山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（文）试题

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高三阶段测试
文倾向数学 2013.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.若，则＝
A. B. C. D.
2.已知集合，，则
A. B. C. D.
3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为
A. 　 B. 　 C. D.
4.函数的图像为
5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：
①； ②；
③； ④．
其中“同簇函数”的是
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
6.若数列的前项和，则数列的通项公式
A. B. C. D.
7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
8.已知，满足约束条件，若的最小值为，则
A. B. C. D.
9.在中,角的对边分别为,且
.则
A． B． C． D．
10.函数是上的奇函数，,则
的解集是
A . B. C. D.
11.定义在上的偶函数满足且，则的值为
A. B. C. D.
12.设函数，若实数满足
则
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．
13.已知一元二次不等式的解集为,则的解集为
. （　　）
14. ．
15.设正数满足, 则当 ______时, 取得最小值.
16.在中，，，，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分）
已知,.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)设,若,求的值.
18.(本小题满分12分）
已知函数和的图象关于轴对称，且.
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)当时，解不等式.
19. (本小题满分12分）
设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.
(Ⅰ) 若，求数列的通项公式；
(Ⅱ) 记,，且成等比数列,证明:().
20.(本小题满分12分）
如图,游客在景点处下山至处有两条路径.一条是从沿直道步行到,另一条是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直道步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,索道长为,经测量,,.
(Ⅰ) 求山路的长;
(Ⅱ) 假设乙先到，为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内
21．（本小题满分12分）
新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.
（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.
（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①； ②
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
22．(本小题满分14分)
设函数
(Ⅰ)当时，求函数的最大值；
(Ⅱ)令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；
(Ⅲ)当，时，方程有唯一实数解，求的值．
201311文倾向数学参考答案及评分标准
一、
二、13. 14. 15. 16.
三、
17解: (Ⅰ)∵∴
又∵,……3分 ∴ , ………………5分
∴.…………………6分
(Ⅱ)∵ ∴即 …………………8分
两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ……10分∵且 ∴ …………………12分
18.解：(Ⅰ)设函数图象上任意一点，由已知点关于轴对称点一定在函数图象上…………………2分
代入，得 …………………4分
（Ⅱ）由整理得不等式为
等价……………………6分
当，不等式为，解为………………7分
当，整理为,解为……………………9分
当，不等式整理为
解为.……………………11分
综上所述，当，解集为；当，解集为
；当，解集为.…………12分
19解(Ⅰ)因为是等差数列，由性质知，…………2分
所以是方程的两个实数根，解得，………4分
∴或
即或.……………6分
(Ⅱ)证明:由题意知∴
∴ …………7分
∵成等比数列，∴ ∴ …………8分
∴ ∴ ∵ ∴ ∴…10分
∴
∴左边= 右边=
∴左边=右边∴()成立. ……………12分
20解: (Ⅰ) ∵,
∴∴, …………………2分
∴ …………4分
根据得
所以山路的长为米. …………………6分
(Ⅱ)由正弦定理得() …………8分
甲共用时间：，乙索道所用时间：，
设乙的步行速度为 ，由题意得，………10分
整理得
∴为使乙在处等待甲的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在
内. …………………12分
21．解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：
当时，
①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分
（Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，
则显然恒成立 ……4分
而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求． ……7分
②对于函数模型：
当时，是增函数，则．
∴恒成立． ………8分
设，则．
当时，，所以在上是减函数， ……10分
从而．
∴，即，∴恒成立．
故该函数模型符合公司要求． ……12分
22.解：(Ⅰ)依题意，的定义域为，
当时，，
……………………2分
由 ，得，解得;由 ，得，解得或.，在单调递增，在单调递减；
所以的极大值为，此即为最大值……………………4分
(Ⅱ)，则有在上有解，
∴≥， ………6分
所以 当时，取得最小值……………8分
(Ⅲ)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，……9分
设，则，，所以由得，由得，所以在上单调递增，
在上单调递减， . ……………11分
若有唯一实数解，则必有
所以当时，方程有唯一实数解. ………14分
C
B
A
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