1．cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°等于( )
A. B.
C. D.
解析：cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos(45°－15°)
＝cos 30°＝.
答案：B
2．cos 345°的值等于( )
A. B.
C. D．－
解析：cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos(－15°)＝cos 15°
＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝×＋×＝.
答案：C
3．已知cos α＝－，α∈(，π)，sin β＝－，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是( )
A．－ B.
C．－ D．－
解析：∵cos α＝－，α∈(，π)，∴sin α＝，
又sin β＝－，β是第四象限角，∴cos β＝，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝×(－)＋(－)×＝－.
答案：C
4．若0＜α＜，－＜β＜0，cos α＝，cos ＝，则cos(α－)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：由cos α＝，0＜α＜可得sin α＝，由cos ＝及－＜＜0可得sin＝－，
所以cos(α－)＝cos αcos＋sin αsin
＝×＋×(－)＝－
答案：B
5．若cos α＝，α∈(0，)，则cos(α－)＝________．
解析：∵cos α＝，α∈(0，)，
∴sin α＝＝ ＝.
∴cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×
＝.
答案：
6．满足sin x＋cos x＝的角x(－＜x＜0)是________．
解析：sin x＋cos x＝cos xcos ＋sin xsin
＝cos(x－)＝.
∵－＜x＜0，∴x－＝－，即x＝－.
答案：－
7．设cos(α－)＝－，sin(－β)＝，其中α∈(，π)，β∈(0，)，求cos .
解：∵α∈(，π)，β∈(0，)，
∴α－∈(，π)，－β∈(－，)，
∴sin(α－)＝ ＝ ＝.
cos(－β)＝ ＝ ＝.
∴cos ＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝－×＋×＝.
8．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．
解：由
①2＋②2得
cos2 α－2cos αcos β＋cos2 β＋sin2 α－2sin αsin β＋sin2 β
＝＋＝.
即2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝.
∴cos(α－β)＝.
故cos(α－β)的值是.
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.
答案：A
2．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是( )
A. B.
C. D.
解析：Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.
∴sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，
∴cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B
＝×＋×＝.
答案：C
3．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝( )
A. B.π
C.或π D.或π
解析：∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.又∵0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π.
答案：B
4．(2011·湖北高考)已知函数f(x)＝sin x－cos x，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为( )
A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}
B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
解析：f(x)＝2(sin x－cos x)
＝2(sin xcos－cos xsin)＝2sin(x－)，
则f(x)≥1，即sin(x－)≥，
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
答案：B
5．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________．
解析：∵＝ad－bc，∴
＝cos cos －sin sin ＝cos(＋)＝cos ＝0.
答案：0
6．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________．
解析：法一：由条件可得，
∴
∴＝5.
法二：由条件可知，2sin(α＋β)＝3sin(α－β)．
∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝3sin αcos β－3cos αsin β，
∴sin αcos β＝5cos αsin β，
∴tan α＝5tan β，即＝5.
答案：5
7．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝，求角β.
解：∵α为锐角，cos α＝，∴sin α＝＝.由cos(α＋β)＝＜0，知α＋β∈(，π)，
∴sin(α＋β)＝ ＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×＋×＝，
β为锐角，又∴β＝.
8．(2012·广东高考)已知函数f(x)＝2cos(＋)，x∈R.
设α，β∈[0，]，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
解：∵f(4α＋π)＝－，
∴2cos[(4α＋π)＋]＝2cos(α＋)＝－，
∴sin α＝，
又∵f(4β－π)＝，
∴2cos[(4β－π)＋]＝2cos β＝，∴cos β＝.
又∵α，β∈[0，]，∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，
＝×－×＝－.
1．已知cos α＝－，且α∈(，π)，则tan(－α)等于( )
A．－ B．－7
C. D．7
解析：∵α∈(，π)，且cos α＝－，∴sin α＝
＝ ＝，∴tan α＝＝－.
∴tan(－α)＝＝＝7.
答案：D
2．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于( )
A. B.
C. D.
解析：∵tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，
∴tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]
＝＝＝.
答案：C
3．已知＝2，则tan(α＋)的值是( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：法一：由＝2，得tan α＝－.
∴tan(α＋)＝＝＝.
法二：∵＝2，
∴tan (α＋)＝＝.
答案：C
4．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用和角的正切公式及其变形可知(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.
答案：C
5．tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________．
解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋ [tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)]
＝tan 10°tan 20°＋×(1－tan 20°tan 10°)
＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°
＝1.
答案：1
6．若tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈(－，)，则α＋β＝________．
解析：由条件知tan α＋tan β＝－3<0，
tan αtan β＝4>0，
∴tan α<0，tan β<0.
又∵α，β∈(－，)
∴α，β∈(－，0)，∴－π<α＋β<0.
∵tan (α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝－.
答案：－
7．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求tan α及2α－β的值．
解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝
＝＝1.
∵α、β∈(0，π)，tan α∈(0，1)，tan β<0，
∴α∈(0，)，β∈(，π)．
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π.8.
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1.
又∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
1．(2011·新课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案：B
2．已知sin 2α＝－，α∈(－，0)，则sin α＋cos α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵α∈(－，0)，∴|sin α|＜|cos α|，且sin α＜0，cos α＞0，∴sin α＋cos α＞0，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α
＝1＋sin 2α＝1－＝，
∴sin α＋cos α＝.
答案：B
3．(2011·辽宁高考)设sin(＋θ)＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：sin 2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1
＝2×()2－1＝－.
答案：A
4．(2012·江西高考)若＝，则tan 2α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为＝，所以＝，解方程得tan α＝－3，所以根据倍角公式得tan 2α＝.
答案：B
5．若＝－，则sin α＋cos α的值为________．
解析：由已知得
＝＝＝－.
∴sin α＋cos α＝.
答案：
6．(2011·大纲全国卷)已知α∈(，π)，sin α＝，则tan 2α＝________．
解析：由α∈(，π)，sin α＝，得cos α＝－，tan α＝＝－，tan 2α＝＝－.
答案：－
7．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－，求tan(＋2α)的值．
解：∵α为第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝－，得
cos α＝－，sin α＝.∴tan α＝2.
∴tan 2α＝＝＝－.
∴tan(＋2α)＝＝－.
8．已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
解：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋2sin αcos α＝.∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.
又0＜α＜π，
∴＜α＜π，sin α＞0，cos α＜0.
又(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，
∴cos α－sin α＝－.
cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)
＝－.
∴tan 2α＝＝.
1．已知cos θ＝－，＜θ＜3π，那么sin 等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵＜θ＜3π，∴＜＜.
∴sin ＜0.由cos θ＝1－2sin2，得
sin ＝－
＝－＝－.
答案：D
2．函数f(x)＝3cos x－sin x图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：由条件知，f(x)＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)，x＝时，x＋＝π，f(x)＝－1，所以x＝是一条对称轴方程．
答案：A
3．(2012·山东高考)若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：由于θ∈[，]，则2θ∈[，π]，
所以cos 2θ＜0，sin θ＞0，
因为sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－＝－＝－.
又cos 2θ＝1－2sin2θ，
所以sin θ＝＝＝.
答案：D
4．函数y＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)的最小正周期和最大值分别为( )
A．π，1 B．π，
C．2π，1 D．2π，
解析：y＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋cos 2xcos －sin 2xsin
＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x－sin 2x＝cos 2x.
所以函数的最小正周期为π，最大值为1.
答案：A
5．(2011·上海高考)函数y＝sin(＋x)cos(－x)的最大值为________．
解析：y＝sin(＋x)cos(－x)＝cos xcos(－x)＝cos x(cos cos x＋sinsin x)
＝cos2x＋sin xcos x＝×＋sin 2x
＝cos(2x－)＋，故函数的最大值是.
答案：
6．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
解析：∵cos(α＋)＝，
∴α＋∈(0，)，∴sin(α＋)＝，
∴sin (2α＋)＝2cos(α＋)sin(α＋)＝2××＝，
cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝，
∴sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]
＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝.
答案：
7．(2011·重庆高考)设函数f(x)＝sin xcos x－cos(x＋π)cos x(x∈R)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝f(x)的图像向右平移个单位，再向上平移个单位后得到函数y＝g(x)的图像，求y＝g(x)在[0，]上的最大值．
解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos2x
＝sin 2x＋(1＋cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin(2x＋)＋.
故f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)依题意g(x)＝f(x－)＋
＝sin[2(x－)＋]＋＋
＝sin(2x－)＋.
当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，y＝g(x)为增函数，
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值为g()＝.
8．有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
解：画出图像如图所示，设∠AOB＝θ(θ∈(0，))，则AB＝asin θ，OA＝acos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2acos θ·asin θ＝a2·2sin θcos θ＝a2sin 2θ.
∵θ∈(0，)，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝，即θ＝时，
Smax＝a2，此时，A，D距离O点都为a.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．sin 47°cos 43°＋cos 47°sin 43°等于( )
A．0 B．1
C．－1 D.
解析：原式＝sin(47°＋43°)＝sin 90°＝1.
答案：B
2．log2sin ＋log2cos 的值为( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析：原式＝log2(sin cos )＝log2(sin )＝log2＝－2.
答案：C
3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.
答案：A
4．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵sin α＝，∴cos(π－2α)＝－cos 2α
＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－.
答案：B
5．(2011·福建高考)若tan α＝3，则的值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：∵＝＝2tan α＝6.
答案：D
6．若f(sin x)＝2－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．2－sin 2x B．2＋sin 2x
C．2－cos 2x D．2＋cos 2x
解析：f(sin x)＝2－cos 2x＝2－(1－2sin2x)
＝2sin2x＋1，∴f(cos x)＝2cos2x＋1
＝2cos2x－1＋2＝cos 2x＋2.
答案：D
7．已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：由条件可知，cos α＋sin α＋sin α＝.
∴(cos α＋sin α)＝.
∴sin(α＋)＝，∴sin(α＋π)
＝－sin(α＋)＝－.
答案：C
8．(2012·江西高考)若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵tan θ＋＝4，∴＋＝4，
∴＝4，即＝4，∴sin 2θ＝.
答案：D
9．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β∈(π，π)，则cos 为( )
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：由条件知sin[(α－β)－α]＝，即sin β＝－，
∵β∈(π，π)，∴cos β＝－，
又∈(，π)．且cos β＝2cos2－1＝－，
∴cos ＝－.
答案：A
10．若cos(－θ)cos(＋θ)＝(0＜θ＜)，则sin 2θ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵(－θ)＋(＋θ)＝，
∴cos(＋θ)＝sin(－θ)．
由已知得cos(－θ)sin(－θ)＝，
∴sin(－2θ)＝，即cos 2θ＝，
∵0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，∴sin 2θ＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．函数y＝1－2sin2(x－)的最小正周期是________．
解析：y＝1－2sin2(x－)＝cos(2x－)，
∴T＝＝π.
答案：π
12．已知α、β均为锐角，sin α＝，cos β＝，则tan(α－β)的值是________．
解析：由α为锐角，sin α＝，得：cos α＝tan α＝，
由β为锐角，cos β＝，得：sin β＝tan β＝，
故tan(α－β)＝＝－.
答案：－
13．已知sin α＝，α∈(，π)，则cos(＋α)sin(－α)的值为________．
解析：cos(＋α)sin(－α)＝cos2(＋α)
＝＝－sin 2α.
∵sin α＝，α∈(，π)，
∴cos α＝－＝－.
∴原式＝－sin αcos α＝－×(－)＝.
答案：
14．(2011·重庆高考)已知sin α＝＋cos α，且α∈(0，)，则的值为________．
解析：由题意知sin α－cos α＝，
两边平方可得sin 2α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，
又α∈(0，)，所以sin α＋cos α＝.
＝＝－(sin α＋cos α)＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)证明下列恒等式．
sin α＝，cos α＝；
证明：sin α＝2sin cos
＝＝.
由于＝tan α＝，
所以cos α＝.
16．(本小题满分12分)已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝且α∈(，π)，β∈(0，)．
求：(1)cos ；(2)tan(α＋β)．
解：(1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin(α－)＝
＝，
cos(－β)＝ ＝.
∴cos ＝cos[(α－)－(－β)]
＝cos(α－)·cos(－β)＋sin(α－)·sin(－β)
＝(－)×＋×＝－.
(2)∵＜＜π，
∴sin ＝ ＝，
∴tan ＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
17．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝sin 2x·cos ＋cos 2x·sin ＋sin 2x·cos－cos 2x·sin ＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)．
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，]上是增函数，在区间[，]上是减函数．又f(－)＝－1，f()＝，f()＝1，故函数f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－1.
18．(本小题满分14分)已知f(x)＝sinx＋2sin(＋)cos(＋)．
(1)若f(α)＝，α∈(－，0)，求α的值；
(2)若sin＝，x∈(，π)，求f(x)的值．
解：(1)f(x)＝sin x＋2sin(＋)cos(＋)
＝sin x＋sin(x＋)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，
由f(α)＝，得sin(α＋)＝.
∴sin(α＋)＝.
∵α∈(－，0)，∴α＋∈(－，)．
∴α＋＝.∴α＝－.
(2)∵x∈(，π)，∴∈(，)．
又sin＝，∴cos＝.
∴sin x＝2sincos＝，
cos x＝－＝－.
∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.
