高中数学必修第一册人教A版（2019）2.2《基本不等式》知识探究课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
人教A版同步教材名师课件
基本不等式
---知识探究
1.重要不等式
对于任意实数,有,当且仅当时,等号成立.
,当且仅当时,等号成立.
知识探究
探究点1 基本不等式
要点辨析
重要不等式的实质是实数平方的非负性,不等式中的取值既可以是某个具体的数,也可以是一个代数式.
2.基本不等式
如果,那么,当且仅当时,等号成立.
其中,叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数.
因此,基本不等式也可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识探究
探究点1 基本不等式
拓展:从数列的角度来看,如果把看作正数的
等差中项,看作正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识探究
探究点1 基本不等式
要点辨析
(1)基本不等式成立的条件是.
①若,如,会出现的错误结论;
②若中有一个小于0,如,则无意义;
③若或等于0,虽然该不等式也成立,但在基本不等式中一般不研究这种情况.
要点辨析
(2)基本不等式的常见变形式:,.
(3)当时,我们分别用代替重要不等式中的,可得,变形可得.
典例1、(1)(2019-陕西咸阳二中月考)已知,且,则下列结论恒成立的是( )
A. B. C. D.
典型例题
解析
推测解释能力
对于,当时,,所以错误;
对于,只能说明同号,当都小于0时,B,C错误;
对于,因为,所以,所以,即成立.
D
典例1、(2)(2019-湖南邵阳二中月考)设,则下列不等式中正确的是
( )
A. B.
C. D.
典型例题
解析
推测解释能力
,又因为,所以.
B
典例1、(3)“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
典型例题
解析
推测解释能力
,充分性不成立,
由,必要性成立.
B
设均为正数.
(1)若为定值,则当时,积取最大值;
(2)若为定值,则当时,和取最小值.
知识探究
探究点2 最值定理
要点辨析
1.最值定理的证明过程
(1)当时,有,当且仅当时等号成立.
(2)当时,有,故,当且仅当时等号成立.
要点辨析
2.最值定理简记:和定积最大,积定和最小.
3.利用基本不等式求最值的条件
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证取等号时条件是否具备.
4.应用基本不等式求最值的关键
依定值去探求最值,探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.
典例2、(1)(2018-西安一中月考)下列各函数中,最小值为2的是( )
A. B.
C. D.
典型例题
解析
中没有的条件;中,等号不能成立;
C中同样不能取等号;中时取最小值2.
分析计算能力
D
典例2、(2019-浙江宁波中学检测)已知,且,则的最小值为( )
A. B. C.2 D.4
典型例题
解析
∵,且,
当且仅当,即时取等号.∴.
分析计算能力
B
知识探究
探究点3 基本不等式的推广与应用
若,则.当且仅当时等号成立.其中叫做的调和平均数,叫做的平方平均数,即调和平均值几何平均值≤算术平均值平方平均值(注意“=”成立的条件).
知识探究
探究点3 基本不等式的推广与应用
的证明过程如下：
要点辨析
基本不等式的应用:
典例3、 (1)对于,下列不等式中不正确的是( )
A. B.
C. D.
简单问题解决能力
典型例题
解析
当时,因为,所以,
当且仅当时等号成立,故不正确;显然均正确.
A
典例3、 (2)(2019-深圳高级中学检测)若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是_____________.(写出所有正确命题的序号).①;②;③;④.
简单问题解决能力
典型例题
解析
因为,所以,所以①恒成立;
,所以②不恒成立;
,所以③恒成立;
当时,,所以④不恒成立.
①③