高中数学必修第一册人教A版（2019）2.2《基本不等式》教学设计一（表格式）

《基本不等式》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 引入新知 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题. 师：利用几何画板等作图软件引导学生回忆赵爽的弦图抽象出的一类重要不等式，通过替代，得到基本不等式. 生：回忆重要不等式，替换后尝试写出基本不等式. 通过类比、回顾等方 式引入本节课要讨论的内容.
合作探究 基本不等式：当，时，（当且仅当时，等号成立）. 其中，叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数. 证明： 法一：（利用重要不等式来证明） 因为，，所以我们可以用，分别代替重要不等式中的，，得，当且仅当时，等号成立，即（，），当且仅当时，等号成立. 法二：（利用作差法来证明） 因为 ，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立. 法三：（利用不等式的性质证明） 因为， 所以， 即， 亦即. 所以，所以， 当且仅当时，等号成立. 法四：（利用几何意义来证明） 如图，是圆的直径，是上一点，，，过点作垂直于的弦，连接，.易证，则， 即.这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 由此我们可得（当且仅当时，等号成立）的几何意义：半径不小于半弦. 师：能否用来证明这个结论呢？ 让学生试着进行证明，注意，的取值范围. 师：除了利用来进行推导，你们还能想到哪些代数方法来证明呢？ 提示学生可以用上一节学过的作差法来试试. 师：引导学生利用不等式的性质对基本不等式进行证明，并适时进行点拨、帮助. 生：尝试利用不等式的性质证明基本不等式. 师：引导学生观察教材第45页探究，并设置以下问题供学生思考： ①图形中线段长为，线段长为，那么的值可以用哪条线段来表示？ ②的值可以用哪条线段来表示？ ③你能利用图形得出与的大小关系吗？ 生：观察图形，对比回答问题： ①的值可以用直径来表示； ②利用相似三角形得出的值可以用半弦来表示； ③利用圆中半弦长不超过半径可得出与的大小关系. 教师引导学生再次观察图形，得出两者相等的条件. 生：思考、理解基本不等式的几何意义，明确取等条件. 师：用多种方法完成基本不等式的证明后，引导学生从结构上观察基本不等式的特征. 生：观察，体会基本不等式表现出来的是两正数的几何平均数与算术平均数之间的大小关系 用代数的方法证明不等式，使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件.引导学生自己动手写出证明过程，并对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论，提升逻辑推理、直观想象素养.
应用举例一 例1（教材第45页例1） 分析：表达式是两正数和的形式，且它们的积是一个常数，可以利用基本不等式得出结论. 证明：因为，所以 .当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2. 例2（教材第45页例2） 补充最值定理：积定和小（两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）、和定积大（两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）. 师：分析题干，引导学生寻找解题思路，并让学生板演或展示成果、教师适时点评. 生：思考、分析，尝试以发言等方式展示成果. 师：强调答题格式，需注明等式成立的条件，明确“当且仅当”的含义. 生：理解、分析，及时做笔记. 教师明确例2得到的结论十分有用，会在实际问题中用到，要牢记条件和对应结论. 考查学生对所学知识掌握的情况，帮助学生真正理解基本不等式的含义，提升逻辑推理素养.
概念深化 基本不等式 （1）使用条件：一正二定三相等； （2）作用：和定积大，积定和小. 师：引导学生思考、总结基本不等式的使用条件和作用. 生：通过例1和例2，思考、交流，得出基本不等式的使用条件和作用. 引导学生总结出基本不等式的使用注意事项和功能，提升数学抽象、逻辑推理素养.
应用举例二 例3（教材第46页例3） 分析：（1）当矩形的邻边之积确定时，求周长最短就是求边长的最小值. （2）当矩形的邻边之和确定时，求面积最大就是求边长的最大值. 解：（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，，则，篱笆的长度为.由，可得，所以，当且仅当时，等号成立，此时. 因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40. （2）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，，则，，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，等号成立，此时. 因此，当这个矩形菜园是边长为9的正方形时，菜园的面积最大，最大面积为81 例4（教材第47页例4） 分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低. 解：设水池底面一边的长度为， 则底面另一边的长度为，设水池的总造价为元，根据题意，得 ，当且仅当，即时，有最小值297 600. 因此，当水池的底面是边长为40的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 师：分析题干，引导学生建立数学模型，利用基本不等式去解题，并让学生板演或展示成果，教师适时点评. 生：思考、分析，尝试以发言、板演等方式展示思考结果. 教师要注意引导学生发现满足最值条件的和是否可以取到，有的学生只关注了最值，却忽视了自变量是否能够取到的问题，导致出错，这也是做这类题目学生普遍容易忽视的地方，需要重点关照. 师生合作，共同归纳出：用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）正确写出答案. 学生讨论学习教材中的解法. 让学生经历在实际生活中对不等式从感性认识提炼为理性认识的过程，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义，同时引导学生将实际问题转化为数学问题，并加以解决，提升数学建模素养.
课堂小结 1.内容. 2.注意点. 3.思想方法. 师：引导学生回忆、概括、总结所学知识点. 生：思考、整理、表述概括的结果. 通过总结，使学生有一个更全面的认识.
布置作业 教材第48页习题2.2第1，3题. 教师布置作业，学生课后独立完成. 加深学生对基本不等式的理解和应用.
板书设计
2.2 基本不等式 一、新课 基本不等式：当，时，有（当且仅当时，等号成立）. 1.证明及几何意义 2.使用条件：一正二定三相等 3.作用：和定积大，积定和小 二、例题 例1 例2 例3 例4 三、小结 1.内容 2.注意点 3.思想方法
教学研讨
基本不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，因此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观上都发挥了良好的作用.教学过程中，必须从基本不等式的代数结果和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质.另外，基本不等式是可以进行推广的，至于需不需要，得根据实际情况来定.