鲁教版（五四制）数学八年级上册 平面图形的镶嵌（1）课件(共50张PPT)

(共50张PPT)
鲁教版八年级数学上册综合与实践
课前准备
12个
4个
4个
4个
4个
6个
4个
1.清点学具袋中多边形的类型和数量，并分类放在桌面上。
2.能够利用n边形内角和公式计算下列正多边形每个内角的度数。
n边形内角和公式：（n-2）180°
正n边形内角公式：（n-2）180°/n
创设情境，明晰概念
思维拓展，应用提升
总结归纳，提炼精华
操作探究，发现规律
作业布置，学以致用
教学过程
一、创设情境，明晰概念
校园中的数学奥秘
平面图形镶嵌的定义
用形状、大小完全相同的一种或几种图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。
说明：平面图形的镶嵌有两类情况
（1）多边形的顶点与顶点重合，边与边重合。
（2）多边形的顶点在另一个多边形的边上。
本节课我们只研究第（1）种情况。
设计说明
通过自己拍摄制作的《校园中的数学奥秘》，让学生感受到数学就在我们身边，数学来源于我们的现实生活，从而让学生关注身边的数学，发现数学中的美，同时自然引出平面图形镶嵌的定义。
二、操作探究，发现规律
设计说明
这一部分是整节课的重点，我以小明家要进行装修遇到的三个问题为情景，设计了三个探究活动，通过学生的观察实验、猜想验证、动手操作、小组交流合作、填写探究报告以及教师的教具直观演示、几何画板辅助等多种学习方式，让学生逐步探究得出平面图形和正多边形镶嵌的条件，同时渗透基本的数学思想和数学学习方法。
探究活动一：同种正多边形的镶嵌
问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正八边形，如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？
探究：请各小组合理分工，利用多边形模板动手操作验证，得出结论，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。
时间：5分钟
填写表格
收 集、 整 理 、 分 析 数 据 正n边形 拼图 每个内角的度数 每个内角的度数
与360°的关系 能否镶嵌
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
60°
90°
108°
120°
135°
6× 60°= 360°
4× 90°= 360°
4×108°＞ 360°
3 ×120°= 360°
3×108°＜ 360°
2×135°＜ 360°
3×135°＞ 360°
不能镶嵌
不能镶嵌
能镶嵌
能镶嵌
能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
探究报告
1.这五种正多边形中， 能进行平面镶嵌， 不能进行平面镶嵌。
2.请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？
3.请结合拼图，具体说一下不能镶嵌的图形的原因？
4.根据以上探究，总结平面图形镶嵌的条件
5.根据平面图形镶嵌的条件，总结正多边形能够镶嵌的条件？
60°
90°
120°
60°
60°
60°
60°
60°
60°
120 °
120 °
120 °
90°
90°
90°
90°
60°
90°
120°
108°
135°
平面图形镶嵌的条件是什么？
每个拼接点（顶点）处各角的和为360°
正多边形能够镶嵌的条件是什么？
正多边形内角的度数能被360度整除。
思考：经过刚才的实验，我们发现正多边形中正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌，那么其它的正多边形能镶嵌吗？
因为正多边形有无数个，我们是无法用实验操作来一一验证的，你能进行推导或者证明吗？
解：设m个正n边形可以进行平面镶嵌。
∴正多边形中只有正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌。
∵m，n为正整数
∴n=3,4或6
根据刚才发现的规律，如果正多边形能够镶嵌，它内角的度数必须能够被360°整除，除了60°，90°，和120°，能被360°整除的还有180°和360°，而多边形内角的度数不可能为180°和360°，所以不能再找到其他可以镶嵌的正多边形了。
设计说明
通过设未知数，建立方程，使学生对镶嵌的认识从“形”到“数”，同时也渗透了数形结合的数学思想。
探究活动一结论
1.正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形能进行镶嵌。
2. 镶嵌的条件是：拼接点处几个内角的和能构成360°。
3.同种正多边形镶嵌的条件是：内角的度数能被360°整除。
特殊多边形
任意多边形
1
2
3
1
2
3
4
一般多边形
探究活动二：任意多边形的平面镶嵌
问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？
探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板动手操作验证，根据操作验证，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。
时间：5分钟
探究报告
1.任意的三角形和任意的四边形 (能或不能)进行镶嵌。
2.若它们能镶嵌，请具体说一下它们是如何镶嵌的？
1
2
3
1
2
γ
1
2
γ
1
2
3
1
2
3
1
2
3
一般三角形的镶嵌
∠1+∠2+∠3+ ∠1+∠2+∠3=2（ ∠1+∠2+∠3 ）=2x180°=360°
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
一般四边形的镶嵌
∠1+∠2+∠3+ ∠4=360°
一般四边形的镶嵌
∠1+∠2+∠3+ ∠4=360°
1
2
3
4
探究活动二结论
1.形状和大小完全相同的任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌。
2.为实现连续镶嵌，镶嵌时相等的边要重合在一起。
单一图形
组合图形
简单
复杂
探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌
问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形，正方形、正五边形，正六边形中的两种地砖进行卧室地面的装修，请你帮他们设计出能够利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。
探究：小组PK。编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，不动手操作，利用其他方法来设计方案。
时间：5分钟
探究报告
正多边形组合 拼图 每个内角的度数与360°的关系
正三角形
正方形
正三角形
正六边形
60°×3 + 90°×2=360°
60°×4 +120°×1=360°
60°×2 +120°×2=360°
探究报告
1.我们发现：以上四种图形进行两两组合，共有 种组合方案，其中能够镶嵌的有 共 种方案。
2.通过探究，请具体描述以上能够镶嵌的多边形组合是如何镶嵌的？
边长相等的两种正多边形的组合镶嵌
（1） 正三角形与正方形的平面镶嵌
（2） 正三角形与正六边形的平面镶嵌
60°×3 + 90°×2=360°
60°×4 +120°×1=360°
60°×2 +120°×2=360°
∴ 3个正三角形和2个正方形可以进行组合镶嵌。
60x+90y=360
∵ x,y为正整数
解：设在一个拼接点处有 x 个正三角形, y个正方形，则有
∴方程的解为
x=3
y=2
整理得：2x+3y=12
探究活动三结论
1.正三角形和正方形组合，正三角形和正六边形组合能进行平面镶嵌。
2. 镶嵌的条件是：每个拼接点处两种正多边形各内角的和为360°。
三、总结归纳，提炼精华
思考：在镶嵌时需要关注哪些因素？
顶点，角，边
平面图形镶嵌的条件是什么？
1.每个拼接点（顶点）处各角的和为360°；
2.相等的边互相重合。
四、思维拓展，应用提升
设计说明
这个环节作为一个拓展内容，通过给学生提供三个不规则图形镶嵌的实例演示，目的是让学生不仅关注曲变形的镶嵌问题，而且关注基本镶嵌图形的构造过程，从而为设计镶嵌图案提供思路。
2cm
1cm
将正方形分割为如图所示的两个图形，是否可以镶嵌？
如图，在一个正方形的内部按图示1的方式减去一个图形，并平移，形成如图2所示的新图案。以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？
如图所示的两个“类平行四边形”图形，是否可以镶嵌？
思维提升
1.一个能够镶嵌的图形分割成几个图形，经组合后仍可进行平面镶嵌。
2.如果一个图形通过平移可以镶嵌，那么将这个图形上的一部分切割下来并沿着平移方向将切割部分平移，与剩余部分进行适当的组合，这个组合图形仍可以镶嵌。
五、作业布置，学以致用
我校新校建设正在如火如荼的进行之中，请根据今天所学习的镶嵌的知识，为我校新校设计一种教室地面的镶嵌方案，要求用三种正多边形组合，并用几何画板进行设计。你能设计出多少种方案呢？
作业
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