鲁教版（五四制）数学八年级上册 平面图形的镶嵌（1）教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）数学八年级上册 平面图形的镶嵌（1）教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 84.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-30 19:00:50 | ||
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文档简介
《综合与实践》主题研究教学设计
鲁 教 版 八 年 级 上 册
平面图形的镶嵌
《综合与实践》主题研究教学设计
课题名称 平面图形的镶嵌 年级 八年级 教材版本 鲁教版
设计者 单位
教学目标 1.经历平面图形镶嵌的探究过程，进一步发展探究意识，积累探究经验。2.认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的一种或几种图形进行平面图形镶嵌，了解构造基本镶嵌图案的一些方法。3.经历小组合作与交流的过程，通过观察、实验、归纳、推断等多种活动，进一步积累合作与交流的活动经验，增强合作意识，发展合作能力。4.通过图案设计活动，发展空间观念以及综合运用数学知识解决问题的能力，体会在数学学习过程中的数学思想和数学方法，明确数学知识源于生活又用于生活。
重点难点 重点：理解平面镶嵌的意义，能用边长相等的正多边形拼出各种平面镶嵌图形，理解平面镶嵌的数学原理。 难点：探索哪些边长相等的正多边形可用于平面镶嵌，如何进行平面镶嵌，以及平面镶嵌的数学原理。
教学过程 教师活动 学生活动
【课前准备】热身活动课前准备好若干常见的基本图形的纸板，正三角形12个，正方形4个，正五边形4个，正六边形4个，正八边形4个，一般的三角形6个，一般的四边形4个。安排学生复习回顾多边形内角和公式：（n-2）180°，能够根据公式计算出常见的正多边形每个内角的度数。【第一环节】课堂导入同学们，大家都知道，我们的数学都是来源于生活的，同时它反过来又为生活服务，只要大家做一个生活的有心人，处处观察我们生活的世界，你就会发现许许多多的数学奥秘。今天我们所要研究的《平面图形的镶嵌》，也和我 学生以小组为单位清点本节课所需的学具数量及类型。复习回顾多边形内角和公式：（n-2）180°，计算出常见的正多边形每个内角的度数。
教学过程 教师活动 学生活动
们的生活息息相关。这是我们的校园，大家都非常熟悉，如果你细心观察的话，你也会发现，这里面也隐藏着一个数学的奥秘。下面让我们跟随镜头，一起走进我们的校园，然后从数学的角度来思考，我们的校园里到底隐藏着一个怎样的数学奥秘呢？教师播放《关注身边的数学，发现数学中的美》的视频。【设计意图】通过让学生观看视频，让学生体会数学就在我们身边，渗透数学知识来源于生活，同时，让学生感受数学中的美。【第二环节】明晰概念提出问题：当你漫步在校园里的时候，你是否发现了这些地砖和墙砖的拼铺？实际上这种拼铺在我们生活当中也随处看见，请大家从数学的角度出发，进行思考，这些地砖，墙砖还有天花板，它们有什么样的共同特征？归纳概括：教师将同学所说的特征进行总结和概括，在此基础上明晰平面图形镶嵌的概念。解析概念：教师引导学生分析概念中的关键词。教师板书：关键词 无空隙，不重叠【设计意图】学生通过观察和思考，初步总结出平面图形镶嵌的定义，并掌握定义当中的关键词，为开展操作和探究活动做好准备。 学生观看视频，同时思考教师提出的问题。学生通过观看视频以及生活中的图片进行观察，分析和思考，在教师引导的基础上，总结这些拼铺的图案的共同特征。学生总结概念当中的关键词
教学过程 教师活动 学生活动
【第三环节】操作与探究1. 探究活动一：同种正多边形的镶嵌提出问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正八边形，如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？操作探究：请各小组合理分工，利用多边形模板动手操作验证，得出结论，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。活动时间：4分钟请某个小组将探究活动一的镶嵌图案在黑板进行展示。教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。（1）哪些正多边形可以镶嵌？哪些不能进行镶嵌？（2）请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？ 学生以小组为单位进行同一种正多边形平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出平面图形镶嵌的条件和正多边形平面镶嵌的条件。学生汇报：经过我们的操作，我们发现正三角形，正四边形和正六边形可以进行镶嵌，而正五边形和正八边形不能进行镶嵌。我们知道正三角形每个内角的度数为60度，在一个拼接点处，六个60度角可以组成一个周角，所以正三角形可以镶嵌，同样，正方形每个内角的度数为90度，在一个拼接点处，4个90度角可以组成一个周角，所以正方形可以镶嵌，正六边形每个内角为120度，在一个拼接点处3个120度角可以组成一个周角，所以正六边形可以镶嵌。
教学过程 教师活动 学生活动
（3）请结合你们的拼图 ，具体说一下正五边形和正八边形为什么不能进行镶嵌？（4）根据以上探究，你们能总结一下镶嵌的条件吗？那一个正多边形要能够进行平面镶嵌，它的内角要满足什么条件？【设计意图】通过提出现实问题，组织学生以小组为单位开展操作与探究，并通过实验探究报告引导，学生初步总结出平面图形镶嵌的条件以及正多边形镶嵌的条件。思考：通过刚才发现的规律，你还能再找到能够进行平面镶嵌的正多边形吗？说说你的想法。教师引导：能否用代数的方法解决刚才的问题？教师给学生提供一个思路。 我们发现，三个正五边形拼在一起有空白，而四个正五边形又会有重叠，所以正五边形不能进行镶嵌。同样，两个正八边形拼在一起有空白，而3个正八边形又会有重叠，所以正八边形也不能进行镶嵌。也就是说它们不能拼成360°。在一个拼接点处的角能构成360度；正多边形内角的度数能够被360度整除。学生以小组为单位进行交流，得出：如果正多边形能够镶嵌，根据刚才发现的规律，它内角的度数必须能够被360°整除，除了60°，90°和120°，能被360°整除的还有180°和360°，而多边形内角的度数不可能为180°和360°，所以不能再找到其他可以镶嵌的正多边形了。学生在教师提供的思路的基础上，通过列方程进行推导，从而验证只有正三角形，正方形，正六边形可以实现镶嵌。
教学过程 教师活动 学生活动
【设计意图】通过代数方法的解决，让学生体会数形结合以及方程思想在解决问题中的作用。总结探究活动一得出的结论刚才我们研究的这些图形都是正多边形，它们内角的度数都相等，边也相等，可以说是特殊的多边形，那么对于任意的多边形，是否也能够按照刚才的规律进行镶嵌呢？我们在研究问题时，很多时候是先研究特殊的情况，再研究一般的情况，这在数学上是一种从特殊到一般的数学方法。2. 探究活动二：任意多边形的平面镶嵌提出问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？操作探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板动手操作验证，根据操作验证，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。活动时间：4分钟某个小组将探究活动一的镶嵌图案在黑板进行展示。教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。 学生理解通过探究活动一得出的结论。学生以小组为单位进行任意多边形（三角形和四边形）平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出任意三角形和四边形能够进行平面镶嵌的条件。
教学过程 教师活动 学生活动
（1）任意三角形和四边形是否可以进行镶嵌？（2）具体说一下它们是如何镶嵌的？总结探究活动二得出的结论刚才研究的图形都是用同一种多边形，对于两种甚至三种多边形的组合，是否也有这样的规律呢？在数学学习过程中，我们往往先从简单的开始研究，再研究复杂的情况，这就是从简单到复杂的数学学习方法。3. 探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌。提出问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形，正方形、正五边形，正六边形中的两种地砖进行卧室地面的装修，请你帮他们设计出能够利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。操作探究：小组PK。编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，不动手操作，利用其他方法来设计方案。活动时间：5分钟奇数组代表汇报探究成果 我们发现任意的三角形和四边形都能镶嵌。以三角形为例，在每个拼接点处，有6个角，这六个角恰好是三角形的两组内角，两组内角和恰好组成360°。以四边形为例，在每个拼接点处，有4个角，这四个角恰好是四边形的四个内角，恰好组成360°。学生理解通过探究活动二得出的结论，进一步明确平面图形镶嵌的条件。学生以小组为单位进行边长相等的两种正多边形平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出两种平面图形镶嵌的条件。
教学过程 教师活动 学生活动
（1）哪些正多边形的组合可以进行平面镶嵌？（2）它们是如何镶嵌的？偶数组代表汇报通过方程思想探究得出的结果总结探究活动三得出的结论【设计意图】通过分组探究，让学生用不同的方法解决问题，体会数学学习方法的多样性。【第四环节】总计与归纳通过探究活动一到探究活动三，总结归纳多边形可以镶嵌的条件。 以上四种图形进行两两组合，共有6种组合方案，其中能够镶的有两种方案。 三个正三角形和两个正方形可以进行镶嵌，在一个拼接点处，有3个60度角，2个90度角，它们的和恰好为360度；两个正三角形和两个正六边形或者一个四个正三角形和一个正六边形也能够进行镶嵌。解：设在一个拼接点处有 m 个正三角形, n个正方形，则有60m+90n=360整理得：2m+3n=12∵ m,n为正整数∴方程的解为∴ 3个正三角形和2个正方形可以进行组合镶嵌。学生理解通过探究活动三得出的结论。 学生通过探究活动，从角和边两个角度归纳多边形平面镶嵌的条件：1.每个拼接点处内角的和构成360°2.相等的边重合。
教学过程 教师活动 学生活动
【第五环节】思维拓展提出问题：刚才我们研究的不管是同一种多边形的镶嵌还是组合图形的镶嵌，都是一些规则的图形，那么对于不规则的图形，是否也能进行平面镶嵌呢？教师出示课本P154议一议中图3的两个图案，引导学生说出镶嵌方法。教师出示：如图，在一个正方形的内部按图示1的方式减去一个图形，并平移，形成如图2所示的新图案。以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？教师出示课本P154议一议中图4的两个“类平行四边形“图案，引导学生说出镶嵌方法。教师引导学生总结通过刚才的三组图形得到的结论。【设计意图】从规则图形到不规则图形，为学生提供一种设计镶嵌基本图案的方法。【第六环节】作业布置我校新校建设正在如火如荼的进行之中，请根据今天所学习的镶嵌的知识，为我校新校设计一种教室地面的镶嵌方案，要求用三种正多边形组合进行设计。你有多少种设计方案？ 学生思考教师提出的问题，先作出基本的猜想。学生观察图案，说出镶嵌方法，并初步感知：一个能够镶嵌的图形分割成几个图形，经组合后仍可进行平面镶嵌。学生观察图案，说出镶嵌方法，并初步感知：如果一个图形通过平移可以镶嵌，那么将这个图形上的一部分切割下来并沿着平移方向将切割部分平移，与剩余部分进行适当的组合，这个组合图形仍可以镶嵌。学生观看学校新校建设现场图片，激发学生为新校建设运用数学知识解决问题的兴趣。
教学过程 教师活动 学生活动
【第七环节】感受数学美结束语：其实，镶嵌就在我们身边，它无时无刻不在装点着我们的生活。希望大家通过今天这节课的学习，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。在镶嵌的背后，还有更多的数学奥秘等待着我们去探索，去发现。观看镶嵌视频：伴随着我校悠扬动听的的葫芦丝旋律，让我们在欣赏一组镶嵌作品中结束今天的课程。【设计意图】为学生提供大量的丰富多彩的镶嵌图案，激发学生利用数学知识创造更多美丽的镶嵌图案。 观看视频，感受数学之美，感知丰富多彩的镶嵌世界。
教后反思 本节课的设计，我以我自己创作的《学生身边的数学和校园中的数学》的视频进行引入，同时以生活中常见的丰富多彩的镶嵌的视频作为结尾，让学生感知数学和我们的生活息息相关，数学就在我们身边，数学可以给我们带来美。在操作和研究环节，我设计了三个探究活动，分别是同种正多边形的镶嵌，任意多边形的镶嵌，边长相等的两种正多边形的镶嵌。设计时遵循学生的认知规律，先研究特殊的图形，再研究一般的图形；先研究单一的简单的图形，再研究组合的复杂的图形；先研究规则的图形，再研究不规则的图形，在这个过程中，让学生体会并经历“从特殊到一般”、“从简单到复杂”、“从规则到不规则”等数学学习的一般方法，同时在过程中渗透了方程思想和数形结合的思想，数学思想和方法贯穿本节课的始终。当然，通过实际的授课，本科还是存在很多需要重新思考和改进的地方：（1）学生活动时间充分、活动形式多样，活动进行的也比较顺利，但还对于部分学生而言还存在着“玩”的情况，对于这类学生来说活动的形式冲淡了活动的目的。 （2）教学语言不够精炼，重复性的话语虽然起到了重点知识重点强调的作用，但仍显冗长而罗嗦；而一些指向过于明确的细化问题在某种程度上限制学生的思维。
教后反思 （3）时间分配上存在着前松后紧的情况，概念处理显得过于拖沓，以至于后期的思考问题不够深入，这需要在活动设计和课堂节奏的调整上下功夫。（4）若能在活动的初始阶段把密铺所需要的“量”（顶点、边、角）都抓出来，给学生以具体呈现，本节课的学生活动会更具高度和思想性。（5）由于时间所限，本节课的研究仅限于多边形的顶点和顶点重合，相等的边重合的情况，在探究过程中，学生也出现了相等的边不重合的情况，可以借助拼图在黑板进行演示，让学生认同相等的边必须重合，否则不能进行连续的镶嵌。也可以借助于几何画板软件进行进一步的探究和尝试，但由于时间关系，利用几何画板的探究设想并没有进行。而对于其它形式基本没有涉足，这也容易造成学生思维的局限性，可以在教学中适当加以铺垫和解释。
鲁教版八年级数学上册综合与实践
《平面图形的镶嵌》探究报告
一、探究活动一：同种正多边形的镶嵌
问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正八边形，如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？
探究：请各小组合理分工，利用多边形模板动手操作验证，得出结论，小组合作完成导学案上的活动报告，并准备进行小组展示。
时间：5分钟
探究报告：
1.我们发现：这五种正多边形中， 能进行镶嵌， 不能进项镶嵌。
2.请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？
3.请结合拼图，具体说一下不能镶嵌的图形的原因？
4.根据以上探究，总结平面图形镶嵌的条件：
5.根据平面图形镶嵌的条件，总结正多边形能够镶嵌的条件：
6.你还能找到其他能够镶嵌的正多边形吗？你是怎么想的？
二、探究活动二：任意多边形的平面镶嵌
问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？
探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板动手操作验证，根据操作验证，小组合作完成导学案上的活动报告，并准备进行小组展示。
时间：5分钟
探究报告：
1.我们发现：任意的三角形和任意的四边形 (能或不能)进行镶嵌。
2.若它们能镶嵌，请具体说一下它们是如何镶嵌的？
三、探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌
问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形，正方形、正五边形，正六边形中的两种地砖进行卧室地面的装修，请你帮他们设计出能够利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。
探究：编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，不动手操作，利用其他方法来设计方案。
时间：5分钟
探究报告：
1.我们发现：以上四种图形进行两两组合，共有 种组合方案，其中能够镶嵌的有 共 种方案。
2.通过探究，请具体描述以上能够镶嵌的多边形组合是如何镶嵌的？
鲁 教 版 八 年 级 上 册
平面图形的镶嵌
《综合与实践》主题研究教学设计
课题名称 平面图形的镶嵌 年级 八年级 教材版本 鲁教版
设计者 单位
教学目标 1.经历平面图形镶嵌的探究过程，进一步发展探究意识，积累探究经验。2.认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的一种或几种图形进行平面图形镶嵌，了解构造基本镶嵌图案的一些方法。3.经历小组合作与交流的过程，通过观察、实验、归纳、推断等多种活动，进一步积累合作与交流的活动经验，增强合作意识，发展合作能力。4.通过图案设计活动，发展空间观念以及综合运用数学知识解决问题的能力，体会在数学学习过程中的数学思想和数学方法，明确数学知识源于生活又用于生活。
重点难点 重点：理解平面镶嵌的意义，能用边长相等的正多边形拼出各种平面镶嵌图形，理解平面镶嵌的数学原理。 难点：探索哪些边长相等的正多边形可用于平面镶嵌，如何进行平面镶嵌，以及平面镶嵌的数学原理。
教学过程 教师活动 学生活动
【课前准备】热身活动课前准备好若干常见的基本图形的纸板，正三角形12个，正方形4个，正五边形4个，正六边形4个，正八边形4个，一般的三角形6个，一般的四边形4个。安排学生复习回顾多边形内角和公式：（n-2）180°，能够根据公式计算出常见的正多边形每个内角的度数。【第一环节】课堂导入同学们，大家都知道，我们的数学都是来源于生活的，同时它反过来又为生活服务，只要大家做一个生活的有心人，处处观察我们生活的世界，你就会发现许许多多的数学奥秘。今天我们所要研究的《平面图形的镶嵌》，也和我 学生以小组为单位清点本节课所需的学具数量及类型。复习回顾多边形内角和公式：（n-2）180°，计算出常见的正多边形每个内角的度数。
教学过程 教师活动 学生活动
们的生活息息相关。这是我们的校园，大家都非常熟悉，如果你细心观察的话，你也会发现，这里面也隐藏着一个数学的奥秘。下面让我们跟随镜头，一起走进我们的校园，然后从数学的角度来思考，我们的校园里到底隐藏着一个怎样的数学奥秘呢？教师播放《关注身边的数学，发现数学中的美》的视频。【设计意图】通过让学生观看视频，让学生体会数学就在我们身边，渗透数学知识来源于生活，同时，让学生感受数学中的美。【第二环节】明晰概念提出问题：当你漫步在校园里的时候，你是否发现了这些地砖和墙砖的拼铺？实际上这种拼铺在我们生活当中也随处看见，请大家从数学的角度出发，进行思考，这些地砖，墙砖还有天花板，它们有什么样的共同特征？归纳概括：教师将同学所说的特征进行总结和概括，在此基础上明晰平面图形镶嵌的概念。解析概念：教师引导学生分析概念中的关键词。教师板书：关键词 无空隙，不重叠【设计意图】学生通过观察和思考，初步总结出平面图形镶嵌的定义，并掌握定义当中的关键词，为开展操作和探究活动做好准备。 学生观看视频，同时思考教师提出的问题。学生通过观看视频以及生活中的图片进行观察，分析和思考，在教师引导的基础上，总结这些拼铺的图案的共同特征。学生总结概念当中的关键词
教学过程 教师活动 学生活动
【第三环节】操作与探究1. 探究活动一：同种正多边形的镶嵌提出问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正八边形，如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？操作探究：请各小组合理分工，利用多边形模板动手操作验证，得出结论，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。活动时间：4分钟请某个小组将探究活动一的镶嵌图案在黑板进行展示。教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。（1）哪些正多边形可以镶嵌？哪些不能进行镶嵌？（2）请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？ 学生以小组为单位进行同一种正多边形平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出平面图形镶嵌的条件和正多边形平面镶嵌的条件。学生汇报：经过我们的操作，我们发现正三角形，正四边形和正六边形可以进行镶嵌，而正五边形和正八边形不能进行镶嵌。我们知道正三角形每个内角的度数为60度，在一个拼接点处，六个60度角可以组成一个周角，所以正三角形可以镶嵌，同样，正方形每个内角的度数为90度，在一个拼接点处，4个90度角可以组成一个周角，所以正方形可以镶嵌，正六边形每个内角为120度，在一个拼接点处3个120度角可以组成一个周角，所以正六边形可以镶嵌。
教学过程 教师活动 学生活动
（3）请结合你们的拼图 ，具体说一下正五边形和正八边形为什么不能进行镶嵌？（4）根据以上探究，你们能总结一下镶嵌的条件吗？那一个正多边形要能够进行平面镶嵌，它的内角要满足什么条件？【设计意图】通过提出现实问题，组织学生以小组为单位开展操作与探究，并通过实验探究报告引导，学生初步总结出平面图形镶嵌的条件以及正多边形镶嵌的条件。思考：通过刚才发现的规律，你还能再找到能够进行平面镶嵌的正多边形吗？说说你的想法。教师引导：能否用代数的方法解决刚才的问题？教师给学生提供一个思路。 我们发现，三个正五边形拼在一起有空白，而四个正五边形又会有重叠，所以正五边形不能进行镶嵌。同样，两个正八边形拼在一起有空白，而3个正八边形又会有重叠，所以正八边形也不能进行镶嵌。也就是说它们不能拼成360°。在一个拼接点处的角能构成360度；正多边形内角的度数能够被360度整除。学生以小组为单位进行交流，得出：如果正多边形能够镶嵌，根据刚才发现的规律，它内角的度数必须能够被360°整除，除了60°，90°和120°，能被360°整除的还有180°和360°，而多边形内角的度数不可能为180°和360°，所以不能再找到其他可以镶嵌的正多边形了。学生在教师提供的思路的基础上，通过列方程进行推导，从而验证只有正三角形，正方形，正六边形可以实现镶嵌。
教学过程 教师活动 学生活动
【设计意图】通过代数方法的解决，让学生体会数形结合以及方程思想在解决问题中的作用。总结探究活动一得出的结论刚才我们研究的这些图形都是正多边形，它们内角的度数都相等，边也相等，可以说是特殊的多边形，那么对于任意的多边形，是否也能够按照刚才的规律进行镶嵌呢？我们在研究问题时，很多时候是先研究特殊的情况，再研究一般的情况，这在数学上是一种从特殊到一般的数学方法。2. 探究活动二：任意多边形的平面镶嵌提出问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？操作探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板动手操作验证，根据操作验证，小组合作完成导学案上的探究报告，并准备进行小组展示。活动时间：4分钟某个小组将探究活动一的镶嵌图案在黑板进行展示。教师引导学生按照探究报告的问题进行汇报交流。 学生理解通过探究活动一得出的结论。学生以小组为单位进行任意多边形（三角形和四边形）平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出任意三角形和四边形能够进行平面镶嵌的条件。
教学过程 教师活动 学生活动
（1）任意三角形和四边形是否可以进行镶嵌？（2）具体说一下它们是如何镶嵌的？总结探究活动二得出的结论刚才研究的图形都是用同一种多边形，对于两种甚至三种多边形的组合，是否也有这样的规律呢？在数学学习过程中，我们往往先从简单的开始研究，再研究复杂的情况，这就是从简单到复杂的数学学习方法。3. 探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌。提出问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形，正方形、正五边形，正六边形中的两种地砖进行卧室地面的装修，请你帮他们设计出能够利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。操作探究：小组PK。编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，不动手操作，利用其他方法来设计方案。活动时间：5分钟奇数组代表汇报探究成果 我们发现任意的三角形和四边形都能镶嵌。以三角形为例，在每个拼接点处，有6个角，这六个角恰好是三角形的两组内角，两组内角和恰好组成360°。以四边形为例，在每个拼接点处，有4个角，这四个角恰好是四边形的四个内角，恰好组成360°。学生理解通过探究活动二得出的结论，进一步明确平面图形镶嵌的条件。学生以小组为单位进行边长相等的两种正多边形平面镶嵌实验的操作和探究，以小组为为单位完成探究报告，根据探究报告的问题引导进行小组交流合作，初步总结出两种平面图形镶嵌的条件。
教学过程 教师活动 学生活动
（1）哪些正多边形的组合可以进行平面镶嵌？（2）它们是如何镶嵌的？偶数组代表汇报通过方程思想探究得出的结果总结探究活动三得出的结论【设计意图】通过分组探究，让学生用不同的方法解决问题，体会数学学习方法的多样性。【第四环节】总计与归纳通过探究活动一到探究活动三，总结归纳多边形可以镶嵌的条件。 以上四种图形进行两两组合，共有6种组合方案，其中能够镶的有两种方案。 三个正三角形和两个正方形可以进行镶嵌，在一个拼接点处，有3个60度角，2个90度角，它们的和恰好为360度；两个正三角形和两个正六边形或者一个四个正三角形和一个正六边形也能够进行镶嵌。解：设在一个拼接点处有 m 个正三角形, n个正方形，则有60m+90n=360整理得：2m+3n=12∵ m,n为正整数∴方程的解为∴ 3个正三角形和2个正方形可以进行组合镶嵌。学生理解通过探究活动三得出的结论。 学生通过探究活动，从角和边两个角度归纳多边形平面镶嵌的条件：1.每个拼接点处内角的和构成360°2.相等的边重合。
教学过程 教师活动 学生活动
【第五环节】思维拓展提出问题：刚才我们研究的不管是同一种多边形的镶嵌还是组合图形的镶嵌，都是一些规则的图形，那么对于不规则的图形，是否也能进行平面镶嵌呢？教师出示课本P154议一议中图3的两个图案，引导学生说出镶嵌方法。教师出示：如图，在一个正方形的内部按图示1的方式减去一个图形，并平移，形成如图2所示的新图案。以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？教师出示课本P154议一议中图4的两个“类平行四边形“图案，引导学生说出镶嵌方法。教师引导学生总结通过刚才的三组图形得到的结论。【设计意图】从规则图形到不规则图形，为学生提供一种设计镶嵌基本图案的方法。【第六环节】作业布置我校新校建设正在如火如荼的进行之中，请根据今天所学习的镶嵌的知识，为我校新校设计一种教室地面的镶嵌方案，要求用三种正多边形组合进行设计。你有多少种设计方案？ 学生思考教师提出的问题，先作出基本的猜想。学生观察图案，说出镶嵌方法，并初步感知：一个能够镶嵌的图形分割成几个图形，经组合后仍可进行平面镶嵌。学生观察图案，说出镶嵌方法，并初步感知：如果一个图形通过平移可以镶嵌，那么将这个图形上的一部分切割下来并沿着平移方向将切割部分平移，与剩余部分进行适当的组合，这个组合图形仍可以镶嵌。学生观看学校新校建设现场图片，激发学生为新校建设运用数学知识解决问题的兴趣。
教学过程 教师活动 学生活动
【第七环节】感受数学美结束语：其实，镶嵌就在我们身边，它无时无刻不在装点着我们的生活。希望大家通过今天这节课的学习，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。在镶嵌的背后，还有更多的数学奥秘等待着我们去探索，去发现。观看镶嵌视频：伴随着我校悠扬动听的的葫芦丝旋律，让我们在欣赏一组镶嵌作品中结束今天的课程。【设计意图】为学生提供大量的丰富多彩的镶嵌图案，激发学生利用数学知识创造更多美丽的镶嵌图案。 观看视频，感受数学之美，感知丰富多彩的镶嵌世界。
教后反思 本节课的设计，我以我自己创作的《学生身边的数学和校园中的数学》的视频进行引入，同时以生活中常见的丰富多彩的镶嵌的视频作为结尾，让学生感知数学和我们的生活息息相关，数学就在我们身边，数学可以给我们带来美。在操作和研究环节，我设计了三个探究活动，分别是同种正多边形的镶嵌，任意多边形的镶嵌，边长相等的两种正多边形的镶嵌。设计时遵循学生的认知规律，先研究特殊的图形，再研究一般的图形；先研究单一的简单的图形，再研究组合的复杂的图形；先研究规则的图形，再研究不规则的图形，在这个过程中，让学生体会并经历“从特殊到一般”、“从简单到复杂”、“从规则到不规则”等数学学习的一般方法，同时在过程中渗透了方程思想和数形结合的思想，数学思想和方法贯穿本节课的始终。当然，通过实际的授课，本科还是存在很多需要重新思考和改进的地方：（1）学生活动时间充分、活动形式多样，活动进行的也比较顺利，但还对于部分学生而言还存在着“玩”的情况，对于这类学生来说活动的形式冲淡了活动的目的。 （2）教学语言不够精炼，重复性的话语虽然起到了重点知识重点强调的作用，但仍显冗长而罗嗦；而一些指向过于明确的细化问题在某种程度上限制学生的思维。
教后反思 （3）时间分配上存在着前松后紧的情况，概念处理显得过于拖沓，以至于后期的思考问题不够深入，这需要在活动设计和课堂节奏的调整上下功夫。（4）若能在活动的初始阶段把密铺所需要的“量”（顶点、边、角）都抓出来，给学生以具体呈现，本节课的学生活动会更具高度和思想性。（5）由于时间所限，本节课的研究仅限于多边形的顶点和顶点重合，相等的边重合的情况，在探究过程中，学生也出现了相等的边不重合的情况，可以借助拼图在黑板进行演示，让学生认同相等的边必须重合，否则不能进行连续的镶嵌。也可以借助于几何画板软件进行进一步的探究和尝试，但由于时间关系，利用几何画板的探究设想并没有进行。而对于其它形式基本没有涉足，这也容易造成学生思维的局限性，可以在教学中适当加以铺垫和解释。
鲁教版八年级数学上册综合与实践
《平面图形的镶嵌》探究报告
一、探究活动一：同种正多边形的镶嵌
问题：小明家的新房进行地面装修，他的父母在某建材市场选购材料的过程中看到如下几种形状的地砖：正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正八边形，如果只选择一种进行地面装修，哪几种可供选择？
探究：请各小组合理分工，利用多边形模板动手操作验证，得出结论，小组合作完成导学案上的活动报告，并准备进行小组展示。
时间：5分钟
探究报告：
1.我们发现：这五种正多边形中， 能进行镶嵌， 不能进项镶嵌。
2.请结合拼图，具体说一下能够镶嵌的图形是如何镶嵌的？
3.请结合拼图，具体说一下不能镶嵌的图形的原因？
4.根据以上探究，总结平面图形镶嵌的条件：
5.根据平面图形镶嵌的条件，总结正多边形能够镶嵌的条件：
6.你还能找到其他能够镶嵌的正多边形吗？你是怎么想的？
二、探究活动二：任意多边形的平面镶嵌
问题：小明的爸爸在装修过程中用一些边角余料切割成一些形状、大小完全相同的任意三角形，他用这些三角形能进行地面镶嵌吗？任意的四边形呢？
探究：请各小组合理分工，利用任意三角形和任意四边形模板动手操作验证，根据操作验证，小组合作完成导学案上的活动报告，并准备进行小组展示。
时间：5分钟
探究报告：
1.我们发现：任意的三角形和任意的四边形 (能或不能)进行镶嵌。
2.若它们能镶嵌，请具体说一下它们是如何镶嵌的？
三、探究活动三：边长相等的两种正多边形的组合镶嵌
问题：小明的父母想用刚才边长相等的正三角形，正方形、正五边形，正六边形中的两种地砖进行卧室地面的装修，请你帮他们设计出能够利用两种地砖进行组合镶嵌的方案。
探究：编号为奇数的小组利用动手操作来设计方案，编号为偶数的小组利用探究活动一和探究活动二发现的规律，不动手操作，利用其他方法来设计方案。
时间：5分钟
探究报告：
1.我们发现：以上四种图形进行两两组合，共有 种组合方案，其中能够镶嵌的有 共 种方案。
2.通过探究，请具体描述以上能够镶嵌的多边形组合是如何镶嵌的？