十八章勾股定理全章教案[下学期]

第十八章 勾股定理
18.1 勾股定理
课时安排: 4课时
第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)
三维目标
一、知识与技能
让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．
二、过程与方法
1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．
2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．
三、情感态度与价值观
1．培养学生积极参与、合作交流的意识，
2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．
教学重点
探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。从而发现勾股定理．
教学难点
以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．
教具准备
学生准备若干张方格纸。
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗
问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火
问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义 为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽
二．实际操作，探索直角三角形的三边关系
活动2
问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．
同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么 是否也和大哲学家有同样的发现呢
问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗
问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗
观察下图，并回答问题：
(1)观察图1
正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；
正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；
正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格 它们的面积各是多少 你是如何得到上述结果的 与同伴交流．
(3)请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
图2
图3
活动3
问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗 如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)
问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗
我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，
一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论
我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．
生：也有上述结论．
这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．
勾股定理到底是谁最先发现的呢 我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．
大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．
三、例题剖析
活动4
问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高
(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．
解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：＝15(m)；15＋9＝24(m)，
所以旗杆折断之前高为24m．
(2)解：另一直角边的长为＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为×8×15＝60(cm2)．
师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．
四、课时小结
1．掌握勾股定理及其应用；
2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．
五.布置作业
六．板书设计
18．1．1 勾股定理（1）
第2课时 勾股定理（2）
三维目标
一、知识与技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．
2．运用勾股定理解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．
2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．
三、情感态度与价值观
1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．
2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．
教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．
教学难点
经历用不同的拼图方法证明勾股定理．
教具准备
每个学生准备一张硬纸板．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，
所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；
所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．
例如：
图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．
生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)
我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．
师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗
二、探索研究
活动2
我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：
(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．
(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗
(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗
大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．
对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗
生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×ab＋c2．
化简得a2＋b2＝c2．
由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
活动3
图(6)这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解(周髀算经)时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1(即勾股定理)的基本思路如下，如图(7)．
把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2＋b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把田(7)中左、右两个三角形移到图(9)所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．
因为图(7)与图(9)都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．
因此a2＋b2＝c2
上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．它是我国古代数学的骄傲．正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
师：在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的．在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理．
1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．
生：老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗
师：是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志)上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．
生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗
师：可以，如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．
生：总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．
师：同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．
生：上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为 (a＋b)·(a＋b)，又可以表示为ab×2＋c2。对此两种表示方法可得 (a＋b)·(a＋b)＝ ab×2＋c2。化简，可得a2＋b2＝c2．
活动4：议一议：
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2＋b2＝c2．
师：上图中的△ABC和△A'B'C'是什么三角形
生：△ABC，△A'B'C'在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A'B'C'中，∠A'B'C'，∠B'C'A'，∠B'A'C'都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A'B'C'是锐角三角形．
（1）a2＋b2＝9＋7＝16个单位面积，c2＝29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2＋b2≠c2．（为a2＋b2＜c2）　　　
（2）以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2＝5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2＝8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2＝9个单位面积．由此我们可以算出a2＋b2＝5＋8＝13个单位面积．在锐角三角形A'B'C'中，a2＋b2≠c2．（为a2＋b2＞c2）
三．课时小结
活动5
你对本节内容有哪些认识 会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义．
四．布置作业
五．板书设计
18．1 勾股定理(二)
1．用拼图法验证勾股定理
(1)
由上图得(a＋b)2＝ab×4＋c2
即a2＋b2＝c2；
(2)
由上图可得c2＝ab×4＋(b－a)2
即a2＋b2＝c2
2．介绍“赵爽弦图”
第3课时　勾股定理（3）
三维目标
一、知识与技能
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1. 经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．
2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2. 在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点
将实际问题转化为直角三角形模型．
教学难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．
教具准备
教学过程
一、创设情境，引入新课
活动1
问题：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子
解：根据题意，(如下图)AC是建筑物，则AC＝12m，BC＝5m，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132；AB＝13m．
所以至少需13m长的梯子，
　分析：由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
二、讲授新课
活动2
问题：一个门框的尺寸如右图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
分析：从题意可以看到，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5．
因此AC＝≈2.236．
因为AC＞木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
活动3
问题：如下图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗
分析：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离．
观察图形，可以看到BD＝OD－OB，求BD可以先求出OB，OD．
解：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB＝3m，OA＝2.5 m，所以OB2＝AB2－OA2＝32－2.52＝2.75．
OB≈1.658m(精确到0.001m)
在Rt△OCD中，OC＝OA－AC＝2m，CD＝AB＝3m，所以OD2＝CD2－OC2＝32－22＝5．
OD≈2.336m(精确到O.001m)
BD＝OD－OB＝2.236－1.658≈0.58m(精确到0.01m)所以梯子顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．
活动4
问题：“执竿进屋”：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．
—一当代数学教育家清华大学教授
许莼舫著作《古算题味》
　解：设竿长为x尺，门框的宽度为(x－4)尺，高度为(x－2)尺，根据题意和勾股定理，得
x2＝(x－4)2＋(x－2)2．
化简，得x2－12x＋20＝0，
(x－l0)(x－2)＝0，
xl＝10，x2＝2(不合题意，舍去)．
所以竿长为10尺．
三、巩固提高
活动5
练习：1、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长(结果保留整数)．
2．如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，你能求出A、B两点间的距离吗
1、解：设圆的直径为xdm，根据勾股定理，得
502＋502＝x2，
解得x≈71．
所以圆的直径改为71dm．
2．解：如右图，在Rt△ABC中，AC＝20m，BC＝60m，根据勾股定理，得
AB2＝BC2－AC2＝602－202＝3200，
AB＝40
所以A，B两点间的距离为40m．
四、课时小结
问题：谈谈你这节课的收获有哪些 会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．
五．布置作业
六．板书设计
第4课时　勾股定理（4）
三维目标
一、知识与技能
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历在数轴上寻找表示无理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．
2．在用勾殷定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点
在数轴上寻找表示，……这样的表示无理数的点．
教学难点
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
教具准备
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
[例1]飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男接头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米
[例2]如图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，巳知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A'的距离是多少
[例3]在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少
师生共析：
例1：分析：根据题意，可以画出右图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5000米，AC＝4800米，由勾股定理，得
AB2＝AC2－BC2．即50002＝BC2＋48002，
所以BC＝1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它l小时飞行的距离为1400×6×60＝50400米＝504千米，即飞机飞行的速度为504千米／时．
例2：分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．
解：如例2图，由题意知△ABA'是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知；
AA'＝2×6＝12米，AB＝5米；
在Rt△A'AB中，A'B2＝AA'2＋AB2＝122＋52＝169＝132米
所以A'B＝13米，即B点到物体A的像A'的距离为13米．
例3：分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．
解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD．
所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2十62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，6AC＝27，AC＝4.5．所以这里的水深为4.5分米．
二、讲授新课
活动2
问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示
的点吗 的点呢
教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．
生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．
师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢
生：长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
师：下面就请同学们在数轴上面出表示的点．
生：步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3；
2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2；
3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
活动3
练习：在数轴上作出表示的点．
生：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，如图：
三、巩固提高
活动4
问题：(1)根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢
(2)欣赏下图，你会得到什么启示
生：用上述方程找到了长度为、、、……的线段，因此在数轴上便可以表示出来．教学时可以先画出、，……之后，再画，画法不唯一，如下图：
四、课时小结
活动5
问题：你对本节内容有哪些认识 会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．
五．布置作业：
习题18.1 5、6、10、12、13题。
六．板书设计
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18．1 勾股定理(4)
1．在数轴上画出表示的点，分以下四步完成：
(1)将在数轴上画出表示的点的问题转化为画出长为的线段的问题．
(2)由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边．
(3)通过尝试发现，长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
(4)画出长为的线段，从而在数轴上画出表示的点．
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18．2 勾股定理的逆定理
课时安排：3课时
第5课时　　勾股定理的逆定理（1）
三维目标
一、知识与技能
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
二、过程与方法
1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．
2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
三、情感态度与价值观
1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．
2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
教学重点
探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．
教学难点
归纳、猜想出命题2的结论．
教具准备
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
(1)总结直角三角形有哪些性质．
(2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形
答：直角三角形有如下性质：
(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：
(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
问题（2）：一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢
（1）有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
（2）如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢 我们来看一下古埃及人如何做
二、讲授新课
活动2
问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗 换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．
生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．
生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．
再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．
是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢
活动3
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c
5，12，13；　　　7，24，25；　　　8，15，17．
(1)这三组效都满足a2＋b2＝c2吗
(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗
让学生尝试操作。
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天——人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”．
“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”。
如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．
活动4
问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
　命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形．
它们的题设和结论各有何关系
命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．（举例）
“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题；“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题；“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．
三、课时小结
活动5
问题：你对本节内容有哪些认识
师生行为：
教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形．
四．布置作业
五．板书设计
第6课时　　18.2 勾股定理的逆定理(2)
三维目标
一、知识与技能
1．了解证明勾股定理逆定理的方法．
2．理解逆定理，互递定理的概念．
二、过程与方法
1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力．
2．经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神．
三、情感态度与价值观
1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．
2．培养学生与人合作、交流的团队意识．
教学重点
勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．
教学难点
互逆定理的概念．
教具准备
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．
①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24
解：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦
二、讲授新课
活动2
问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗 如何证明呢
师：△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗
①重合法：我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°如下图：
②全等证明法：我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以A'B'2＝c2，即A'B'＝c
△ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC为直角三角形．
当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．
但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗
不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．（举出类似的例子）
例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．（原命题成立，逆命题不成立．
活动3
练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a2＝c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形 为什么
2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(3)全等三角形的对应角相等．
(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
解：1、a2＝c2－b2，移项得a2＋b2＝c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．
2．(1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立．
(2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立．
(3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立．
(4)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立．
三、巩固提高
活动4
[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗
[例2](1)判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．
解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，
即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形．
请问：上述解法对吗 为什么
(2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．
求证：AB＝AC．
例1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此这个零件符合要求．
例2：(1)解：上述解法是不对的．因为a＝10，b＝8，c＝6，b2＋c2＝64＋36＝100＝102＝a2，即b2＋c2＝a2．所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b，c是两直角边．
(2)证明：根据题意，画出图形，AB＝13cm，BC＝10cm．
AD是BC边上的中线→BD＝CD＝5cm，在△ABD中AD＝12cm，BD＝5cm，AB＝13cm，AB2＝169，AD2＋BD2＝122＋52＝169．所以AB2＝AD2＋BD2．则∠ADB＝90°．∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°．
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝122＋52＝132．
所以AC＝AB＝13cm．
四；课时小结
活动5
问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
师生行为：
教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗
五．板书设计
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18.2 勾股定理的逆定理(二)
勾股定理的逆定理的证明
构造Rt△A'B'C'，使两直角边为a，b，∠C'＝90°，从而得斜边A'B'＝c，得到△ABC≌△A'B'C'，所以∠C＝∠C＝90°，△ABC为直角三角形．
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第七课时 18.2 勾股定理的逆定理(3)
三维目标
一、知识与技能
能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历将实际问题转化为敷学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用章识．
2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯．
教学重点
运用勾股定理的逆定理解决实际问题．
教学难点
将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．
教具准备
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
问题：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗
师生行为：
先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法．
教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导．
生：对于问题1，是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝．小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AB的长度(如下图所示)
接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题．
二、讲授新课
活动2
[例1]判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．
(1)a＝15，b＝8，c＝17；
(2)a＝13，b＝14，c＝15；
(3)求证：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长．
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：(1)因为152＋82＝225＋64＝289，
172＝289，
所以152＋82＝172，这个三角形是直角三角形．
(2)因为132＋142＝169＋196＝365
152＝225
所以132＋142≠152．这个三角形不是直角三角形．
生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．
(3)证明： 略
师：我们把像15、8、7这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
而且我们不难发现m2－n2、m2＋n2、2mn也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m可取值的不同会得到不同的勾股数，
例如m＝2，n＝1时，m2－n2＝22－12＝3，m2＋n2＝22＋12＝5，2mn＝2×2×1＝4，而3、4、5就是一组勾股数．
你还能找到不同的勾股数吗
当m＝3，n＝2时，m2－n2＝32－22＝5，m2＋n2＝13，2mn＝2×3×2＝12，所以5、12、13也是一组勾股数，
当m＝4，n＝2时，m2－n2＝42－22＝12，m2＋n2＝20，2mn＝2×4×2＝16，所以12、16、20也是一组勾股数．
……
师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法．
活动3
[例2]“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
解：根据题意画出下图
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18，QA＝30．
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2
所以∠QPR＝90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，所以∠RPS＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．
三、巩固提高
活动4
问题：A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向
解：BC2＋AB2＝52＋122＝169，
AC2＝132＝169，
所以BC2＋AB2＝AC2，即BC的方向与BA方向成直角，∠ABC＝90°，C地应在B地的正北方向．
四，课时小结
活动5
问题：谈谈这节课的收获有哪些 掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形。
五．布置作业
六．板书设计
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18．2 勾股定理的逆定理(三)
1．勾股定理的逆定理一实际问题(判定直角三角形的形状)
2．勾股数组
3．在实际生活中的应用
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第8课时 本章小结
三维目标
1． 知识与技能
1．对直角三角形的特殊性质全面地进行总结。
2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。
3.了解勾股定理的历史。
2． 过程与方法
1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法。
2．在回顾与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神。
3． 情感态度与价值观
1.在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣。
2.通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量。
教学重点
1. 回顾并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系。
2. 体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用。
教学难点
1. 勾股定理及其逆定理的广泛应用。
2. 建立本章的知识框架图。
教具准备
教学过程
一．引入新课
勾股定理，我们把它称为世界第一定理。这的重要性，通过这一章的学习已深有体验。首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表。其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这点，我们将在＜实数＞一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程。由此它引导出各式各样的不定方程，最为著名的是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明。
勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用。
二．回顾与思考
问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形。
问题3：请你举出生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它。
例1：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如下图，据气象观测，距沿海城市A的正南260方向千米B处有一台风中心，沿BC的方向以15千米/时的速度向D移动，已知AD是城市A距台风中心的距离最短，且AD＝100千米，求台风中心经过多长时间从B点移到D点？
解：略。
例2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？试说明理由。
解：略。
问题4：你了解勾股定理的史料吗？
教师利用数学史的知识对学生进行传授，让学生对勾股定理产生浓厚的兴趣，从而提高学生学习数学的兴趣。
4． 课时小结
直角三角形
5． 布置作业
复习题18　全部练习。
6． 板书设计
本章小结
1.回顾与思考
问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
在Rt△ABC中，∠C＝900，则有∠A+∠B＝900，a2+b2＝c2
问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形。
（1）在△ABC中，如果∠A+∠B＝900 ，则△ABC是直角三角形。
（2）如果a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形。
问题3：举生活实例，用勾股定理解决它。
例1：台风问题。
例2：梯子问题。
问题4：勾股定理的史料
3. 本章知识结构图：
直角三角形
第9课时 勾股定理复习
——练习课
一．例题讲解
例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？
思路点拨：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如右图，图中△ABC中的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米，要求出飞机这时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长．（3000千米）
例2：一个零件的形状如右图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，请你判断这个零件符合要求吗？为什么？
解：在△ABC中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，
∴△ABD为直角三角形，∠A=90°．
在△BDC中，BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2．
∴△BDC是直角三角形，∠CDB=90°
因此这个零件符合要求．
例3：甲、乙两位探险者在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解：甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，那么10：00甲、乙两人相距为：122+52=169=132．
答：这时甲、乙两人相距13千米．
二．课堂练习
1．设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____．
2．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_____m．
3．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）．
A．6cm B．8.5cm
C．cm D．cm
4．有四个三角形：
（1）△ABC的三边之比为3：4：5；
（2）△A′B′C′的三边之比为5：12：13；
（3）△A′B′C′的三个内角之比为1：2：3；
（4）△CDE的三个内角之比为1：1：2．
其中是直角三角形的有（ ）．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
5．在△ABC中，AC=21cm，BC=28cm，AB=35cm，求△ABC的面积．
6．如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求DC的长．
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