB﹣2OP＝6﹣2．
∴PA+PB的最小值为6．
5．如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使△PMN的周长最小，并说明理由．
解：如图所示：
作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交直线AB于点P，则PN＝P′N，
由于△PMN的周长＝PM+PN+MN，而MN是定值，
故点当M、N′、P在一条直线上时，三角形的周长有最小值．最小值等于MN+N′M．
6．如图，角形铁架∠MON小于60°，A，D分别是OM，ON上的点，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．
解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．
7．如图，A，B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6km，BD＝15km，且CD＝15km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．试在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少．
解：作点B关于直线CD的对称点H，连接AH交CD于M，连接BM，则MA+MB最小，铺设水管的费用最节省，
作AE⊥BH于E，
∵CD＝15，
∴AE＝15，
EH＝HD+ED＝21，
∴AH＝＝26，
26×3＝78万．
答：总费用是78万．
8．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时．
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON＝θ，∠APB又等于多少？
解：（1）如图所示：
（2）如图下图所示：连AP、BP．
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A＝AP，B′B＝BP．
∴∠A′＝∠APA′，∠B′＝∠BPB′．
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠A′PB′＝180°．
∴∠A′PB′＝180°﹣40°＝140°．
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′＝180°﹣140°＝40°．
∴∠A′PA+∠BPB′＝40°．
∴∠APB＝140°﹣40＝100°．
如果∠MON＝θ，则∠A′PB′＝180°﹣θ．
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′＝θ．
∴∠A′PA+∠BPB′＝θ．
∴∠APB＝180°﹣2θ．
9．如图，∠MON的边OM、ON上分别有点A、D，且∠MON＝30°，OA＝10，OD＝6，B、C分别是边OM、ON上的动点，求AC+BC+BD的最小值．
解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．
连接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，
∴△ODD′是等边三角形．
同理△OAA′也是等边三角形．
∴OD'＝OD＝6，OA′＝OA＝10，
∠D′OA′＝90°．
∴A′D′＝＝2．
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
解：如图所示：
过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC；
连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE＝DE+EC′＝DC′的值最小；
连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1，
根据勾股定理得：DC′＝＝＝；
∴DE+CE的最小值为．
11．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值．
解：作Q关于AC的对称点D，连接PQ，CD，
则AC垂直平分QD，
∴PQ＝PD，CQ＝CD＝BC＝1，∠DCP＝∠QCP，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴BD2＝BC2+CD2＝5，
∴BD＝，
∴△PBQ周长的最小值＝BQ+BP+PQ＝BQ+BD＝1+．
答：△PBQ周长的最小值为1+．
12．已知点A（2，3），B（5，9），在x轴上找一点C，使AC+BC最小并求出最小值．
解：点A关于x轴的对称点A′的坐标为（2，﹣3）．
设直线A′B的解析式y＝kx+b（k≠0），
将点A′（2，﹣3）和B（5，9）的坐标代入得：
解得：
所以直线A′B的解析式为：y＝4x﹣11．
令y＝0，解得x＝
所以点C的坐标为（，0）．
此时：AC+BC＝A′B＝＝3．
故AC+BC的最小值为3．
13．如图1，点E是正方形ABCD边上一点，AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，在图2中作出点P，使得PB+PE最小（不写画法，保留作图痕迹），并计算PB+PE的最小值．
解：如图所示：连接ED交AC与点P．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称．
∴PB＝PD．
∴PE+PB＝PD+EP．
由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，PE+PB有最小值，最小值为ED．
在Rt△ADE中，ED＝＝5．
八年级数学上册最短路径问题解答题巩固练习
1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．
2．在△ABC中（AC＞AB），∠A＝30°，AB＝2，P、Q分别为AC、AB上的点，求PB+PQ的最小值．
3．如图，点C的坐标为（3，y），使△ABC的周长最短，求y的值．
4．（1）若P为x轴上一动点，A（2，2），B（4，4），求PA+PB最小值？
（2）若P为半径为1的⊙O上一动点，O（0，0），A（2，2），B（4，4），求PA+PB的最小值？
5．如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使△PMN的周长最小，并说明理由．
6．如图，角形铁架∠MON小于60°，A，D分别是OM，ON上的点，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．
7．如图，A，B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6km，BD＝15km，且CD＝15km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．试在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少．
8．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时．
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON＝θ，∠APB又等于多少？
9．如图，∠MON的边OM、ON上分别有点A、D，且∠MON＝30°，OA＝10，OD＝6，B、C分别是边OM、ON上的动点，求AC+BC+BD的最小值．
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
11．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值．
12．已知点A（2，3），B（5，9），在x轴上找一点C，使AC+BC最小并求出最小值．
13．如图1，点E是正方形ABCD边上一点，AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，在图2中作出点P，使得PB+PE最小（不写画法，保留作图痕迹），并计算PB+PE的最小值．
参考答案
1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．
解：作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E⊥AC，垂足为E．
由轴对称的性质可知：PB＝PB′，DB′＝DB．
∴PA+PB＝AP+PB′．
由两点之间线段最短可知；当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB最短．
在Rt△AEB′中，AB′＝＝＝1000．
2．在△ABC中（AC＞AB），∠A＝30°，AB＝2，P、Q分别为AC、AB上的点，求PB+PQ的最小值．
解：如图所示：在AB上取点Q，作点Q′与点Q关于AC对称．
∵点Q′与点Q关于AC对称，
∴∠Q′AC＝∠CAB＝30°，QP＝Q′P．
∴∠Q′AB＝60°，PB+PQ＝PB+PQ′＝Q′B．
由垂线段最短可知：当Q′B⊥AQ′时，Q′B有最小值，Q′B的最小值＝sin60° AB＝＝．
∴PB+PQ的最小值为．
3．如图，点C的坐标为（3，y），使△ABC的周长最短，求y的值．
解：作A关于x＝3的对称点A′，连接A′B交直线x＝3与点C．
∵点A与点A′关于x＝3对称，
∴AC＝A′C．
∴AC+BC＝A′C+BC．
当点B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC有最小值，即△ABC的周长有最小值．
∵点A与点A′关于x＝3对称，
∴点A′的坐标为（6，3）．
设直线BA′的解析式y＝kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：，
解得：．
∴y＝．
将x＝3代入函数的解析式得y＝．
∴y的值为．
4．（1）若P为x轴上一动点，A（2，2），B（4，4），求PA+PB最小值？
（2）若P为半径为1的⊙O上一动点，O（0，0），A（2，2），B（4，4），求PA+PB的最小值？
解：（1）如图1所示；作点A关于x轴的对称点A′．
由轴对称的性质可知点A′的坐标为（2，﹣2），
∵PA+PB＝PA′+PB．
当点A′、P、B在一条直线上时，PA+PB有最小值．
由两点间的距离公式得：A′B＝＝2．
∴PA+PB的最小值为2．
（2）如图2所示：当点A、B、P在一条直线上时，PA+PB有最小值．
由两点之间的距离公式得：OA＝＝2，OB＝＝4．
AP+PB＝OA+OB﹣2OP＝6﹣2．
∴PA+PB的最小值为6．
5．如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使△PMN的周长最小，并说明理由．
解：如图所示：
作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交直线AB于点P，则PN＝P′N，
由于△PMN的周长＝PM+PN+MN，而MN是定值，
故点当M、N′、P在一条直线上时，三角形的周长有最小值．最小值等于MN+N′M．
6．如图，角形铁架∠MON小于60°，A，D分别是OM，ON上的点，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．
解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．
7．如图，A，B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝6km，BD＝15km，且CD＝15km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．试在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少．
解：作点B关于直线CD的对称点H，连接AH交CD于M，连接BM，则MA+MB最小，铺设水管的费用最节省，
作AE⊥BH于E，
∵CD＝15，
∴AE＝15，
EH＝HD+ED＝21，
∴AH＝＝26，
26×3＝78万．
答：总费用是78万．
8．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时．
（1）找到A、B点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON＝θ，∠APB又等于多少？
解：（1）如图所示：
（2）如图下图所示：连AP、BP．
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A＝AP，B′B＝BP．
∴∠A′＝∠APA′，∠B′＝∠BPB′．
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠A′PB′＝180°．
∴∠A′PB′＝180°﹣40°＝140°．
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′＝180°﹣140°＝40°．
∴∠A′PA+∠BPB′＝40°．
∴∠APB＝140°﹣40＝100°．
如果∠MON＝θ，则∠A′PB′＝180°﹣θ．
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′＝θ．
∴∠A′PA+∠BPB′＝θ．
∴∠APB＝180°﹣2θ．
9．如图，∠MON的边OM、ON上分别有点A、D，且∠MON＝30°，OA＝10，OD＝6，B、C分别是边OM、ON上的动点，求AC+BC+BD的最小值．
解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．
连接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，
∴△ODD′是等边三角形．
同理△OAA′也是等边三角形．
∴OD'＝OD＝6，OA′＝OA＝10，
∠D′OA′＝90°．
∴A′D′＝＝2．
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．
解：如图所示：
过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC；
连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE＝DE+EC′＝DC′的值最小；
连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE＝∠CBE＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝2，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1，
根据勾股定理得：DC′＝＝＝；
∴DE+CE的最小值为．
11．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值．
解：作Q关于AC的对称点D，连接PQ，CD，
则AC垂直平分QD，
∴PQ＝PD，CQ＝CD＝BC＝1，∠DCP＝∠QCP，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴BD2＝BC2+CD2＝5，
∴BD＝，
∴△PBQ周长的最小值＝BQ+BP+PQ＝BQ+BD＝1+．
答：△PBQ周长的最小值为1+．
12．已知点A（2，3），B（5，9），在x轴上找一点C，使AC+BC最小并求出最小值．
解：点A关于x轴的对称点A′的坐标为（2，﹣3）．
设直线A′B的解析式y＝kx+b（k≠0），
将点A′（2，﹣3）和B（5，9）的坐标代入得：
解得：
所以直线A′B的解析式为：y＝4x﹣11．
令y＝0，解得x＝
所以点C的坐标为（，0）．
此时：AC+BC＝A′B＝＝3．
故AC+BC的最小值为3．
13．如图1，点E是正方形ABCD边上一点，AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，在图2中作出点P，使得PB+PE最小（不写画法，保留作图痕迹），并计算PB+PE的最小值．
解：如图所示：连接ED交AC与点P．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称．
∴PB＝PD．
∴PE+PB＝PD+EP．
由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，PE+PB有最小值，最小值为ED．
在Rt△ADE中，ED＝＝5．