高中数学必修第一册人教A版（2019）2.2《基本不等式》教学设计二

《基本不等式》教学设计
教学设计
活动1：预习材料、回顾重要不等式，通过换元得到基本不等式并认识基本不等式.
（1）上一节中我们从第24届国际数学家大会的会标中得到一个重要不等式，你还记得吗？
提示：，，有（当且仅当时，等号成立）.
（2）在重要不等式中，用代替，代替可得到什么结论？
提示：如果，，则（当且仅当时，等号成立）.
（3）你是如何理解结论中“当且仅当”的含义的？
提示：在，的前提之下，由可知，反之由可知.
设计意图：检查学生预习情况，使学生了解基本不等式的形式，理解其不等号和等号成立的条件.
师：抽查学生预习情况，解决学生遇到的问题，帮助学生理解基本不等式的含义.
生：预习、了解基本不等式的形式及其注意事项.
活动2：证明基本不等式.
（1）你能用不等式的性质来证明基本不等式吗？
提示：作差、判断符号即可.
（2）观察教材第44页的证明过程，你学会了什么？
要想证明一个结论，可以从这个结论入手，看看要证明它就需要证明什么，以此类推，最后得到一个定理或公理或恒成立的式子，再把这个推理过程反向写出来，即完成了证明.这是一种行之有效的证明方法，在很多证明题中都有应用，应该让学生牢记这种方法.
（3）基本不等式有几何解释吗？有的话它的几何意义是什么？
提示：半弦长不超过半径长（两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）.
设计意图：用代数的方法证明基本不等式，加深学生对基本不等式的理解，提升学生逻辑推理素养，同时培养学生从运动变化的角度思考问题、解决问题的能力，从形的角度得到基本不等式的几何解释，提升学生直观想象素养.
师：引导学生用比较法、综合法及分析法证明基本不等式，通过动态图形引导学生寻找数量关系的几何解释.
生：思考、尝试证明，直观想象基本不等式的几何意义.
活动3：学生独立思考、组内讨论，派小组代表解答教材例1和例2.
（1）例1中何时能取到最小值？
提示：当且仅当，即时，取到最小值.
（2）例1中为什么能取到最小值？
提示；任意，由为定值，可知.
（3）例2的结论说明了两正数的和与积两者之间的什么关系？
提示：最值定理：①当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值（积定和小）；
②当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值（和定积大）.
说明：这两个结论十分有用，尤其在解决实际问题中的最值问题时可以提高解题效率，应让学生牢记它们的前提条件、有最值的条件以及是最大值还是最小值，且切莫记混.
例1（教材第45页例1）
分析：表达式是两正数和的形式，且它们的积是一个常数，从而利用基本不等式可得结论.
证明：因为，所以.当且仅当，即时，等号成立，因此所求的最小值为2.
设计意图：考查学生对基本不等式的掌握情况，是否真正理解基本不等式，并能注意应用公式时需要注意的条件。
师：引导学生观察已知条件，对比基本不等式，思考如何利用基本不等式解题，并点评学生答题情况.
生：思考、对比基本不等式的形式，尝试思考、讨论，并展示成果.
活动4：利用基本不等式解决实际问题中的求最大（小）值问题，尝试完成教材例3和例4.
（1）你能用字母或式子表示出例题中所求量吗？
提示：例3中设矩形菜园的相邻两边的长分别为，，则篱笆的长度为，面积为；
例4中设贮水池池底的相邻两边的边长分别为，，水池的总造价为元，则.
（2）代数式或表达式中存在定值吗？
提示：例3（1）中为定值，例3（2）中为定值；
例4中为定值.
（3）你能总结利用基本不等式解决实际问题的步骤吗？
提示：第一步：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
第二步：建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
第三步：在定义城内，求出函数的最大值或最小值；
第四步；正确写出答案.
例3（教材第46页例3）
解：设矩形菜园的相邻两边的长分别为，，则篱笆的长度为.
（1）由已知得.由，可得，所以，当且仅当时，等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40.
（2）由已知得，矩形菜园的面积为.
由，可得，当且仅当时，等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81.
例4（教材第47页例4）
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3，池底的边长没有确定.若池底的边长确定了，水池的总造价也就确定了，因此应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别是，，水池的总造价为元.根据题意，得.由容积为4800，可得，因此，所以，当时，上式等号成立，此时.
因此，将贮水池的池底设计成边长为40的正方形时总造价最低，最低总价是297600元.
设计意图：总结归纳利用基本不等式求最值问题的方法，实行积与和的转化，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义，提升学生数学建模和数学运算素养.
师：分析题干、引导学生找出定值，并使用基本不等式解决问题.
生：思考、分析建立数学模型，利用基本不等式解决问题.
活动5：总结运用基本不等式所需满足的条件.
（1）例题中运用公式取到最值的前提必须有什么？
提示：正数和.
（2）运用基本不等式求最值所满足的条件是什么？
提示：一正、二定、三相等.
设计意图：梳理应用基本不等式所满足的条件“一正二定三相等”，进一步让学生从“充分必要条件”角度理解基本不等式，体会数学知识的严谨性，提升逻辑推理素养。
师：引导学生思考，得出“一正二定三相等”是运用基本不等式的前提.
生：思考、讨论、分析，总结出运用基本不等式的前提与条件.
活动6：课堂总结.
1.本节课我们学习的主要内容是什么？
提示：基本不等式的证明及其应用.
2.在应用基本不等式时，需要注意哪几点？
提示：一正二定三相等.
3.在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？
提示：数形结合、转化思想.
设计意图：通过对所学内容进行小结，让学生有一个更全面的认识。
师：对学生的回答进行点评，适当总结本节课所用到的数学思想方法.
生：发言、补充发言，对所学做好笔记，形成体系.
板书设计
2.2 基本不等式 1.基本不等式内容 2.基本不等式的证明 3.应用：积定和小、和定积大 例1 例2 例3 例4 4.条件：一正二定三相等
教学研讨
不等式对于高中的学生来说并不陌生，但基本不等式作为一个新的知识点出现在教材中，它是求函数最值的一种方法，学生只有真正理解了才会用起来得心应手.本案例恰当地使用信息技术，让学生直观形象地理解问题，能很好地提升学生直观想象素养.学习效果的检测最好的方式就是通过习题来实现，所以可以多设置一些简单的求最值的问题，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况，同时题量和试题难度的设置要灵活，尽可能达到分层教学的目的.