高中数学必修第一册人教A版（2019）2.2《基本不等式》提升训练（含解析）

《基本不等式》提升训练
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.第6题为多选题，选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）
1.实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A.18 B.6 C. D.
2.当时，的最小值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
3.已知，则的最小值为（ ）
A.24 B.28 C.32 D.36
4.若正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.5 D.6
5.已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.（多选）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A.有最大值 B.有最小值
C.有最小值4 D.有最小值
E.有最小值
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
7.已知，则的最大值为_________.
8.若，则的最小值为___________.
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）
9.已知，求的最小值.
10.如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙（墙足够长），其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多长时，可使每间虎笼的面积最大？
（2）若每间虎笼的面积为24，则每间虎笼的长、宽各设计为多长时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
参考答案
1.
答案：B
解析：因为，所以，当且仅当时取等号.
2.
答案：B
解析：,
.当且仅当,即时取等号,所以的最小值为9.故选B.
3.
答案：C
解析：由题意可知：，由可得.则，当且仅当时等号成立.
综上可得，的最小值为32.
4.
答案：A
解析：正数满足，
,
（当且仅当时等号成立）.
5.
答案：D
解析：可化为，因为，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为8，因为恒成立，所以，解得，故选D.
6.
答案：ACE
解析：，且有最大值,选项A正确；的最小值不是，故B错误；有最小值4，故C正确；,的最小值不是，故D错误；，当且仅当时等号成立，故E正确.故选ACE.
7.
答案：
解析：，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.
8.
答案：
解析：
，当且仅当时等号成立.
9.
答案：见解析
解析：因为，所以，
所以，
.
两式相加得.
所以.
当且仅当且，即时“=”成立，故的最小值为8.
10.
答案：见解析
解析：设每间虎笼长为xm，宽为ym，面积为S，则.
（1）由条件得，即.
,
，解得，
即，当且仅当时，等号成立，由解得
故每间虎笼的长为4.5m，宽为3m时，面积最大，最大面积为13.5.
（2）由条件知，设钢筋网总长为lm，则.
解法一：，当且仅当时，等号成立，由解得故每间虎笼的长为6m，宽为4m时，可使钢筋网总长最小，最小长度为48m.
解法二：由，得，
,当且仅当,即时，等号成立，此时.
故每间虎笼的长为6m，宽为4m时，可使钢筋网总长最小.
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