2022-2023学年人教版数学九年级上册第二十五章 章末整合提升（含答案）

第二十五章 概率初步
专题整合·深拓展
专题一 事件类型的判断
判断事件的类型可按如下流程进行：
【例1】（湖北武汉中考）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A.摸出的是3个白球
B.摸出的是3个黑球
C.摸出的是2个白球、1个黑球
D.摸出的是2个黑球、1个白球
解析：由必然事件和不可能事件的定义可知，袋子中装的6个球，只有4个黑球、2个白球，所以不可能摸出3个白球，故不可能事件是选项A.故选A.
答案：A
反思
对于判断事件类型的问题，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，并根据各事件的特征去判断.
专题二 概率的计算及应用
1.有限等可能性事件：
（1）事件只包含一个因素：用列举的方法，根据公式求得结果.
（2）事件包含两个因素：用列表或画树状图的方法，根据公式求得结果.
（3）事件包含三个因素：用画树状图的方法，根据公式求得结果.
2.无限等可能性事件：一般与长度、角度、面积（或时间）有关，可以通过区域长度、角度、面积（或一段时间）与总长度、角度、面积（或总时间）关系转化为有限等可能性事件来求解.
【例2】（安徽中考）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数.
（1）写出按上述规定得到所有可能的两位数；
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率.
解：（1）列表分析所有可能的结果：
十位 个位
1 2 3 4
1 11 14 17 18
4 41 44 47 48
7 71 74 77 78
8 81 84 87 88
或画树状图（如图25-1）.
所得的两位数为：11，14，17，18，41，44，47，48，71，74，77，78，81，84，87，88，共16种等可能的结果.
（2）算术平方根大于4且小于7的共6个，分别为17，18，41，44，47，48，则所求概率.
反思
用列表法或画树状图法求概率
列表法或画树状图法是解决概率问题的两种常用方法，它们可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果.但是也有区别：列表法一般适合两步完成的事件，树状图法一般适合两步或两步以上完成的事件.
专题三 用频率估计概率
如果总体的数据难以统计，个体也难以列举，那么可以抽取一个样本，通过样本中部分个体的频率反映该部分个体出现的概率，从而估计出总体的数据.
【例3】（甘肃兰州中考）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球.将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%.由此估计口袋中共有小球________个.
解析：设袋中共有小球n个.因为通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，所以估计P（摸到黄球）=30%.因为P（摸到黄球），所以，解得n=20.所以估计口袋中共有小球20个.
答案：20
反思
当试验的所有可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们可以通过统计大量重复试验的频率来估计概率.一些实际问题，往往需要用由频率来估计概率的思想来解决.
专题四 与统计结合的概率问题
与统计结合的概率问题，一般涉及的知识点有
扇形图、条形图、频数分布表、概率的计算公式等，解题的关键是能从图表中得到有用的统计信息，列表或画出树状图求概率.
【例4】（四川凉山州中考）为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实.统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况，并将其制成了如图25-2所示的两幅不完整的统计图：
（1）求该校一共有多少个班，并将条形图补充完整；
（2）某爱心人士决定从有2名贫困家庭学生的这些班级中，任选2名进行帮扶，请用列表法或画树状图的方法，求出被选中的2名学生来自同一班级的概率.
解：（1）从扇形统计图可以得到有4名贫困生的班级占30%，从条形统计图可以看出有4名贫困生的班级有6个，所以班级总个数为6÷30%=20；有2名贫困生的班级个数为20-5-6-5-2=2，补全统计图如图25-3所示.
（2）设有2名贫困生的班级分别为甲班和乙班，甲班2名贫困生分别为和，乙班2名贫困生分别为和，列表如下：
—— ， ， ，
， —— ， ，
， ， —— ，
， ， ， ——
故从有2名贫困生的班级中任选2名共有12种等可能的结果，其中来自同一班级的结果有4种，故P（2名学生来自同一班级）.
反思
同时出现扇形统计图和条形统计图的统计类问题，关键点是找出在两种统计图中都出现的项目及相关数据，由此推算总量；在计算概率时，通过对相似的对象编号的方法进行列表或画树状图，这样能够高效地找出所有等可能的结果和满足给定条件的结果.
思想方法·巧解读
专题一 数形结合思想
数形结合思想是指将数量关系与几何图形结合起来，对题目中给定的题设和结论进行代数方面和几何含义方面的分析.在解决与图形面积或与转盘有关的概率问题时，因为其中的概率大小都与面积有关，所以一般将数与形结合起来求解问题.
【例1】点，，为三个大小相同的正方形的中心，一只小虫在如图25-4所示的实线围成的区域内爬行，则小虫停留在阴影区域内的概率是（ ）
A. B. C. D.
解析：设阴影部分小正方形的面积为a.因为阴影部分每个小正方形的面积为大正方形面积的，所以中间大正方形面积为4a，左右两边空白部分面积分别为4a-a=3a，所以总面积为3a+4a+3a=10a，所以P（小虫停留在阴影区域内）.故选B.
答案：B
专题二 方程思想
在本章摸球类问题中，经常会遇到在已知概率的前提下，利用方程或方程组求小球个数的问题.先设出所求问题，再根据概率公式列出方程，最后求解即可.
【例2】（内蒙古包头中考）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为.
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率.（请结合树状图或列表解答）
解：（1）设袋子中白球有x个，根据题意可得，，解得x=2.2
经检验，x=2是所列方程的根.
所以袋子中有2个白球.
（2）列表：
第一次 第二次
红
红 （红，红） （红，） （红，）
（，红） （，） （，）
（，红） （，） （，）
或画树状图（如图25-5）.
因为总共有9种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色小球的结果有5种，
所以两次都摸到相同颜色的小球的概率.
反思
第（1）题是一道概率与方程相结合的综合应用题，解题的关键是利用方程知识求出白球的个数；第（2）题中注意摸出的小球要放回，避免遗漏摸出球的可能情况.