勾股定理(第一课时)
一、教材分析
“勾股定理”这节内容主要讲述了直角三角形三边间的一种关系定理,它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上。同时,也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识。更重要的是,纵观初中数学,勾股定理架起了代数和几何间的桥梁。它在数学理论体系中的地位举足轻重,在日常生活、工农业生产中,应用极为广泛。从学生的角度来看,对勾股定理学习的好坏直接影响他们的后续数学学习。
二、教学目标
1、知识与技能目标:(1)让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。(2)了解定理的概念。
2、过程与方法目标:(1)了解利用拼图验证勾股定理的方法,并利用两边求直角三角形的另一边(2)让学生在充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想。(3)在探索上述过程中,发展学生归纳、概括和有条理表达活动的过程和结论的能力。
3、情感态度与价值观:(1)对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的情感,激励学生发奋学习(2)培养学生积极参与、合作交流的意识;(3)在探索勾股定理的过程中,体验获得结论的快乐,锻炼克服困难的勇气。
三、教学的重、难点
重点:探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论,从而发现勾股定理。
难点:勾股定理的证明。
四、教学设计过程
(1) 创设情景,导入新课
人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”,并试图与“他们”取得联系,那么我们怎样才能与“外星人”接触呢?数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
2002年在北京召开了第24届国际数学大会,曾被誉为数学界的“奥运会”,这就是本届大会会徽的图案(展示图案)。这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的,被称为“赵爽弦图”。你见过这图案吗?你听说过“勾股定理”吗?
勾股定理有着悠久的历史。古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系;古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系,很多具有古老文化的民族和国家都会说:我们首先认识的数学定理是勾股定理。
(二)实验操作,探求新知
相传2500年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。
情 境:毕达哥拉斯从朋友家的地砖中发现了什么?
问题1:你能发现图中等腰直角三角形ABC三边有什么关系吗?
问题2:等腰直角三角形都有上述性质吗?
观察右图,并回答问题:
(1)观察图1。
正方形A中含有___个小方格,即A的面积是___个单位面积;
正方形B中含有___个小方格,即B的面积是___个单位面积;
正方形C中含有___个小方格,即C的面积是___个单位面积;
(2)在图2、图3中,正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到结果的?与同伴交流。
(3)请将结果填入下表,你能发现正方形A、B、C的面积关系吗?
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
图2
图3
师生行为:对于问题1和问题2,教师要留给学生充分的思考时间,然后让学生交流合作,得出结论。
(设计意图:通过让学生观察计算,发现对于等腰直角三角形而言,满足两直角边的平方和等于斜边的平方,让学生亲历发现、探究的过程,也有利于培养学生的语言表达能力,体会数形结合的思想。)
小组合作探究:等腰直角三角形有上述性质,一般的直角三角形也有这个性质吗?如右图,每个小方格的面积均为1,请分别计算出下图中正方形A、B、C的面积,填入表中,看看能得出什么结论。
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
图2
师生行为:让学生让算正方形A、B、C的面积,但正方形C的面积不易求出,可以让学生在预先准备好的方格纸上画出图形,发现求正方形C的面积的方法。这个活动中计算以斜边为边长的正方形的面积有一定难度,可以通过折纸法、分割法等以解决。用折叠法所得的图案正是2002年在北京召开的数学学大会的徽标。
推广结论:在一般直角三角形中,以两直角边为边的正方形的面积等于以斜边为边的正方形的面积;即在直角三角形中,两直角边的平方等于斜边的平方;与字母相结合,数形结合,得出命题。
(设计意图:进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程,也让学生分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高,让学生体会到结论更具有一般性。)
(三)归纳验证,定理命名
1、 猜想:命题1(课本P73)
2、 验证命题1
师生行为:教师先要留给学生充分的思考时间,然后多媒体课件演示古人刘爽的证法
3、 介绍“定理”的概念,并结合以前学过的具体例子,对定理、公理的概念加以说明。
4、 命名“勾股定理”,介绍“勾、股、弦”的含义,进行点题,并指出勾股定理只适用于直角三角形。
5、 介绍古今中外对勾股定理的研究。
(设计意图:了解数学常识,激发对数学的兴趣,进行爱国主义的教育。)
(四)解析、应用与拓展
例1 在△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C所对的边分别是。
(1),求; (2)求;
(3)求; (4),求。
分析:(1)开始时要列出基本式子,变形后得,再计算。
(2)(3)小题目由学生完成;(4)利用方程的思想方法解决。
解:(1)∵∴
∴
(2)(3)略
(4)设 ,得 =15
解得,,所以
练习1:在Rt △ABC中, ∠B= 90°,
已知a=5,b=10,则c=( )。
练习2:在Rt △ABC中,∠A= 90°,
已知a=20,c=10,则b=( ).
练习3:等边△ABC的边长为,则高AD= ,面积为 。
(五)课堂小结
1、这节课你学到了什么知识?
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 a2 + b2 = c2 。 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、本节课我们经历了怎样的过程?
(六)作业设计
1、 必做题:课本P77习题18.1第一题,P78第2题。
2、 选做题:(1)课本P80 阅读与思考,你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗?
B
c
a
A
C
b