高中数学必修第一册人教A版（2019）2.2《基本不等式》教学设计

《基本不等式》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.基本不等式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学运算 【考查内容】 利用基本不等式求代数式的最值或证明不等式 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.最值定理 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
本节内容在学习了不等式性质的基础上,探究基本不等式的内涵和证明.
通过本节的学习,学生能够掌握基本不等式,结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.有助于培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;培养学生形成数形结合的思想意识,形成类比、归纳的思想和习惯,进而形成严谨的思维方式;同时利用基本不等式求最值是高考的基本考点.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.基本不等式 2.最值定理 数学运算 逻辑推理 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
本节内容是在复习、巩固不等式性质的前提下学习基本不等式,学生是比较容易接受的,但在利用基本不等式解决最值问题时,学生往往忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.基本不等式及其推导
2.最值定理
3.利用基本不等式解决实际问题
【教学目标设计】
1.通过对基本不等式的学习,能够对其进行证明,并会应用几何语言来进行解释,提高逻辑推理和直观想象的核心素养水平.
2.能够运用基本不等式来求代数式的最值,提高数学抽象和逻辑推理核心素养.
3.能够运用基本不等式解决实际生活中的最值问题,提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识,积累基本解题经验,使理论与实践相结合,培养数学建模、逻辑推理核心素养.
【教学策略设计】
1.借助辨析的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用.
2.借助几何画板来演示,使学生体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程.
【教学方法建议】
探究教学法、演示教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
用数形结合的思想解不等式,并从不同角度探索基本不等式的推导过程.
难点:
用基本不等式求最大值和最小值.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么,是否也有一些不等式,它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢 下面就来研究这个问题.
【设计意图】
通过类比、回顾初中接触到的乘法公式,提出疑问,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 基本不等式及其推导
师:上节课我们学了这样的不等式:对于任意的实数,有,当且仅当时,等号成立.如果,用和来代替和的话,不等关系还成立吗
【学生思考、讨论、交流后回答问题】
生:不等关系成立.
师:你能用语言描述这个不等式吗
【学生自主阅读教材,了解基本不等式的定义,教师进行多媒体展示】
【要点知识】
基本不等式
如果.我们用分别代替上式中的,可得
当且仅当时,等号成立.
通常称上面的不等式为基本不等式(basic inequality).其中,叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数.
【先学后教】
通过学生自己阅读基本不等式的定义,教师接着讲授,加深学生对基本不等式的了解和记忆,为下面基本不等式的推导奠定基础.
师:你能用不等式性质证明“基本不等式”吗
【学生尝试着证明,教师巡视并总结】
生:因为,所以,即,亦即.所以,所以,当且仅当时,等号成立.
【归纳总结】
利用不等式性质证明基本不等式
分析:要证,①
只要证.②
要证②,只要证.③
要证③,只要证.④
要证④,只要证.⑤,把分析过程反过来就是证明过程.
师:你还有其他证明方法吗
【说明论证能力】
引导学生寻找数量关系,用不等式的性质证明不等式,加深对基本不等式的理解,从而提升学生的说明论证能力.
生:因为,所以我们可以用分别代替重要不等式中的,得,当且仅当时,等号成立,即,当且仅当时,等号成立.
师:这是运用重要不等式“”证明的.
生:因为,所以,即,所以,当且仅当时,等号成立.
师:这是运用求差法证明的.还有哪些证明方法呢 我们来看这样一道题.
【情景设置】
基本不等式的几何意义
如下图,是圆的直径,点是上一点,.过点作垂直于的弦,连接.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
师:观察上面的图形,回答问题:
(1)图形中线段长,线段长为,那么的值可以用哪条线段来表示
(2)的值可以用哪条线段来表示
(3)你能利用图形得出与的大小关系吗
【情境学习】
通过几何情境设置,得到基本不等式的几何意义:半径不小于半弦.加深了学生对基本不等式的理解.
【学生观察图形回答问题,教师予以肯定或补充,并再次引导学生观察图形,得出基本不等式的几何解释】
【学生分析,小组讨论,教师总结】
师:先证Rt,证,即.这个圆的半径为,显然它大于或等于,即,当且仅当点与圆心重合,即时,等号成立.由此可得(当且仅当时,等号成立)的几何意义:半径不小于半弦.
【活动学习】
首先通过观察图形,回答教师设置的问题,为用几何法解释基本不等式打下基础.
探究2 最值定理
师:下面我们利用不等式求最值.
【典型例题】
利用基本不等式求最值
例1 已知,求的最小值.
例2 已知都是正数.求证:
(1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值;
(2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值.
【概括理解能力】
通过利用基本不等式解题,师生共同归纳,总结为最值定理的引入铺垫.
【教师分析题干,引导学生利用基本不等式求解】
生:1.因为,所以.当且仅当,即时,等号成立,因此所求的最小值为2.
生:2.因为都是正数,所以
(1)当积等于定值时,
当且仅当时,上式等号成立.于是,当时,和有最小值.
(2)当和等于定值时,
所以
当且仅当时,上式等号成立.于是,当时,积有最大值.
【教师给予肯定或补充,强调答题格式,明确“当且仅当”的含义】
【要点知识】
最值定理
积定和小:两个正数的积为定值时,它们的和有最小值.
和定积大:两个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
【深度学习】
通过学生思考、讨论回答教师提问,经过教师补充,深度学习基本不等式的三个成立条件:一定,二正,三相等.
师:通过这两个例题,你知道基本不等式的使用条件和作用吗
【学生独立思考,小组讨论回答问题,教师给予肯定或补充,并总结基本不等式的三个条件:一定,二正,三相等,作用是积定和小,和定积大】
探究3 利用基本不等式解决实际问题
【典型例题】
基本不等式的实际应用
例3 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆长度最短 长度最短是多少
(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大 最大面积是多少
例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为,深为.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少
【简单问题解决能力】
运用所学知识解决实际问题,一方面巩固了知识内容,另一方面提升了学生解决简单问题的能力.
师:根据最值定理分析例3,将问题转化为:(1)当矩形的邻边之积确定时,求周长最短就是求边长的最小值.(2)当矩形的邻边之和确定时,求面积最大就是求边长的最大值.请同学们快速解答.
生解:3.(1)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为,则,篱笆的长度为.由,可得,所以,当且仅当时,等号成立,此时.因此,当这个矩形菜园是边长为的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为.
生:3.(2)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为,则,矩形菜园的面积为.由,可得.当且仅当时,等号成立,此时.因此,当这个矩形菜园是边长为的正方形时,菜园的面积最大,最大面积为.
师:怎样用最值定理分析例4 怎样计算
生:水池的高是不变的,若池底的边长确定了,水池的造价也就确定了,因此可以转化为:池底的边长为多少时,水池的总造价最低.
生:4.设水池底面一边的长度为,则底面另一边的长度为,设水池的总造价为元,根据题意,得
当且仅当,即时,有最小值297600.
因此,当水池的底面是边长为的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元.
师:这两道题都是求最值问题,注意不能只关注最值,还要注意是否能取到满足最值条件的和值.
【分析计算能力】
通过分析题目要求,师生互动,利用最值定理解决例2题,提升了学生的分析计算能力和数学运算、数学建模核心素养.
【归纳总结】
利用基本不等式解决实际问题的步骤
1.先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
2.建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
3.在定义域内,求出函数的最大值或最小值.
4.写出正确答案.
师:通过这节课你学到了什么
【课堂小结】
基本不等式
【设计意图】
通过学习基本不等式,学生了解基本不等式的推导过程,理解最值定理.并通过基本不等式解决实际问题,培养了学生的分析问题、解决问题的能力.
教学评价
通过本节课的学习,学生会应用最值定理求最值,利用基本不等式解决实际应用.
应用所学知识,完成下题:
如下图,某广场要划定一矩形区域,并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区,这三块绿化区四周和绿化区之间均设有宽的走道,已知三块绿化区的总面积为,求该矩形区域占地面积的最小值.
解析:找出题中的等量关系是解决本题的关键.先设绿化区域小矩形的一边长为,另一边长为,根据三块绿化区的总面积为,得出等量关系式,解题时注意满足使用条件.具体解题过程如下:
设绿化区域小矩形的一边长为,另一边长为,则.
即矩形区域的面积.
当且仅当,即时取“”.
∴矩形区域的面积的最小值为288平方米.
【设计意图】
引导学生用不等式知识解决实际问题,学以致用,进一步巩固所学知识,提升学生数学建模素养.
【以学定教】
综合基本不等式的概念及基本性质,深层理解基本不等式的变形在实际问题中的应用,从而解决问题.
教学反思
本节主要学习基本不等式的概念及其推导、基本不等式的几何意义,利用基本不等式求最值以及基本不等式的实际应用,基本不等式的基本功能在于求最值,这是本节的重点,要牢牢地抓住.在本节课的学习当中,学生要记住基本不等式的使用条件,但是灵活性应用不够熟练,往往忘记定值的产生,以及等号成立的条件,在整个教学过程中,应多增加课堂练习,引导学生掌握此部分知识.
【以学论教】
由于本节课学习较难,学生不能够灵活使用基本不等式.及成立条件需要在课堂教学时多引导学生探究推导过程,多练习基本不等式的应用.
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