2022-2023学年人教版数学九年级上册第二十四章24.1.1 圆（含答案）

第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
基础知识·细解读
知识点一 圆的定义
圆的定义 描述性定义：如右图，圆可看成在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
集合性定义：圆可看成是平面上所有到定点的距离等于定长的点的集合
圆的表示 以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”
圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）平面上，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
【例1】矩形ABCD的四个顶点是否在同一个圆上？如果不在，请说明理由；如果在，请指出圆心和半径
解：如图24.1-1，连接AC，BD相交于点O.
因为四边形ABCD是矩形，所以，.因为AC=BD，所以OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四个顶点在以点O为圆心，OA长为半径的圆上.
总结
巧用圆的特性，判断多点共圆
判断多点是否在同一个圆上的问题，实质上是寻找一个定点，判断这些点到定点的距离是否相等.若存在这样的定点，则这些点在同一个圆上；若不存在这样的定点，则这些点就不在同一个圆上.
知识点二 圆的相关概念
名称 内容
弦 连接圆上任意两点的线段，如右图中“弦AC”
直径 经过圆心的弦，如右图中“直径AB”
弧、半圆、劣弧、优弧 弧：圆上任意两点间的部分，简称弧
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都是半圆
优弧：大于半圆的弧，用三个点表示，如右图中“”
劣弧：小于半圆的弧，用两个点表示，如右图中“”“”
等圆 能够重合的两个圆
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧
【例2】有以下结论：
①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
解析：直径相等即半径相等，所以①正确；等弧是指在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以②错误；直径把圆分成的两个半圆就是等弧，所以③错误.
答案：A
知识点三 垂直于弦的直径
1 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
注意：（1）一个圆的对称轴有无数条.
（2）对称轴为直线，直径是线段，故直径不是圆的对称轴，注意对
“直径所在的直线都是圆的对称轴”的理解.
2 垂径定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
平分弦（不是 直径）的直径 垂直于弦，并 且平分弦所对 的两条弧 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【例3】如图24.1-3，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为（ ）
A.3 B.2.5 C.4 D.3.5
解析：连接OA（图略），在⊙O中，因为OP⊥AB，所以.
在Rt△OAP中，.
答案：C
总结
明确四个量的关系，轻松应用垂径定理解决问题
在垂径定理的应用中，经常涉及弦长a、圆心到弦的距离d、半径r及弓形高（弦所对的弧的中点到弦的距离）h四个量，这四个量的关系可通过构造直角三角形，利用勾股定理及线段之间的关系建立如下常用结论：，r=d+h，对于此结论需熟练掌握.
知识点四 弧、弦、圆心角之间的关系
1 圆的旋转对称性
圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，因此圆也是中心对称图形，圆心是对称中心.
2 圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角，如图24.1-4所示的∠AOB是圆心角.
3 弧、弦、圆心角之间的关系
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
重要 推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
【例4】如图24.1-6，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E，求证：
（1）；
（2）CD=CE.
证明：（1）由题意可知，AC=BC，∠A=∠B.
因为OA=OD=OE=OB，
所以∠ODA=∠A=∠B=∠OEB.
因为∠AOD+∠ODA+∠A=180°，
∠BOE+∠B+∠OEB=180°，
所以∠AOD=∠BOE.
所以.
（2）由（1），知∠AOD=∠BOE，所以AD=BE.
又因为AC=BC，所以AC-AD=BC-BE，即CD=CE.
总结
运用弧、弦、圆心角之间的关系，轻松证明相等问题
（1）在同圆或等圆中，证明等弧的问题目前可以有三种途径，一是由垂径定理得到等弧，二是证明弧所对的圆心角相等，三是证明弧所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，当证明等弦、等角的问题时，除利用三角形全等及其他相关的性质外，一定要善于利用弧、弦、圆心角三者的相关定理来完成.
知识点五 圆周角定理及其推论
1 圆周角必须满足的两个条件
（1）角的顶点在圆上；
（2）角的两边都与圆相交.
如图24.1-7，∠BAE，∠BDC都是圆周角.
2 圆周角定理及其推论
名称 文字语言 符号语言 图示
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，那么∠BAC=
重要 同弧或等弧所对的圆周角相等 ∠ACB，∠ADB是圆周角，那么∠ACB=∠ADB
推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 若AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°；若∠ACB= 90°或∠ADB=90°，则AB为直径
【例5】（广东茂名中考）如图24.1-8，A，B，C是⊙O上的三点，且∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ）
A.150° B.140° C.130° D.120°
解析：因为∠AOC和∠B分别是⊙O中所对的圆心角和圆周角，所以∠AOC=2∠B.因为∠B=75°，所以∠AOC=150°.故选A.
答案：A
【例6】如图24.1-9，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AC=AB，证明：BD=CD.
证明：如图24.1-10，连接AD.
因为AB是直径，所以∠ADB=90°，所以AD⊥BC.
又因为AB=AC，所以BD=CD（三线合一）.
总结
巧用圆周角定理及其推论解决两类问题
（1）解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.
（2）在圆中有直径即可连接圆上两点，构造直径所对的圆周角，这是圆中添加辅助线的一种常用方法.
知识点六 圆内接多边形
1 圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图24.1-11，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
2 圆内接四边形
①性质：圆内接四边形的对角互补.
②符号语言：如图241-11所示.
因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
【例7】（甘肃兰州中考）如图24.1-12，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=（ ）
A.45° B.50° C.60° D.75°
解析：因为圆周角∠ADC与圆心角∠AOC所对的弧都是，所以，即∠AOC=2∠ADC.因为四边形ABCO是平行四边形，所以∠AOC=∠B，所以∠B=2∠ADC.因为四边形ABCD内接于⊙O，所以∠B+∠ADC=180°，即2∠ADC+∠ADC=180°，解得∠ADC=60°.故选C.
答案：C
总结
圆中求角的四个常用思路
（1）同弧所对的圆周角相等；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
（3）圆的内接四边形的对角互补；
（4）同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形中，等边对等角.
特别提醒
（1）“圆”指的是“圆周”，即圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”.
（2）“圆上的点”指的是“圆周上的点”，圆心不在圆周上.
（3）确定圆的两个要素：
特别提醒
（1）直径是圆中最长的弦，而弦不一定是直径.
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
（3）弧包括优弧、劣弧和半圆.
（4）等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关.
（5）等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧.
特别提醒
与圆有关的概念较多，彼此之间的差异如果不能准确理解，在辨析概念时极容易产生错误，高效记忆的好方法是借助图形，利用图形的形象化优势，辨清概念差别，准确掌握.
特别提醒
（1）垂径定理中的直径可以是半径、过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”.
（2）当垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立.
（3）垂径定理的推论中，“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立.如图24.1-2所示，当弦CD为直径时，AB平分CD，但结论不成立.
拓展
1.与垂径定理有关的常用结论：
（1）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
2.对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：
（1）过圆心；
（2）垂直于弦；
（3）平分弦（非直径）；
（4）平分弦所对的劣弧；
（5）平分弦所对的优弧.
简记为“知二推三”
特别提醒
（1）在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论解决问题时，一定要注意“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则结论不一定成立.如图24.1-5，∠AOB=∠COD，但，.
（2）在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角“知一推二”，即知道其中的一组相等，其余两组均相等.
特别提醒
圆心角和圆周角的区别与联系
项目 圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个
联系 两边都与圆相交
特别提醒
（1）圆周角定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，故不能把“一条弧所对的”去掉.
（2）同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都相等，但注意不要误以为“同一条弦所对的圆周角也相等”.一条弦（非直径）所对的圆周角有两类，它们是相等或互补的关系，即圆周角在弦的同侧时相等，异侧时互补.
特别提醒
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
拓展
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
应用能力·巧提升
题型一 根据圆的定义解决问题
【例1】如图24.1-13，矩形PAOB的顶点P在上，且不与点M，N重合.顶点A，B分别在线段OM，ON上，当点P在上从点M移动到点N时，的值（ ）
A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.不能确定
审题关键：由于待求式的形式为平方和的形式，且有矩形为条件，故考虑用勾股定理转化，转化时注意圆的性质的应用.
解析：连接OP（图略）.因为在Rt△PAB中，，在矩形PAOB中，OP=AB，所以.又因为在同一个圆中，半径为定值，所以为定值，所以的值不变.
答案：C
解后反思
在同一个圆中，半径为定值是一个容易被忽略的条件，在解答与圆有关的证明或计算问题时，要善于挖掘和运用这一隐含条件，为解题提供帮助.
题型二 垂径定理及其推论的应用
角度1 利用垂径定理及其推论进行计算
【例2】（贵州安顺中考）如图24.1-15，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=________.
审题关键：因为已知中存在直径，且有和直径垂直的弦，所以可通过垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解.
解析：连接OC（图略），因为AB=8，所以OC=OB=4.
因为CD上AB，CD=6，所以CE=3.在Rt△OCE中，，所以.
答案：
方法技巧
构造直角三角形，利用垂径定理解决问题
涉及圆中的弦、圆心到弦的距离、半径、弧、中点等问题，通常连半径或作垂直于弦的直径，构造直角三角形，应用垂径定理解决问题，或者在半径、圆心到弦的垂线段和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构造方程求出未知线段的长解决问题.
角度2 利用垂径定理及其推论进行证明
【例3】如图24.1-17，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC=BD.求证：△OCD是等腰三角形.
审题关键：由题图可知，圆中有弦存在，且要证明的结论与弦有关，所以可尝试利用垂径定理证明.
破题思路：
过点O作OM⊥AB由垂径定理，得AM=BMCM=DMOM垂直平分线段CDOC=OD
证明：如图24.1-18，过点O作OM⊥AB，垂足为M.
因为OM⊥AB，所以AM=BM.
因为AC=BD，所以CM=DM.
又因为OM⊥AB，所以OC=OD，
所以△OCD为等腰三角形.
解后反思
由垂径定理可以得到“平分弦”，这往往能够得到相等的线段，进而构造中线等，为问题的解答提供依据.
角度3 利用垂径定理及其推论解决实际问题
【例4】如图24.1-20，秋千链子的长度为3m，静止时踏板到地面的距离为0.5m，摆到最大高度时踏板距地面2m.试问：秋千摆动时，踏板前后摆动的最大距离为多少米？（秋千踏板的大小忽略不计）
审题关键：解答本题的关键是把实际问题转化为垂径定理模型求解.
破题思路：连接秋千摆到最大高度时的两个端点，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
解：如图24.1-21，设秋千链子的上端固定于点A处，秋千踏板摆动到最高位置时，踏板位于点B处或点C处.连接BC，过点A的铅垂线为AD，交BC于点E，则BC⊥AD.
在Rt△ABE中，AB=3m，AE=AD+0.5-2=1.5（m），
所以.
所以.
答：秋千摆动时，踏板前后摆动的最大距离为.
解后反思
在应用垂径定理及其推论解决实际问题时，一般需要根据实际情况确定圆弧及圆弧所在圆的圆心和半径，进而构造出直角三角形求解.
题型三 弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用
【例5】如图24.1-24，，D，E分别是半径OA，OB的中点，CD与CE的大小有什么关系？为什么？
审题关键：要证明两条线段相等，可证明两条线段所在的两个三角形全等，利用弧与圆心角的关系定理得出全等条件.
破题思路：可以猜测CD=CE.连接OC，证明△OCD≌△OCE即可.只要证明圆心角∠AOC=∠BOC，根据“SAS”，就可以得到△OD≌△OCE.
解：CD=CE.理由如下：
如图24.1-25，连接OC.因为，所以∠AOC=∠BOC.因为D，E分别是半径OA，OB的中点，所以OD=OE.又因为OC=OC，所以△OCD≌△OCE.所以CD=CE.
规律总结
弧在弦、弧、圆心角三者中的桥梁作用
弧在圆的证明和计算中往往起到一个桥梁的作用.在圆中，当遇到等弧时，常常先转化为等角或等弦，再进一步求解或证明.
题型四 圆周角定理及其推论的应用
角度1 利用圆周角与圆心角的数量关系求角度
【例6】（贵州毕节中考）如图24.1-28，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）
A.100° B.72° C.64° D.36°
审题关键：∠A与∠BOC分别是同弧所对的圆周角和圆心角，利用圆周角与圆心角的数量关系，即可求出∠BOC的度数，从而将条件集中在△COE中，为求解创造条件.
解析：因为∠A与∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，
所以∠BOC=2∠A=72°.
在△COE中，∠C=28°，∠BOC=72°，
所以∠AEB=∠CEO=180°-28°-72°=80°，
所以∠B=180°-36°-80°=64°.
答案：C
解后反思
圆周角定理揭示了圆周角与圆心角之间的数量关系，利用这一数量关系可以解决求圆周角或圆心角度数的问题.
角度2 圆周角定理推论的应用
【例7】（四川乐山中考）如图24.1-30，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
审题关键：欲求∠CAB，在△ABC中，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，所以只需知道∠ABC的度数在⊙O中，∠ABC=∠ADC，在等腰三角形ACD中，由已知∠ACD的度数可得解.
解析：因为CA=CD，且∠ACD=40°，所以∠ADC=70°.在⊙O中，因为AB为直径，所以∠ACB=90°.因为∠ABC与∠ADC都是⊙O中所对的圆周角，所以∠ABC=∠ADC=70°，所以∠CAB=90°-∠ABC=90°-70°=20°.故选B.
答案：B
方法技巧
见“直径”，找直角三角形
直径所对的圆周角是直角，是圆中重要的性质定理.在圆中遇到直径”，常构造直角，利用直角三角形的性质及勾股定理解决问题.
题型五 利用圆内接四边形的性质进行计算或证明
【例8】（江苏南京中考）如图24.1-32，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE.
（1）求证：∠A=∠AEB.
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD求证：△ABE是等边三角形.
审题关键：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且待求的结论中涉及四边形ABCD的内角，故可考虑从圆内接四边形的性质入手解题.
破题思路：（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，再利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；
（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，然后根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形.
证明：（1）因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A+∠BCD=180°.因为∠DCE+∠BCD=180°，所以∠A=∠DCE.因为DC=DE，所以∠DCE=∠AEB.所以∠A=∠AEB.
（2）因为∠A=∠AEB，所以△ABE是等腰三角形.因为OE⊥CD，所以CF=DF.所以EO是线段CD的垂直平分线.所以ED=EC.因为DC=DE，所以DC=DE=EC.所以△DCE是等边三角形.所以∠AEB=60°.所以∠A=∠AEB=60°，所以△ABE是等边三角形.
利用互补关系证明角相等是一种常用的解题技巧，圆内接四边形的对角是互补关系，要牢记！
变式训练
1.如图24.1-14所示，已知在△ABC中，D是∠BAC的平分线上的点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E.求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心.
变式训练
2.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图24.1-16所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1，AB=10，求直径CD的长.
3.如图24.1-19，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且OE=OF.
求证：AE=BF.
4.（四川南充中考）图24.1-22是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是________mm.
5如图24.1-23，水平放置的圆柱形排水管的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，求排水管内水的深度.
变式训练
6.如图24.1-26，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，∠AOB=60°.求∠BDC的度数.
7.如图24.1-27，AB，CD，EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC，EB，DF是否相等？为什么？
变式训练
8.如图24.1-29，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A.25° B.30° C.40° D.50°
9.（山东滨州中考）如图24.1-31，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A.②④⑤⑥ B.①③⑤⑥ C.②③④⑥ D.①③④⑤
变式训练
10.如图24.1-33，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数.
易误易混·精辨析
易错点 审题不细致导致漏解
【例】已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，求AB，CD之间的距离.
解：根据题意画图（如图24.1-34），可能会出现两种情况：当AB和CD在圆心O的同侧时，如图24.1-34①所示；当AB和CD在圆心O的异侧时，如图24.1-34②所示分别根据这两种情况求解.
（1）如图24.1-34①，过点O作OM⊥AB，垂足为M，延长OM交CD于点N.
由AB∥CD，得ON⊥CD.
由垂径定理，得（cm），（cm）.
由勾股定理，得
（cm）.
（cm）.
所以MN=ON-OM=8-6=2（cm）.
（2）在图24.1-34②中，可得MN=OM+ON=6+8=14（cm）
所以AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
防错警示
对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论，避免在解题时，只考虑一种情况，而漏掉另一种情况，从而出现漏解的失误.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（湖北黄石中考）如图24.1-35所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ） A.5 B.7 C.9 D.11 解析：因为ON⊥AB，所以，∠ANO=90°.在Rt△AON中，由勾股定理，得.故选A. 答案：A 教材第83页练习第1题 如图24.1-36，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径. 解：因为OE⊥AB， 所以∠AECO=90°，. 在Rt△ABO中，由勾股定理，得 ， 所以OA=5cm，即⊙O的半径为5cm.
命题人解密：教材习题很典型地考查了应用垂径定理求圆的半径问题，中考题就是针对这一考点进行设置，不同的是教材习题是已知弦长和圆心到弦的距离，求圆的半径，而中考题是已知圆的半径和弦长，求圆心到弦的距离 阅卷人解密：解决此类问题的关键是掌握垂径定理及其推论，同时要注意计算的准确性，避免因为计算错误而导致失分.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.（四川自贡中考）如图24.1-37，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A.15° B.25° C.30° D.75°
2.（湖南张家界中考）如图24.1-38，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A.7° B.60° C.45° D.30°
3.（四川雅安中考改编）如图24.1-39，⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是（ ）
A.4≤OP≤5 B.6≤OP<10 C.6≤OP≤10 D.44.如图24.1-40，∠A是⊙O的圆周角，∠A=50°，则∠OBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.（湖北黄冈中考）如图24.1-41，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC=________.
6.如图24.1-42，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：.
7.如图241-43所示，某窗户是由矩形和弓形组成的，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃请帮工程师求出所在⊙O的半径r.
【能力提升】
8（江苏常州中考）如图24.1-44，把直角三角尺的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ）
A.cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
9.（山东聊城中考）如图24.1-45所示，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长，交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A.45° B.50° C.55° D.60°
10.（山东泰安中考）如图241-46，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于（ ）
A.12.5° B.15° C.20° D.22.5°
11.如图24.1-47，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长，交AD于点F，且CF⊥AD.
（1）证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长.
【拓展创新】
12如图24.1-48，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于点D，P是上一动点，连接PB分别交AD，AC于点E，F.
（1）当时，求证：AE=EB.
（2）当点P在什么位置时，AE=EF？证明你的结论.
本书参考答案
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
应用能力·巧提升
1.证明：因为，所以.
因为是的平分线上的点，所以.
所以.所以.
因为，所以.
所以，.
又因为，所以.
所以.所以.
所以点是过，，三点的圆的圆心.
2.解：如答图24.1-1，连接.
因为，为直径，所以.
在中，设，则，由勾股定理，得.
解得.
所以.
所以.
3.证明：如答图24.1-2，过点作于点，则.
又因为，所以，所以.
4.50 解析：设圆心为.由题意知，点在上.
如答图24.1-3，连接，，因为直线是它的对称轴，所以mm， mm.因为，所以，所以 mm，所以（mm），所以能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm.
5.解：如答图24.1-4，设截面圆的圆心为，过点作，为垂足，将线段向两边延长，交于，两点，连接，则 m， m.因为，所以 m.
在中，，所以 m，则（m），即排水管内水的深度为0.8 m.
6.解：如答图24.1-5，连接.
因为是的直径，，，
所以.
因为，所以，所以.
7解：相等.理由如下：
因为，，都是的直径，
所以.
因为，所以.
所以.所以.
8.D 解析：连接（图略）.
因为，所以，所以，故选D.
9.D 解析：因为是直径，所以，即，所以①成立；由①知，，所以，所以，所以，因此③成立；，，若，则，则，由③知，所以是半圆的三等分点，而由已知无法推断出是半圆的三等分点，因此②不符合题意；由③知，所以，因此④成立；由④知，，，所以，因此⑤成立；若成立，则，此时，此式不一定成立，故⑥不符合题意，因此①③④⑤一定成立，故选D.
10.解：在中，因为，所以.
在圆内接四边形中，因为.
所以.
高效训练·速提能
1.C 解析：因为，，所以，所以，故选C.
2.D 解析：因为是的直径，所以.
因为，所以，故选D.
3.A 解析：如答图24.1-6，连接，作于点.
因为的直径为10，所以.
所以的最大值为5.
因为，所以.
因为，所以.
在中，，的长即为的最小值.
所以.故选A.
4.B 解析：因为，所以.因为，所以，故选B.
5.35° 解析：因为，所以.又因为，所以.
6.证明：连接，（图略）.
因为，，分别是，的中点，所以.因为，，所以.又因为，所以.所以.所以.
7.解：因为弓形的跨度m，为弓形的高，所以于点，所以m.
因为所在的半径为，弓形的高 m，所以，.
在中，由勾股定理，知，即，所以m.
所以所在的半径为m.
8.B 解析：连接（图略）.因为，所以为直径由勾股定理，得（cm），所以圆玻璃镜的半径是（cm），故选B.
9.B 解析：因为四边形内接于，所以.
因为，所以.又因为，所以，故选B.
10.B 解析：如答图24.1-7，连接.因为四边形是平行四边形，所以.因为，所以，所以为等边三角形，所以.又因为，所以，所以，所以.故选B.
11.（1）证明：连接，如答图24.1-8.
因为直径垂直于弦于点，所以，所以.
因为过圆心的直线，所以，即是线段的垂直平分线，所以，所以，即是等边三角形，所以.
因此，在中，有，所以，所以为的中点.
（2）解：因为，所以.
又因为，所以.
在中，由勾股定理可得，，所以.
12.（1）证明：如答图24.1-9，延长，交于点，连接，.因为为的直径，于点，所以.所以.又因为，所以.所以.以.
（2）解：当时，.
证明：如答图24.1-9，由（1），得.
因为为的直径，所以.
所以
所以.
所以.
教材参考答案
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
练习（第81页）
1解：首先在操场中央固定钉子作为圆心，然后找一根长为5m的绳子系在钉子上，在绳子的另一头固定一支粉笔，最后把绳子拉直绕着钉子画一圈就是一个半径为5m的圆理由如下：从画图的过程看，粉笔到钉子的距离始终等于定长5m，这符合圆的定义.
2.解：（cm），
所以这棵树的半径平均每年增加0.575cm.
3.证明：如答图24.1-1，取AB边的中点O，连接CO.因为，点O是斜边AB上的中点，所以.所以点A，B，C到点O的距离相等.所以A，B，C三点在同一个圆上.
练习（第83页）
1.解：因为OE⊥AB，所以，.在Rt△AEO中，由勾股定理，得，所以，即⊙O的半径为5cm.
2.证明：因为AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，所以.所以四边形ADOE
是矩形.因为OD⊥AB，OE⊥AC，所以，.又因为，所以.所以四边形ADOE是正方形.
练习（第85页）
1.（1）
（2）
（3）
（4）解：.理由如下：
因为OE⊥AB，所以.
因为OF⊥CD，所以.
因为，所以.
因为OE⊥AB，OF⊥CD，
所以.
在Rt△AOE与Rt△COF中，
所以Rt△AOE≌Rt△COF.所以.
2.解：因为，所以.
又因为，
所以.
练习（第88页）
1.解：（1）不是圆周角因为该角的顶点不在圆上，所以不是圆周角（2）不是圆周角因为该角的顶点不在圆上，所以不是圆周角.（3）是圆周角，因为该角的顶点在圆上，该角的两边是圆的弦，根据圆周角的定义，得该角是一个圆周角（4）不是圆周角因为该角的两边都不是圆的弦，所以不是圆周角.
（5）不是圆周角因为该角中有一条边不是圆的弦，所以不是圆周角.
2.解：，，，.
因为∠1与∠4都是所对的圆周角，所以.
因为∠2与∠7都是所对的圆周角，所以.
因为∠3与∠6都是所对的圆周角，所以.
因为∠5与∠8都是所对的圆周角，所以.
3.证明：因为，，
所以，.
又因为，
所以.所以.
4.解：方法有多种，如对折两次，找到直径的交点；利用“90°的圆周角所对的弦是直径”来找到直径，进而确定圆心；作任意一条弦的垂直平分线来作出直径，进而确定圆心等.
5.解：因为四边形ABCD内接于⊙O，所以因为E，D，C三点在同一条直线上，所以.所以.又因为，所以.
习题24.1（第89页）
1解：已知：如答图24.1-2①，AB是⊙O的直径，求证：AB是⊙O中最长的弦.
证明：如答图24.1-2，任意作⊙O的一条不经过圆心的弦CD，连接OC，OD由三角形的两边之和大于第三边，知OC+OD>CD.因为，所以AB>CD由CD的任意性可知，AB是⊙O中最长的弦.
2.解：（1）因为，，所以.所以.
（2）如答图24.1-3，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则.
在Rt△AOO中，由勾股定理，得，，所以.
3.解：因为，所以，所以.
4.解：.
证明：因为，所以.所以.所以.
5.解：因为OA⊥BC，所以.所以.又因为∠AOB=50°，所以，所以.
6.解：中间的工件是合格的因为三个图形中，只有中间的工件的圆弧上所含的圆周角是直角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可得，该工件是个半圆形的
7.解：已知：如答图24.1-4，平行四边形ABCD内接于⊙O，求证：平行四边形ABCD是矩形.
证明：因为四边形ABCD内接于⊙O，所以.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以，所以.
所以平行四边形ABCD是矩形.
8.解：如答图24.1-5，连接OC因为EM经过圆心，且平分CD，所以EM⊥CD，所以.因为，所以.在Rt△COM中，由勾股定理，得，即，所以，所以⊙O的半径为.
9.证明：如答图24.1-6，过圆心O作OE⊥CD，垂足为E，则，.
所以.所以.
10.解：分两种情况：
第一种，当弦AB与CD在圆心O的两侧时，如答图24.1-7①所示作OG⊥CD，垂足为G，延长GO交AB于点H，连接OA，OC.
因为AB∥CD，GH⊥CD，所以GH⊥AB.所以，.
所以，.所以.
第二种，当弦AB与CD位于圆心O的同侧时，如答图24.1-7所示.
同理，.
综上，知AB与CD之间的距离为17cm或7cm.
11.证明：因为MN是AB的垂直平分线，所以MN是AB的对称轴所以MN经过圆心O因为AB∥CD，MN⊥AB，所以MN⊥CD.所以MN平分CD.
所以MN垂直平分CD.
12.解：设这段弯路的半径是x m.因为OC⊥AB，所以.在Rt△AOD中，，即，所以.所以这段弯路的半径是
13.证明：如答图24.1-8，连接OC因为C是AB的中点，所以.因为，所以.又因为，所以△AOC，△BOC均为等边三角形.所以.所以四边形OACB是菱形.
14.解：△ABC为等边三角形
证明：因为∠ABC与∠APC是同一条弧所对的圆周角，所以.
因为∠BAC与∠CPB是同一条弧所对的圆周角，所以.
所以.所以△ABC为等边三角形.
15.解：OMCD，所以AM>CN.因为OM⊥AB，ON⊥CD，所以.在Rt△OMA与Rt△ONC中，由勾股定理，得，.因为，AM>CN，OM答图24.1-9
16.解：如答图241-10，作AB⊥MN于点B.
在Rt△OAB中，，，，所以.因为100<200，所以居民楼会受到火车噪声的影响.
如答图24.1-10，以点A为圆心，200m为半径，画一个圆，圆与铁路MN相交于O，C两点，在Rt△ABO中，，，，
由勾股定理，得，，.因为AB⊥MN，所以.火车的速度是，.所以居民楼受火车噪声影响的时间约为17.3s.
17.解：如答图24.1-11，设所在的圆为⊙O，连接PZ并延长，与⊙O相交于点M.
当点P在圆外时，∠MZX与∠MZY分别是△PZX与△PZY的外角，所以∠MZX>∠MPX，∠MZY>∠MPY.所以∠MZX+∠MZY>∠MPX+∠MPY，即∠XPY<∠XZY.所以航行中需要保持∠XPY<∠XZY.