22.2 相似的判定 专题汇总（有答案）
文档属性
| 名称 | 22.2 相似的判定 专题汇总（有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 595.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-30 22:30:57 | ||
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文档简介
沪科版九年级上册22.2相似的判定-例题汇编
预备定理
【模型分析】
A型相似 X型相似
【例题精讲】
1-1如图
若AE：AB= AB:AC__，则△ABC∽△AEF
若∠E=_∠B_,则△ABC∽△AEF
1-2如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE交CD于点F，FG//AD交AB于点G.
填空：图中与△CEF相似的三角形有_△BEA,△DAF,_△GFA_;（写出图中与△CEF相似的所有三角形）
从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似。
【答案】△BEA∽△CEF
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD
∴∠EFC=∠EAB,∠ECF=∠EBA,∠E=∠E
又∵
∴△BEA∽△CEF
1-3．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据预备定理，不难得出
①△ABD∽△FDE②△ACD∽△AEF③△ECD∽△EAB
两角分别相等的两个三角形相似
【模型分析】
一线三等角
8字型 A型
反8型 反A型
射影定理 当两个三角形相似且有公共边时，借助对应边成比例往往可以得到形式的关系.例如：”母子型”中
适用范围：A型、反A型，反8型，一线三等角，子母型相似
2-1、如图，D是△ABC的边AC上一点，那么以下四个命题中错误的是（ D ）
A. 如果 ∠,则 B. 如果∠,则
C. 如果 D. 如果
【解析】
A选项∠，且∠A为公共角，根据判定定理1求证
B选项∠，且∠A为公共角，根据判定定理1求证
C选项，且夹角为公共角∠A,根据判定定理2求证；
D选项中对应边成比例，但是对应夹角不相等，所以D选项错误；
2-2、如图，在中，是边上的一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：
【答案】
证明：∵BE=BC
∴∠C=∠CEB.
∵∠CEB=∠AED
∴∠C=∠AED
∵AD⊥BE
∴∠D=∠ABC=90°，
∴
2-3、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC,AB上，且∠ADE=60°，求证：△ADC∽△DEB
【答案】
证明：△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°.
∴∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60°.
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°
∴∠CAD=∠BDE.
∴△ADC∽△DEB.
2-4、如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E,且DE//AC.
求证：
若，且AC=14,求AD的长
证明 :
是角平分线，
解
平分 ，
,
,
解之 : ，,
，
, ，
，,
,解之: .
3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【模型汇总】
使用范围：一线三等角-射影定理，A型反A型相似，母子型相似
3-1、已知在中， 下列阴影部分的三角形与原三角形不相似的是（ B ）
A. B.
C. D.
【解答】
A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、虽有两组边对应成比例，但相等的角不是它们的夹角，所以不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原ABC相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意
3-2、如图，点P在 的边 上，下列条件中不能判断 的是（ D ）
A. B. C. D.
【解答】
， ，不符合题意；
, ，不符合意；
，即 ，不符合题意；
D. 根据 和 不能判断 ，符合题意 .
故答案为 : D.
3-3如图，在中，点， 分别在边 上， ，线段分别交线段，BC于点，G，且.
（1）求证: ;
（2）若 ，求 的值.
【答案】
证明: ，
（2）解:
，
4、三边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4-1．如图所示，在正方形网格中有两个三角形A1B1C1和A2B2C2.求证：△A1B1C1∽△A2B2C2.
【答案】 设网格中每个小正方形的边长均为1.由勾股定理，得A1B1＝＝，A1C1＝＝，A2B2＝＝，B2C2＝＝.又知B1C1＝5，A2C2＝2，∴＝＝， ＝，＝＝，∴＝＝，∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
4-2如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝.当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
解：相似，理由如下：∵＝，∴＝，又∵＝＝，∴＝＝，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，又∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′
4-3如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是边长相等的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
【答案】
解：(1)△ACF与△GCA相似．理由：可设正方形ABCD，CDEF，EFGH的边长为a，则△ACF的三边长分别为AC＝a，CF＝a，AF＝a，△GCA的三边长分别为AC＝a，CG＝2a，AG＝a.∴＝＝，＝＝，＝＝.∴＝＝.∴△ACF与△GCA相似．
(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
预备定理
【模型分析】
A型相似 X型相似
【例题精讲】
1-1如图
若AE：AB= AB:AC__，则△ABC∽△AEF
若∠E=_∠B_,则△ABC∽△AEF
1-2如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE交CD于点F，FG//AD交AB于点G.
填空：图中与△CEF相似的三角形有_△BEA,△DAF,_△GFA_;（写出图中与△CEF相似的所有三角形）
从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似。
【答案】△BEA∽△CEF
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD
∴∠EFC=∠EAB,∠ECF=∠EBA,∠E=∠E
又∵
∴△BEA∽△CEF
1-3．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据预备定理，不难得出
①△ABD∽△FDE②△ACD∽△AEF③△ECD∽△EAB
两角分别相等的两个三角形相似
【模型分析】
一线三等角
8字型 A型
反8型 反A型
射影定理 当两个三角形相似且有公共边时，借助对应边成比例往往可以得到形式的关系.例如：”母子型”中
适用范围：A型、反A型，反8型，一线三等角，子母型相似
2-1、如图，D是△ABC的边AC上一点，那么以下四个命题中错误的是（ D ）
A. 如果 ∠,则 B. 如果∠,则
C. 如果 D. 如果
【解析】
A选项∠，且∠A为公共角，根据判定定理1求证
B选项∠，且∠A为公共角，根据判定定理1求证
C选项，且夹角为公共角∠A,根据判定定理2求证；
D选项中对应边成比例，但是对应夹角不相等，所以D选项错误；
2-2、如图，在中，是边上的一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：
【答案】
证明：∵BE=BC
∴∠C=∠CEB.
∵∠CEB=∠AED
∴∠C=∠AED
∵AD⊥BE
∴∠D=∠ABC=90°，
∴
2-3、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC,AB上，且∠ADE=60°，求证：△ADC∽△DEB
【答案】
证明：△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°.
∴∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60°.
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB=∠BDE+60°
∴∠CAD=∠BDE.
∴△ADC∽△DEB.
2-4、如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE平分∠CDB交BC于点E,且DE//AC.
求证：
若，且AC=14,求AD的长
证明 :
是角平分线，
解
平分 ，
,
,
解之 : ，,
，
, ，
，,
,解之: .
3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【模型汇总】
使用范围：一线三等角-射影定理，A型反A型相似，母子型相似
3-1、已知在中， 下列阴影部分的三角形与原三角形不相似的是（ B ）
A. B.
C. D.
【解答】
A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、虽有两组边对应成比例，但相等的角不是它们的夹角，所以不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原ABC相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意
3-2、如图，点P在 的边 上，下列条件中不能判断 的是（ D ）
A. B. C. D.
【解答】
， ，不符合题意；
, ，不符合意；
，即 ，不符合题意；
D. 根据 和 不能判断 ，符合题意 .
故答案为 : D.
3-3如图，在中，点， 分别在边 上， ，线段分别交线段，BC于点，G，且.
（1）求证: ;
（2）若 ，求 的值.
【答案】
证明: ，
（2）解:
，
4、三边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4-1．如图所示，在正方形网格中有两个三角形A1B1C1和A2B2C2.求证：△A1B1C1∽△A2B2C2.
【答案】 设网格中每个小正方形的边长均为1.由勾股定理，得A1B1＝＝，A1C1＝＝，A2B2＝＝，B2C2＝＝.又知B1C1＝5，A2C2＝2，∴＝＝， ＝，＝＝，∴＝＝，∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
4-2如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝.当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
解：相似，理由如下：∵＝，∴＝，又∵＝＝，∴＝＝，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，又∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′
4-3如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是边长相等的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
【答案】
解：(1)△ACF与△GCA相似．理由：可设正方形ABCD，CDEF，EFGH的边长为a，则△ACF的三边长分别为AC＝a，CF＝a，AF＝a，△GCA的三边长分别为AC＝a，CG＝2a，AG＝a.∴＝＝，＝＝，＝＝.∴＝＝.∴△ACF与△GCA相似．
(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.