勾股定理[下学期]
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文档简介
勾股定理
［教学目标］
1. 了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算和证明。
2. 通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力。
3. 了解勾股定理的证明，培养学生的爱国情怀。
二. 重点、难点：
勾股定理的应用。
三. 教学过程设计：
（一）勾股定理的证明
发现勾股定理的是毕达哥拉斯（约公元前580～公元前500年），他是一个哲学家，也是一个著名的数学家。
我国西周开国时期的商高（公元前1120年）就发现了这个定理。因而，西方的发现比我国要迟好几百年。由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此我国把这个定理简称为勾股定理。我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法。
（二）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。
勾股定理的应用方法：
（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵AB＞0，
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵AC＞0，
【典型例题】
例1. （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵c＞0，
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵b＞0，
例2. 已知直角三角形的两边长，求第三边的长。
解：（1）若AB、BC均为直角边
（2）若BC为斜边
例3. （1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________；
（2）如图所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，则AC＝___________；又若CD⊥AB，则CD＝___________。
（3）等边△ABC的边长为a，则高AD＝___________，___________。
解：（1）
（2）
（3）
通过此题总结几个基本图形中的常用结论：
①等腰直角三角形三边比为
②含30°角的直角三角形三边之比为
③边长为a的等边三角形的高为，面积为
例4. 求下图所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）。
解：
例5. 作长为的线段
分析：由勾股定理、直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边。
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角，斜边为。
（3）顺次这样作下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、的长度就是。
以上作法根据勾股定理均可证明为正确的。
取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
例6. 如图所示，，∠DAC＝90°，求BD的长。
解：作AE⊥BC于E
设BD为x，则
又
将上式代入，得：
即
解得：
例7. 如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。
求证：
分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。
Rt△ACD中，
Rt△BCD中，
（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：
例8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1，求△ABC的面积。
提示：添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决。或直接在∠ABC内作∠ABE＝15°，交CA边于E。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 判断题：
等腰直角三角形中，斜边是任一直角边的倍。（ ）
2. 等边三角形边长为10，求它的高和面积。
3. 已知：如图，隔湖有两点 A、B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C，测得CA＝50m，CB＝40m。求AB。
4. 已知一个工件尺寸如图（单位mm），计算的长（精确到0.1mm）
5. 如图（单位mm），车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离AB是134mm，两孔中心的水平距离BC是77mm，计算两孔中心的垂直距离AC（精确到0.1mm）。
6. 要修一个育苗棚（如图），棚宽a＝3m，高b＝1.5m，长d＝10m。求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少m2（精确到0.1m2）
7. 想一想，如图，分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系？为什么？
8. 如图所示，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝8。求AC边的长。
9. 计算题：
如图，△ABC，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝14.4cm，求AD的长。
10. 证明题：
已知：△ABC的三个角度数的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3。
求证：
【试题答案】
1. 略 2.
3. 30m 4. 82.0mm
5. 109.7mm 6. 33.5
7. 以直角三角形两直角边为直径的两个半圆的面积之和等于以该直角三角形斜边为直径作的半圆的面积，利用勾股定理证明。
8. 分析：添加辅助线——作CD⊥AB于D，构造含45°，30°角的直角三角形列方程解决问题。
答案：
9. 解：∵AB＝AC，∠C＝30°
∴∠C＝∠B＝30°
又∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°
∴∠DAC＝∠C＝30°
∴设DC＝AD＝xcm
∴BD＝2x cm
∴AD的长为4.8cm
10. 证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3
∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°
∴c＝2a
［教学目标］
1. 了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算和证明。
2. 通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力。
3. 了解勾股定理的证明，培养学生的爱国情怀。
二. 重点、难点：
勾股定理的应用。
三. 教学过程设计：
（一）勾股定理的证明
发现勾股定理的是毕达哥拉斯（约公元前580～公元前500年），他是一个哲学家，也是一个著名的数学家。
我国西周开国时期的商高（公元前1120年）就发现了这个定理。因而，西方的发现比我国要迟好几百年。由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此我国把这个定理简称为勾股定理。我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法。
（二）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。
勾股定理的应用方法：
（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵AB＞0，
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵AC＞0，
【典型例题】
例1. （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵c＞0，
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵b＞0，
例2. 已知直角三角形的两边长，求第三边的长。
解：（1）若AB、BC均为直角边
（2）若BC为斜边
例3. （1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________；
（2）如图所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，则AC＝___________；又若CD⊥AB，则CD＝___________。
（3）等边△ABC的边长为a，则高AD＝___________，___________。
解：（1）
（2）
（3）
通过此题总结几个基本图形中的常用结论：
①等腰直角三角形三边比为
②含30°角的直角三角形三边之比为
③边长为a的等边三角形的高为，面积为
例4. 求下图所示（单位mm）矩形零件上两孔中心A和B的距离（精确到0.1mm）。
解：
例5. 作长为的线段
分析：由勾股定理、直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边。
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角，斜边为。
（3）顺次这样作下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、的长度就是。
以上作法根据勾股定理均可证明为正确的。
取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
例6. 如图所示，，∠DAC＝90°，求BD的长。
解：作AE⊥BC于E
设BD为x，则
又
将上式代入，得：
即
解得：
例7. 如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。
求证：
分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。
Rt△ACD中，
Rt△BCD中，
（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：
例8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，BC＝1，求△ABC的面积。
提示：添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决。或直接在∠ABC内作∠ABE＝15°，交CA边于E。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 判断题：
等腰直角三角形中，斜边是任一直角边的倍。（ ）
2. 等边三角形边长为10，求它的高和面积。
3. 已知：如图，隔湖有两点 A、B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C，测得CA＝50m，CB＝40m。求AB。
4. 已知一个工件尺寸如图（单位mm），计算的长（精确到0.1mm）
5. 如图（单位mm），车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离AB是134mm，两孔中心的水平距离BC是77mm，计算两孔中心的垂直距离AC（精确到0.1mm）。
6. 要修一个育苗棚（如图），棚宽a＝3m，高b＝1.5m，长d＝10m。求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少m2（精确到0.1m2）
7. 想一想，如图，分别以直角三角形三边为直径作三个半圆，这三个半圆的面积之间有什么关系？为什么？
8. 如图所示，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝8。求AC边的长。
9. 计算题：
如图，△ABC，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝14.4cm，求AD的长。
10. 证明题：
已知：△ABC的三个角度数的比∠A：∠B：∠C＝1：2：3。
求证：
【试题答案】
1. 略 2.
3. 30m 4. 82.0mm
5. 109.7mm 6. 33.5
7. 以直角三角形两直角边为直径的两个半圆的面积之和等于以该直角三角形斜边为直径作的半圆的面积，利用勾股定理证明。
8. 分析：添加辅助线——作CD⊥AB于D，构造含45°，30°角的直角三角形列方程解决问题。
答案：
9. 解：∵AB＝AC，∠C＝30°
∴∠C＝∠B＝30°
又∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°
∴∠DAC＝∠C＝30°
∴设DC＝AD＝xcm
∴BD＝2x cm
∴AD的长为4.8cm
10. 证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3
∴∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°
∴c＝2a