高中数学必修第一册人教A版（2019）2.2《基本不等式---第二课时》名师课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取＝”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤≤ ；
(2) ≤≤ (a，b均为正实数)；
(3)＋ ≥2(a，b同号)；
(4)(a＋b)(＋ )≥4(a，b均为正实数)；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
复习引入
人教A版同步教材名师课件
基本不等式---第二课时
利用基本不等式求最值
学习目标
学 习 目 标 核心素养
从数与形的角度体会基本不等式的证明方法 直观想象
注重基本不等式的变形，求最值的关键是“拼”“凑”“拆” 数学运算
熟练掌握用基本不等式证明不等式 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题.
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力.
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性.
数学学科素养
1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；
2.逻辑推理：基本不等式的证明；
3.数学运算：利用基本不等式求最值；
4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；
5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力.
基本不等式：
当且仅当时，等号成立.
注意：
①不等式的适用范围
② 称为正数的几何平均数
称为它们的算术平均数
当且仅当时，等号成立.
探究新知
探究新知
基本不等式：
要证≤ ， ①
只要证≤. ②
要证②，只要证.③
要证③，只要证. ④
要证④ ，只要证. ⑤
显然⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.
证明：
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最___值为___．
(2) 若xy＝p(积p为定值)， 则当x＝y时，和x＋y有最____值为_____．
探究新知
思考
因为x，y都是正数，所以
(1) 当x＋y＝s时，有,,当且仅当x＝y时等号成立.
(2) 当xy＝p时，有,故,当且仅当x＝y时等号成立.
分析
大
小
探究新知
基本不等式求最值的条件
(1)x，y必须是_____．
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为______；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为______．
(3)等号成立的条件是否满足．
注意事项
正数
定值
定值
例1.　(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
(2)若0(1)因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋ ＝x－2＋ ＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝ ，即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋ 的最小值为6.
(2)因为00，
所以y＝ x·(1－2x)＝ ×2x×(1－2x)≤ ＝ × ＝ ，
当且仅当2x＝1－2x，即当x＝ 时，ymax＝ .
典例讲解
解析　
例1.　(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
(2)若0x<2，求y＝x＋的最大值.
因为x <2 ，所以x－2 <0，
所以y＝x＋ ＝-＋2≤-2＋2＝-2，
当且仅当，得x＝0或x＝4（舍去），即x＝0时，等号成立．所以y＝x＋ 的最大值为-2.
典例讲解
方法归纳
(1)利用基本不等式≤ (a>0，b>0)即a＋b≥2 (a>0，b>0)，求a＋b的最小值时，必须注意三个条件：一是a，b均为正数；二是ab为定值；三是等号必须取到，三者缺一不可．
(2)基本不等式求最值时的配凑技巧
在利用基本不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上基本不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解．
变式训练
1.(1)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
(2)设0解析：(1)依题意得y＝t＋ －4≥2 －4＝－2，等号成立时t＝1，
即函数y＝ (t>0)的最小值是－2.
(2)因为00，
故f(x)＝ ＝ ＝ · ≤ × ＝2，
当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，
所以当x＝2时，f(x)＝ 的最大值为2.
典例讲解
例2.　已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
对任意x∈N*，f(x)≥3，即≥3恒成立，即a≥－＋3.
设g(x)＝x＋ ，x∈N*，则x＋ ≥4，当且仅当x＝2 时取等号．
又g(2)＝6，g(3)＝ . g(2)>g(3)，所以g(x)min＝ .
所以－ ＋3≤－， 所以a≥－，
故a的取值范围是.
解析　
(1)若已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式．
(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数的最值(恒成立问题)，若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min；若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max.而求函数的最值时可能用到基本不等式．
方法归纳
运用基本不等式求参数取值范围的方法
变式训练
2.(1)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝______．
(2)设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值为_____．
解析：(1)f(x)＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝ 4，所以＝3，即a＝36.
(2)由a>0，b>0,＋＋≥0，得k≥－.又因为＝＋＋2≥4(当且仅当a＝b时取等号)，所以－≤－4.因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值为－4.
36
－4
例3.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 ，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
典例讲解
例3.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 ，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
典例讲解
设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.根据题意，有
由容积为4800 ，可得3=4 800，
因此=1600，所以≥ ,当==40时，上式等号成立，此时=297600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
解析　
典例讲解
例4.　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米．由a2x＝4 000，得．　　　　　　　
所以S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4 000＋(8x＋20)· ＋160 ＝80 ＋4 160()
解析　
典例讲解
例4.　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
(2) 80 ＋4 160≥80 ×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760
当且仅当，即x=2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
方法归纳
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．
(4)正确写出答案．
求实际问题中最值的一般思路
变式训练
3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由基本不等式得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120 ＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，故≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．
素养提炼
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p>0)的单调性求得函数的最值．
利用基本不等式求最值的关注点
1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3　　　B．3－2　　　C．3－ 2　　　D．－1
解析：y＝3－3x－＝3－(3x+) ≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝ 时取等号．
2．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　)
A．16 B．9 C．12 D．15
解析：因为x，y为正数，所以(x＋y) ＝1＋9＋ ＋≥16，当且仅当y＝3x时，等号成立．
当堂练习
C
A
3．已知a，b∈R，若a2＋b2＝1，则ab有最______值为______；
若ab＝1，则a2＋b2有最______值为______．
解析：由a2＋b2≥2ab可知，当a2＋b2＝1时，ab≤，故ab有最大值为；当ab＝1时，a2＋b2≥2，a2＋b2有最小值2.
4．若对任意x>0，≤a恒成立，求a的取值范围．
解析：因为x>0，所以＝≤＝. 所以a≥ .
当堂练习
大
小
2
作 业
课本P48练习：2
习题2.2：1、5