高中数学必修第一册人教A版（2019）2.2《基本不等式---第一课时》名师课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
1、不等式与不等关系
(1)不等式的定义所含的两个要点.
①不等符号>,<,≥,≤或≠.
②所表示的关系是不等关系.
(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
提公因式、因式分解、配方、通分等
作差
变形
定号
结论
【注】这既是比较大小（证明不等式）的基本方法，
也是推导不等式性质的基础.
3、数学思想：
分类讨论的思想
2、作差法比较大小步骤：
复习引入
人教A版同步教材名师课件
基本不等式---第一课时
学习目标
学 习 目 标 核心素养
从数与形的角度体会基本不等式的证明方法 直观想象
注重基本不等式的变形，求最值的关键是“拼”“凑”“拆” 数学运算
熟练掌握用基本不等式证明不等式 逻辑推理
学习目标
课程目标
1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题.
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力.
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性.
数学学科素养
1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；
2.逻辑推理：基本不等式的证明；
3.数学运算：利用基本不等式求最值；
4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题；
5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力.
会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。
2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标
探究新知
思考：这会标中含有怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？
探究新知
问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积和是S’=———
问1：在正方形ABCD中,设AF=,BF=,则正方形的面积为S=————，
问3：S与S’有什么样的关系？
从图形中易得，s > s’,即
问4： S与S’有相等的情况吗？何时相等？
图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
探究新知
>
问题1：当为任意实数时，成立吗？
问题2：特别地，如果0,用和代替，可得
探究新知
当且仅当“”时“＝”号成立， 此不等式称为基本不等式
基本不等式：
当且仅当时，等号成立.
注意：
①不等式的适用范围
② 称为正数的几何平均数
称为它们的算术平均数
当且仅当时，等号成立.
探究新知
探究新知
基本不等式：
要证≤ ， ①
只要证≤. ②
要证②，只要证.③
要证③，只要证. ④
要证④ ，只要证. ⑤
显然⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.
证明：
由“半径不小于半弦”得：
几何解释
∵Rt△ACD∽Rt△DCB
∴CD2 =AC·BC
∴CD=
A
B
E
D
C
a
b
探究新知
典例讲解
例1、下列结论正确的是(　　)
A．当x<0时， x＋≥2 B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0对于选项A，当x<0时， x＋不会大于0；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－在0B
解析
(1)一正数：指式子中的a，b均为正数．
(2)二定值：只有ab或a＋b有一个为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．
(3)三相等：即“＝”必须成立，求出的定值才是要求的最值．
方法归纳
应用基本不等式时的三个关注点
1.设0A．aC．a< 变式训练
解析：因为0B
典例讲解
例2、已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.
求证： ≥8.
因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以 ≥ ，
同理≥ ≥ .
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥ · · ＝8.
当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立．
证明
典例讲解
例2、已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.
求证： ≥8.
因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以
=≥ 3+2+2+2=9.
当且仅当a＝b＝c＝ 时，等号成立．
≥9
方法归纳
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件的目的；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．
利用基本不等式证明不等式的思路
变式训练
2.设a，b，c都是正数，求证：≥ a＋b＋c.
证明：因为a，b，c都是正数，所以都是正数．
所以≥2c，当且仅当a＝b时等号成立．
≥2a，当且仅当b＝c时等号成立．
≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得2()≥2(a＋b＋c)，即≥ a＋b＋c ，
当且仅当a＝b＝c时等号成立.
1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
2．由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤≤ ；
(2) ≤≤ (a，b均为正实数)；
素养提炼
(3)＋ ≥2(a，b同号)；
(4)(a＋b)(＋ )≥4(a，b均为正实数)；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
3．使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．
素养提炼
当堂练习
1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由a，b，c，d都是正数，得
≥ ， ≥ ，所以≥abcd，即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当堂练习
2．若a>0，b>0，c>0，求证：a＋b＋c≥ ＋ ＋ .
证明：因为a>0，b>0，c>0，所以a＋b≥2 ，当且仅当a＝b时取等号，b＋c≥2 ，当且仅当b＝c时取等号，a＋c≥2，当且仅当a＝c时取等号，所以a＋b＋c ≥ ＋ ＋ ,当且仅当a＝b＝c时取等号．
归纳小结
1、a2＋b2≥2ab与≥
2．由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤≤ ；
(2) ≤≤ (a，b均为正实数)；
(3)＋ ≥2(a，b同号)；
(4)(a＋b)(＋ )≥4(a，b均为正实数)；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
作 业
课本P46练习：1、2