4.3.1等比数列的概念（第二课时） 课件（共20张PPT）

高二数学组
4.3.1　等比数列的概念（第二课时）
第四章数列
学习目标：
2.掌握等比数列的判断及证明方法.
1.巩固等比数列的概念及通项公式.
“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。” ----雷巴柯夫
3.核心素养：数学运算、数学建模、逻辑推理
1.等比数列
2. 通项公式
4.等比数列的判断
3. 等比中项
(an)2=an-1.an+1
a,G,b成等比数列
复习引入
例4　用10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10?5）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为????元，每期的利率为????，则从第一期开始，各期的本利和????，????（1+????），????（1+????）2，…构成等比数列.
?
解：（1）设这笔钱存????个月以后的本利和组成一个数列{????????}，则{????????}是等比数列，首项????1＝104（1+0.400%），公比????＝1+0.400%，所以
????12＝104（1+0.400%）12≈10?490.7.
所以，12个月后的利息为10?490.7?104≈491（元）.
?
课本31页
（2）设季度利率为????，这笔钱存????个季度以后的本利和组成一个数列{????????}，则{????????}也是一个等比数列，首项????1＝104（1+????），公比为1+????，于是
????4＝104（1+????）4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
［104（1+????）4?104］元.
解不等式104（1+????）4?104≥491，得
????≥1.206%.
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
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思考1　若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数 列是等比数列吗？
提示　不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性.
探究
探究新知
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
1.定义法： ＝____(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；
2.等比中项法： ＝________(n∈N*且n≥2)；
3.通项公式法：an＝_______＝ ＝A·qn(A≠0).
q
an－1an＋1
a1qn－1
注意点：
(1)证明{an}为等比数列常用定义法.
知识梳理
　例1已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝ (n∈N*).
(1)求a1，a2；
典例分析
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时，
典例分析
巩固练习
得an>0，Sn>0.
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
例2 已知数列????????的首项????????=????.
(1)若数列????????为等差数列,公差????=2,证明数列????????????为等比数列；
(2)若数列????????为等比数列,公比????=????????,证明数列????????????????????????为等差数列.
?
分析：如何证明一个数列为等差数列或者等比数列
等差数列：
????????+?????????????=????
?
等比数列：
????????+????????????=????
?
利用定义
先求
通项公式
典例分析
证明：
（1）由????1=3,????=2,得????????的通项公式为
?
????????=2????+1
?
设????????=3????????,则
?
????????+1????????=32????+332????+1=9
?
又????1=33=27
?
所以3????????是以27为首项，9为公比的等比数列
?
（2）由????1=3, ????=19,得????????的通项公式为
?
????????=3×19?????1=33?2????
?
????????????3????????=????????????333?2????=3?2????
?
所以????????????3????????是首项为1，公差为-2的等差数列
?
两边取以3为底的对数,得
所以????????????3????????+1?????????????3????????=3?2????+1?3?2????=?2
?
又????????????3????1=????????????33=1
?
区分两问的求法有何不同
探究新知
思考2：
性质1：数列{an}是等差数列?数列 是等比数列.
?
?
性质2：数列{an}是正项等比数列?数列{logban}是等差数列.
巩固练习
1.若{an}, {bn}是项数相同的等比数列, 且公比分别为q, q′的, c为常数, 则下列数列是等比数列吗？若是,公比是什么？
(1){1????????} ; (2){????????2} ; (3){c????????} ;
(4){????????+c} ; (5){????????· ????????+1} ;
(6){????????+?????????+1} ; (7){????????????????} ;
(8){????????????????} ; (9){????????+?????????}.
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√
√
√
√
√
√
√
等比
2.若2a，2b，2c成等比数列，则a, b, c成 数列.
等差
3.若lga, lgb, lgc成等差数列，则a, b, c成 数列.
小题必备结论
典例分析
形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下
第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t).
第二步：由待定系数法，解得t＝　　 .
第三步：写出数列 的通项公式.
第四步：写出数列{an}的通项公式.
反思感悟
反思感悟
4. 已知数列{????????}中，????1＝1，????????＝2?????????1+1（????≥2）.
（1）证明：数列{????????+1}是等比数列; （2）求????????.
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（1）证明：（方法一）由已知????????＝2?????????1+1（????≥2），
得????????+1＝2?????????1+1+1＝2（?????????1+1）（????≥2）.
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∴ 数列{????????+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（方法二）设????????＝????????+1，则????1＝????1+1＝2，
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∴ 数列{????????+1}是首项为2，公比为2的等比数列.
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（2）解：由（1）知等比数列{????????+1}的首项为2，公比为2，
∴?????????+1＝2×2?????1＝2????，∴ ????????＝2?????1.
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又∵ ????1＝1，∴?????1+1＝2≠0，
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巩固练习
（1）定义法：验证 （????为常数且不为0）是否成立，但应注意必须从第二项（即????≥2）起所有项都满足此等式；
（2）等比中项法：验证 （????∈?????，????≥2且????????≠0）是否成立；
（3）通项公式法：验证????????＝????1?????????1是否成立，但应注意隐含条件是????1≠0，????≠0;
（4）构造法：在条件中出现????????+1=????????????+????时，往往构造数列，方法是把????????+1+????=????(????????+????)与????????+1=????????????+????对照，求出????即可.
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课堂小结
(an)2=an-1.an+1