课件38张PPT。1.1
正弦定理和余弦定理1.1.1
正
弦
定
理理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
解三角形考点一考点二考点三第1部分如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2，
问题1：△ABC的其他边和角为多少？问题4：若是锐角三角形，或是钝角三角形，上述结论还成立吗？
提示：都成立．问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 .
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边 、 、 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．abc解三角形 对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化． [例1] 在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求C、a、b.
[思路点拨] 由三角形的内角和为180°可求C，根据正弦定理可求a，b. [一点通] 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路是
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角；
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．1．已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，则角
B 的对边长等于________．2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，解此三
角形． [思路点拨] 由c＞a可得A为锐角，由正弦定理求出sin A，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，正弦定理求得b. [一点通] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [例3] (12分)在△ABC中，若sin A＝2sin B·cos C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．
[思路点拨] 首先利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin 2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的形状． [一点通] (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．5．若本题条件中“sin A＝2sin B·cos C”改为
“bsin B＝csin C”，其他条件不变，结果如何？解：由本例解法知A＝90°，
由bsin B＝csin C可得sin 2B＝sin 2C，
∴sin B＝sin C.
由A＝90°知，B、C均为锐角．
∴B＝C.
故△ABC为等腰直角三角形．6．在△ABC中，若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状． 1．正弦定理是解三角形的重要工具，已知两角和任一边，或已知两边和其中一边的对角均可以利用正弦定理解三角形，应用正弦定理时，要注意定理的变式和解的情况的讨论．
2．已知三角形两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下表：点击下图进入课件46张PPT。1.1
正弦定理和余弦定理1.1.2
余
弦
定
理理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
解三角形考点一考点二考点三△ABC中，若AC＝2，BC＝3，C＝60°.
问题1：这个三角形确定吗？
提示：确定．
问题2：能否直接利用正弦定理求得AB?
提示：不能．
问题3：能否利用平面向量求边AB？如何求得？
提示：能．∵ ＝ ＋ ，
∴| |2＝| |2＋| |2＋2 ·
＝| |2＋| |2－2| || |cos∠ACB
＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7.
∴| |＝ .
问题4：由问题3的推导方法，能否用b，c，A表示a?
提示：能．1．余弦定理b2＋c2－2bc·cosAa2＋c2－2ac·cosBa2＋b2－2ab·cosC 对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．[答案] A [一点通] 由余弦定理求角的余弦值或确定角的方法
(1)结合已知条件寻找三边之间的比例关系；
(2)结合比例关系通过余弦定理的推论可求相应角的余弦值，进而可确定角的大小．1．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则
角C＝________.答案：60°[思路点拨] 解答(1)可先利用余弦定理推论求得其中两个角的余弦值，从而得出这两个角的大小，然后根据三角形内角和定理可得第三个角；解答(2)可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A、角C. [一点通] 适合用余弦定理求解的三角形主要有两类
(1)已知三边，求三角，一般利用余弦定理的推论先求出
两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角．
(2)已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：
①已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再
求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．
②已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，
然后应用正弦定理求出另两角．[例3] (12分)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B
＝2bccos B·cos C．试判断△ABC的形状．
[思路点拨] 思路有二：一是利用余弦定理将已知式化为边的关系；一是利用正弦定理将已知式化为角的关系． [一点通] 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．5．在△ABC中，已知sin A＝2cos B·sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．不确定法二：sin A＝2cos B·sin C?sin(B＋C)＝2cos Bsin C
?sin B·cos C＋cos B·sin C＝2cos B·sin C
?sin B·cos C－cos B·sin C＝0?sin(B－C)＝0.
可知－π故△ABC为等腰三角形．答案：B6．在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B
＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状． 1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．
2．在已知两边与其中一边的对角时，即可先用余弦定理求边，再继续求解；也可以先用正弦定理求另一边的对角，再继续求解．而用余弦定理先求第三边的好处是只需保证边为正来判断解的个数． 3．因为余弦定理给出的是三边与一个角的余弦值之间的关系，而余弦值的正负可以决定该角是锐角还是钝角，因此利用余弦定理及其推论来判定三角形的形状时，我们一般是通过计算最大边所对应的最大角的余弦值，即两个小边的平方和与最大边的平方的差的正负，来判断该角是锐角还是钝角．有时也会和正弦定理结合同化为边或同化为角观察．点击下图进入课件58张PPT。1.2
应用举例理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章
解三角形第一课时
正、余弦定理在实际中的应用考点一考点二考点三知识点一知识点二 李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．
问题1：李尧家在学校的哪个方向？
提示：东南方向．
问题2：能否用角度再进一步确定其方位？
提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.实际测量中的有关名称、术语在△ABC中，若AC＝3，BC＝4，C＝60°.
问题1：△ABC的高AD为多少？问题2：△ABC的面积为多少？
问题3：若AC＝b，BC＝a，你发现△ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？三角形的面积公式
(1)S＝ a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝ absin C＝ ＝ . 1．测量中的有关概念、名词、术语的应用
(1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出示意图． (3)方位角α的范围是0°<α<360°，方向角β的范围是0°<β<90°.
2．已知三角形的两边及其夹角便可求得三角形的面积，即第一课时 正、余弦定理在实际中的应用[例1] 在某次军事演习中，红方为了准
确分析战场形势，在两个相距为 的
军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队
分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．[一点通] 日常生活中，测量距离问题通常有两种情况1．如图，设A、B两点在河的两岸，
要测量两点之间的距离．测量者在
A的同侧，在所在的河岸边选定
一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝
75°，∠BCA＝45°，则A、B两点间的距离为_______．2．如图，隔河看两目标A，B，但不
能到达，在岸边选取相距 km
的C，D两点，并测得∠ACB＝
75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，
∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．[例2] 某人在山顶观察地面上相距2 500 m的两个目标A，B，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．[精解详析] 画出示意图如图． [一点通] 测量高度问题的解答思路一般为
(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键．问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；
(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．3．某兴趣小组要测量电视塔AE
的高度H(单位：m)．如示意
图，垂直放置的标杆BC的高
度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，
∠ADE＝β.该小组已测得一
组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．4．如图所示，A、B是水平面上
的两个点，相距800 m，在A
点测得山顶C的仰角为45°，
∠BAD＝120°，又在B点测得
∠ABD＝45°，其中D点是点C
到水平面的垂足，求山高CD. [例3] (12分)如图所示，当甲船位于
A处时获悉，在其正东方向相距20海
里的B处有一艘渔船遇险等待营救．
甲船立即前往救援，同时把消息告
知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?
[思路点拨] 先根据余弦定理求出BC，再运用正弦定理求得∠ACB，进而得解． [一点通] 解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，运用正、余弦定理求解．5．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视
角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为 ( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α解析：如图可知，山顶的仰角为β－α.答案：C6．如图，在海岸A处，发现北偏东
45°方向，距A处( －1)n mile的
B处有一艘走私船，在A处北偏西
75°的方向，距离A处2 n mile的C
处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ 正余弦定理在实际中的应用，突出表现在用来解答三角形应用题的有关问题，其解答思路一般为
(1)准确理解题意及问题的实际背景，明确已知和所求，并理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出图形，将实际问题抽象成解三角形的数学模型；
(3)把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题的结果．点击下图进入课件41张PPT。1.2
应用举例把握热点考向应用创新演练第一章
解三角形第二课时
正、余弦定理在三角形中的应用考点一考点二考点三 [一点通] 求三角形的面积易考虑利用S＝×底×高来进行，当三角形的高不易求得，则应考虑两边及其夹角的正弦积的二分之一这个面积公式来求．涉及三角形的面积问题，要善于挖掘题目条件，从而灵活运用面积公式是关键．答案：D[例2] 在△ABC中，若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为 ，求边长a.
[思路点拨] 解答本题可先令CD＝DB＝x.
在△ACD和△ACB中，∠ACB是公共角，两次使用余弦定理，便可求出x. [一点通] (1)解决此类题的关键是注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意这一性质的适用题型．
(2)有关长度问题，要有方程意识，设未知数，列方程求解是经常用到的方法．
(3)要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式．3．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正
弦等于 ，则三边长为________．答案：a＝7，b＝5，c＝3[思路点拨] (1)利用余弦定理和面积公式列关于a，b的方程组求解．
(2)先利用正弦定理得a与b的关系，再利用余弦定理得另一个a与b的关系，列方程组求解a，b，进而求面积． [一点通] 解决三角形的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识．因此，掌握正、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键．5．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分
别为a，b，c，已知cos 2C＝－ .
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． 1．解三角形实质就是根据条件中给出的边角关系来求解未知边角的关系或具体值，主要工具就是正弦定理、余弦定理及三角形其他的边角关系．虽然两个定理有不同的分工，但是它们可以相互转化，实现将三角形“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式． 2．正弦定理、余弦定理多是用来处理三角形中含有边角关系的等式．在遇到边角不等式时，要注意三角形的三内角A＜B＜C?sin A＜sin B＜sin C的应用，特别是在处理三角形中的三角函数求值问题时，要注意角的取值范围与三角函数符号之间的联系，否则很容易出现多解的错误答案．点击下图进入课件13张PPT。核心要点归纳阶段质量检测第一
章
解三角形章末小结
知识整合与阶段检测 一、正弦定理
1．正弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，则：
(其中R为△ABC的外接圆半径)． 2．正弦定理所适用的题型
(1)已知两角和任一边，求其他两边和第三角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两角． 3．两个重要结论
(1)在△ABC中，a>b>c?A>B>C?sin A>sin B>sin C. (2)在△ABC中，有a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
[提醒] 已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理，但要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能)．二、余弦定理
1．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2＝b2＋c2－2bc·cos A；
b2＝a2＋c2－2ac·cos B；
c2＝a2＋b2－2ab·cos C. 3．余弦定理适用的题型
(1)已知三角形的三边，求三个角；
(2)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角．[说明] 利用余弦定理也可以解决“已知两边和
其中一边的对角，求第三边和另外两角”的题型，如
已知a，b，A，求c，B，C时，利用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bc·cos A得到关于c的二次方程，利用判别式法可以判断解的情况，进而可求解．四、正、余弦定理在实际中的应用
1．几种常见题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算
面积问题等．
2．解题时需注意的几个问题
(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准
确地找出(或作出)这些角；
(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结
合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．点击下图进入
