(共53张PPT)
第三章
解一元一次方程（二）
复习提问：
1．解一元一次方程时，最终结果一般是化为哪种形式？
2．我们学了哪几种一元一次方程的解法？
3．移项，合并同类项，系数化为1，要注意什么？
复习提问：
4．一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．
（1）题目中的等量关系是______________；
（2）根据题意可列方程为______________．
你能解这个方程吗？
1. 解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后利用移项、合并同类项解方程.
2. 去括号解一元一次方程的步骤：
（1）去括号（按照去括号法则去括号）；
（2）移项；
（3）合并同类项；
（4）将未知数的系数化为1.
知识点一: 解一元一次方程——去括号
3. 解方程中去括号的顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号.
注意：
（1）去括号的目的是能利用移项解方程，其实质是乘法分配律.
（2）解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同.
解：去括号，得5x－40－5＝0.
移项，得5x＝40＋5.
合并同类项，得5x＝45.
系数化为1，得 x＝9.
解：去括号，得12－3x＋5＝7－5x.
移项，得－3x＋5x＝7－12－5.
合并同类项，得2x＝－10.
系数化为1，得x＝－5.
解：去括号，得4x＋8x－6＝2－3x－3.
移项，得4x＋8x＋3x＝2－3＋6.
合并同类项，得15x＝5.
系数化为1，得 .
解：去括号，得3x－9－10x＋14＝6－6x.
移项，得3x－10x＋6x＝6＋9－14.
合并同类项，得－x＝1.
系数化为1，得x＝－1.
【巩固】
B
【巩固】
解：去括号，得12x－9＝2x－2.
移项，得12x－2x＝－2＋9.
合并同类项，得10x＝7.
系数化为1，得 .
【巩固】
【巩固】
【巩固】
解：去括号，得15－10x－60＋24x＝－17.
移项，得－10x＋24x＝－17－15＋60.
合并同类项，得14x＝28.
系数化为1，得x＝2.
1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫做去分母.
2. 解一元一次方程的步骤
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
知识点二: 解方程——去分母
变形名称 具体做法 变形依据 注意事项
去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数. 当分母是小数时，要利用分数的基本性质把小数化为整数 等式的性质2 不要漏乘不含分母的项；分子是一个多项式，去分母后加上括号.
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律，去括号法则 不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号
移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则（等式的性质1） 移项要变号，不移项不要变号
变形名称 具体做法 变形依据 注意事项
合并同类项 把方程化为ax＝b（其中a≠0）的形式 合并同类项法则 系数相加；
字母及指数不变.
系数化为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为 （a≠0） 等式的性质2 （1）除数不为0；
（2）不要把分子分母颠倒.
解：去分母，得3（x＋2）＝2（2x＋3）.
去括号，得3x＋6＝4x＋6.
移项，得3x－4x＝6－6.
合并同类项，得－x＝0.
系数化为1，得 x＝0.
解：去分母，得4（2x－5）－3（3x－17）＝－6（1－5x）.
去括号，得8x－20－9x＋51＝－6＋30x.
移项，得8x－9x－30x＝－6＋20－51.
合并同类项，得－31x＝－37.
解：去分母，得 4（x＋5）＋48＝6（x＋3）－2（5x－2）.
去括号，得 4x＋20＋48＝6x＋18－10x＋4.
移项，得 4x－6x＋10x＝18＋4－20－48.
合并同类项，得 8x＝－46.
当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数化为整数. 在转化某一项时与其它项无关.
去分母，得6x－2（x－1）＝12x－4.
去括号，得6x－2x＋2＝12x－4.
移项，得6x－2x－12x＝－4－2.
合并同类项，得－8x＝－6.
系数化为1，得 .
去分母与分数的基本性质的区别：
去分母是把方程中的每一项都乘各分母的最小公倍数，与方程中的每一项都有关，而分数的基本性质只是对方程中的某一个分数变形，与其他项无关.
【巩固】
【巩固】
解：去分母，得
3（x＋1）＋2（2x－7）＝－3（1－3x）.
去括号，得3x＋3＋4x－14＝－3＋9x.
移项，得3x＋4x－9x＝－3－3＋14.
合并同类项，得－2x＝8.
系数化为1，得x＝－4.
【巩固】
解：去分母，得2（x＋2）－3（x－1）＝6.
去括号，得2x＋4－3x＋3＝6.
移项，得2x－3x＝6－4－3.
合并同类项，得－x＝－1.
系数化为1，得x＝1.
【巩固】
【巩固】
【巩固】
方法一：先逐层去分母，使分数运算变成整数运算，再求解；
方法二：先直接去括号，再去分母，最后求解.
【巩固】
分式的基本性质
等式的性质2
去括号法则
移项
等式的性质1
【巩固】
系数化为1
等式的性质2
【巩固】
两个方程，一个含参数 a，另一个不含参数，先解不含参数的方程.
去分母，得2（1－2x）＋3（2x＋1）＝12－4（x＋1）.
去括号，得2－4x＋6x＋3＝12－4x－4.
移项，得－4x＋6x＋4x＝12－4－2－3.
合并同类项，得6x＝3.
【巩固】
【巩固】
2. 如果两个方程的解相同，则这两个方程称为同解方程. 若方程－3（－2x＋2）＝2－3x 与关于 x 的方程 2（3－k）＝－2（－x－3）是同解方程.
【巩固】
x＝2 是方程 2x－1＝x＋a－2 的解，把 x＝2 代入求得 a 的值．再把 a 的值代入原方程，求出原方程正确的解．
解：根据该同学的做法，去分母，
得 2x－1＝x＋a－2，
把 x＝2 代入，得 a＝3.
把 a＝3 代入原方程，
【巩固】
【巩固】
1. 列一元一次方程的关键——分析数量关系
2. 列一元一次方程解应用题的步骤
（1）审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系；
（2）设；设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）；
（3）列：根据题目中的相等关系列出方程；
（4）解：解所列出的方程，求出未知数的值；
（5）检：检验所求解是否符合所列方程，是否符合题意；
（6）答：写出答案.
知识点三:列简单的一元一次方程解应用题
【例6】《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.
【巩固】
1. 已知花花的妈妈和花花今年共36岁，再过5年，花花妈妈的年龄是花花年龄的4倍还大1岁，当花花的妈妈40岁时，花花的年龄为多少岁？
解：设今年花花的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36－x）岁.
根据题意得：36－x＋5＝4(x＋5)＋1.
解得x＝4.
∴妈妈比花花大：36－4－4＝28（岁）.
∴40－28＝12（岁）.
答：当花花的妈妈40岁时，花花的年龄为12岁.
【巩固】
2. （丢番图的墓志铭）丢番图是古希腊亚历山大时期的数学家，在他的墓碑上刻着这样一段墓志铭：过路人！这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须；又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半；儿子死后，老人再活了四年就结束了余生. 根据这个墓志铭，请计算出丢番图的寿命.
课堂总结
1. 解一元一次方程的步骤
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
课堂总结
2. 列一元一次方程的关键——分析数量关系
3. 列一元一次方程解应用题的步骤
（1）审；
（2）设；
（3）列；
（4）解；
（5）检；
（6）答.(共36张PPT)
第三章
解一元一次方程（一）
1. 概念
含有未知数的等式叫做方程.
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 方程的解与解方程
使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 求方程的解的过程叫做解方程.
知识点一:方程与一元一次方程
【例1】下列各式是一元一次方程的有( )
① ； ② 3x－2； ③ ；
④ 1－7y2＝2y； ⑤ x=1； ⑥ ；
⑦ 4(t－1)＝2(3t＋1)； ⑧ 3(x－1)－3＝3x－6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
一元一次方程的特点：
①只含有一个未知数（元）；
②所含未知数的次数都是1；
③等号两边都是整式.
判断一个方程是否为一元一次方程，要先将整式方程化简整理，再按一元一次方程的概念去判断.
【例1】下列各式是一元一次方程的有( )
① ； ② 3x－2； ③ ；
④ 1－7y2＝2y； ⑤ x=1； ⑥ ；
⑦ 4(t－1)＝2(3t＋1)； ⑧ 3(x－1)－3＝3x－6．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√
×
×
×
√
×
√
×
不是等式
两个未知数
y的最高次数为2
不是整式
化简：-6=-6
C
【巩固】
D
【巩固】
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么 ；
如果a＝b（ ），那么 .
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a＝b，那么 .
知识点二: 等式的性质
x＝－2y
x＝－3
3x＝12
B
【巩固】
B
【巩固】
C
运用等式的性质，将方程变形为 x＝a 的形式.
【巩固】
解：两边减6，得
x＋6－6＝8－6（等式性质1）.
于是x＝2.
【巩固】
解：a＞b. 理由如下：
根据等式的性质1，两边同时加3，得2a＝2b＋4.
根据等式的性质1，两边同时减2b，得2a－2b＝4.
根据等式的性质2，两边同时除以2，得a－b＝2.
因为a与b的差为正数，所以a＞b.
知识点三
利用合并同类项解一元一次方程
合并同类项解方程的方法与步骤：
（1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并；
（2）系数化为1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.
【巩固】
D
【巩固】
解：合并同类项，得－0.1x＝0.6；
系数化为1，得x＝－6.
1. 移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 移项必须变号.
2. 移项的依据
移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边.
知识点四: 利用移项解一元一次方程
3. 解简单的一元一次方程的步骤
（1）移项：把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
（2）合并同类项：把方程变形为 ax＝b（a，b 为常数，且a≠0）的形式；
（3）系数化为1：得到方程的解 .
移项→合并同类项→系数化为1
移项→合并同类项→系数化为1
【巩固】
D
【巩固】
【巩固】
解：根据题意列方程，得 3x＋2＝2x－1.
移项，得 3x－2x＝－1－2.
合并同类项，得 x＝－3.
解：根据题意列方程，得－6y＝y＋6.
移项，得－6y－y＝6.
合并同类项，得－7y＝6.
系数化为1，得 .
【巩固】
解：根据题意列方程，得5x＋2＝x－3.
移项，得5x－x＝－3－2.
合并同类项，得4x＝－5.
系数化为1，得 .
【巩固】
解：根据题意列方程，得－3y＝y－9.
移项，得－3y－y＝－9.
合并同类项，得－4y＝－9.
系数化为1，得 .
【巩固】
解：解方程x＝2x－3m得x＝3m. 解方程4x－2m＝3x＋1得x＝1＋2m. 由题意得，1＋2m＝2×3m. 解得 .
【课堂总结】
1. 方程与一元一次方程的概念
含有未知数的等式叫做方程.
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
2. 方程的解与解方程
使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 求方程的解的过程叫做解方程.
3. 等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
4. 利用合并同类项和移项解一元一次方程
（1）移项：把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
（2）合并同类项：把方程变形为ax＝b（a，b为常数，且a≠0）的形式；(共55张PPT)
第三章
列方程解应用题（二）
【例1】 某市电力部门对居民用电按月收费，标准如下：
①用电不超过100度，每度收费0.5元；
②用电超过100度，超过部分每度收费0.8元 .
（1）小明家1月份用电130度，应缴电费_______元；
（2）小明家2月份缴电费90元，则他家2月份用电多少度？
根据分段计费规则，应缴电费
100×0.5＋0.8×（130－100）＝74（元）
74
知识点一：计费问题
【例1】 某市电力部门对居民用电按月收费，标准如下：
①用电不超过100度，每度收费0.5元；
②用电超过100度，超过部分每度收费0.8元。
（1）小明家1月份用电130度，应缴电费_______元；
（2）小明家2月份缴电费90元，则他家2月份用电多少度？
解：设小明家2月份用电 x 度，依题意，得
100×0.5＋0.8×（ x －100）＝90，
解得 x ＝150
答：他家2月份用电150度.
74
水费、电费计费问题是分段收费问题，若已知用水（电）量求水（电）费，按每段的价格进行计算；
若已知水（电）费求用水（电）量，必须先分析用水（电）量所在的范围.
【巩固】
1. 有一位旅客带了30 kg行李从北京到广州，他所乘坐的航班公司规定，旅客最多可免费携带20 kg行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，已知该旅客购买的行李票为180元，则他的飞机票价为（ ）
A. 800元
B. 1000元
C. 1200元
D. 1400元
C
【巩固】
2. 电动出租车以绿色环保收到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便. 下表是行驶15千米以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：
【巩固】
老张每天从家去单位打出租车上下班（路程在15千米以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比普通燃油出租车平均每天节省13.6元，求老张家到单位的路程是多少千米.
【巩固】
3. 某市已经全面实行了居民新型合作医疗保险制度，享受医保的居民可在规定的医院就医，并按规定标准报销部分医疗费用，下表是医疗费用报销的标准：
【巩固】
若家住幸福社区的王爷爷在一次住院中个人自付了住院费5000元（自付医疗费＝实际医疗费－按标准报销的金额），则他在这一次住院中的实际医疗费用为多少元？
解：设他在这一次住院中的实际医疗费用为x元.
因为5000×0.3＋（10000－5000）×0.2＝1500＋1000＝2500（元）＜5000元
所以他在这一次住院中的实际医疗费用必超过10000元，则
2500＋（1－90%）（x－10000）＝5000
解得x＝35000
答：他在这一次住院中的实际医疗费用为35000元.
【例2】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润增加到7500元. 当地一家公司收获这种蔬菜140 t，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 t；如果进行精加工，每天可加工6 t，但两种加工方式不能同时进行. 受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部加工或销售完毕. 为此公司研究了三种不同的方案：
知识点二：方案问题
方案一：将蔬菜全部粗加工；
方案二：尽可能进行精加工，没来得及进行加工的在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余进行粗加工，恰好15天完成.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
先分别计算出三种方案的获利，再比较
解：选择方案三获利最多，理由如下：
方案一可获利润
140×4500＝630000（元）
方案二可获利润
15×6×7500＋（140－15×6）×1000＝725000（元）
方案三：设精加工 x 天，则粗加工（15－ x ）天.
依题意，得6 x ＋16（15－ x ）＝140
解得 x ＝10
所以粗加工15－10＝5（天）
故方案三可获利润
10×6×7500＋5×16×4500＝810000（元）
因为630000＜725000＜810000，
所以选择方案三获利最多.
【巩固】
1. 某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及价格如下表：
【巩固】
（1）若400元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10件，则分别购买多少件？
（2）400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？若能，写出购买方案即可；若不能，请说明理由.
解：（1）设购买篮球x个，则购买羽毛球拍（10－x）副.
50x＋25（10－x）＝400
解得x＝6
所以10－x＝4
答：购买篮球6个，羽毛球4副.
（2）能实现. 购买篮球3个，排球5个，羽毛球拍2副.
【巩固】
2. 某牛奶加工厂现有鲜奶9 t，若在市场上直接销售，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元，该工厂如果制成酸奶，每天可加工3 t；制成奶片，每天可加工1 t，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此，该工厂设计了两种可行方案：
【巩固】
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售；
请问选择哪种方案获利更多？
解：选择方案2获利更多，理由如下：
方案1可获利润为
1×4×2000＋（9－1×4）×500＝10500（元）
方案2：设制作奶片x天，则制作酸奶（4－x）天.
依题意，得x＋3（4－x）＝9
解得x＝1.5
所以制作酸奶4－x＝2.5（天）
故方案2可获利润为
1×1.5×2000＋3×2.5×1200＝12000（元）
因为10500＜12000，
所以选择方案2获利更多.
【例3】某地上网有如下两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：1元/时，B包月制：80元/月. 此外每一种上网方式都加收通讯费0.1元/时.
（1）某用户每月上网40 h，选择哪种上网方式比较合算？
（2）某用户每月有100元用于上网，选择哪种上网方式比较合算？
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
【例3】某地上网有如下两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：1元/时，B包月制：80元/月. 此外每一种上网方式都加收通讯费0.1元/时.
（1）某用户每月上网40 h，选择哪种上网方式比较合算？
分别计算出每月上网40 h时，A、B两种收费方式的费用，再比较即可；
【答案】
解：（1）若用户每月上网40 h，则选择A方式需支付
40×（1＋0.1）＝44（元）
选择A方式需支付
80＋40×0.1＝84（元）
44＜84
答：选择A方式比较合算.
（2）某用户每月有100元用于上网，选择哪种上网方式比较合算？
列方程求出A、B两种计费方式对应的上网时长，再比较即可；
【答案】
解：（2）设用户选择A方式用100元可以上网 x h，选择B方式用100元可以上网 y h.
由题意，得（1＋0.1）x＝100
80＋0.1y＝100
解得 x＝ ，y＝200
＜200
答：选择B方式较合算.
设当每月上网m h时，两种方式的消费额相等，列出方程，求出m＝80，即可得出方案.
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.
【答案】
解：（3）设当每月上网m h时，两种方式的消费额相等.
由题意，得
（1＋0.1）m＝80＋0.1m
解得m＝80
答：当每月上网不足80 h时，选择A方式比较合算；当每月上网80 h时，两种方式的消费额相等，选择A，B方式均可；当每月上网超过80 h时，选择B方式比较合算.
【总结】
无论是直接给出几种可行方案，还是通过分析给出可选择方案，都可以把实际问题转化为数学问题，通过解方程找出相对应的未知数的值，根据未知数的值及已知量之间的数量关系进行分析，最终得出可行性方案.
若要设计方案使用户能合理地选择收费方式，则需先求出两种方式费用相同时对应的数量，然后以此为分界点分类选择合理的方案.
【巩固】
1. 某班打算购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店都出售某品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈，在甲店购买一副球拍赠一盒乒乓球，在乙店购买全部按定价的9折优惠. 该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）.
（1）当购买乒乓球多少盒时，在两家商店付款一样？
解：（1）设当购买乒乓球x盒时，在两家商店付款一样. 依题意，得
5×30＋5（x－5）＝0.9（5×30＋5x）
解得x＝20
所以，当购买乒乓球20盒时，在两家商店付款一样.
【巩固】
（2）当购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
（2）当购买15盒我打算去甲商店购买，当购买30盒我打算去乙商店购买，理由如下：
当购买15盒乒乓球时，去甲商店购买需付款
5×30＋5×（15－5）＝200（元）
去乙商店购买需付款
0.9×（5×30＋5×15）＝202.5（元）
因为200＜202.5
所以，购买15盒乒乓球时，去甲商店划算
当购买30盒乒乓球时，去甲商店购买需付款
5×30＋5×（30－5）＝275（元）
去乙商店购买需付款
0.9×（5×30＋5×30）＝270（元）
因为270＜275
所以，购买30盒乒乓球时，去乙商店划算.
【巩固】
2. 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠，已知小敏5月1日前不是该商店的会员.
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元，实际应支付多少元？
解：（1）实际应支付120×0.95＝114（元）
【巩固】
（2）请问所购买商品的价格是多少元时，两种方案的优惠情况相同？
（3）你认为哪种方案更合算（直接写出答案）？
（2）设所购买商品的价格是x元时，两种方案的优惠情况相同，依题意，得
168＋0.8x＝0.95x
解得x＝1120
所以当所购买商品的价格是1120元时，两种方案的优惠情况相同.
（3）当所购买商品的价格大于1120元时，方案一合算，当所购买商品的价格等于1120元时，方案一与方案二一样合算，当所购买商品的价格小于1120元时，方案二合算.
【例4】甲、乙两站相距480 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶90 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶140 km.
（1）若慢车先开出1 h后，快车再开出，两车相向而行. 快车开出多少小时后两车相遇？
（2）若两车同时开出，且同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（3）若慢车先开出1 h，快车再开，两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出多少小时后追上慢车？
知识点三：行程问题
【例4】甲、乙两站相距480 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶90 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶140 km.
（1）若慢车先开出1 h后，快车再开出，两车相向而行. 快车开出多少小时后两车相遇？
相遇问题，设快车开出 x 小时后两车相遇，根据相等关系“快车路程＋慢车路程＝甲乙的距离”列出方程，并解答.
【答案】
解：（1）快车开出 x 小时后两车相遇.
依题意，得
140x＋90（x＋1）＝480
解得x＝
答：快车开出 小时后两车相遇.
追及问题，设快车开出x小时后追上慢车，根据相等关系“快车路程－慢车路程＝甲乙的距离”列出方程，并解答.
（2）若两车同时开出，且同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
【答案】
解：（2）设 x h后快车追上慢车.
依题意，得
140x－90x＝480
解得x＝9.6
答：9.6 h后快车追上慢车.
追及问题，设快车开出 x 小时后追上慢车，根据相等关系“快车路程－慢车路程＝甲乙的距离”列出方程，并解答.
（3）若慢车先开出1 h，快车再开，两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出多少小时后追上慢车？
【答案】
解：（3）设快车开出 x h后追上慢车.
依题意，得
140x－90（x＋1）＝480
解得x＝11.4
答：设快车开出11.4 h后追上慢车.
【巩固】
1. 甲、乙两站间的路程为480 km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72 km.
（1）两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？
（2）快车先开25 min，两车相向而行，慢车行驶了多少小时后两车相遇？
解：（1）设x小时后相遇，
依题意，得48x＋72x＝480
解得x＝4
答：4小时后相遇.
【巩固】
2. 小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000 m的学校上学. 一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书. 于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距学校还有多远？
解：（1）设爸爸追上小明用了x min.
依题意，得 180x＝80x＋80×5
解得 x＝4
答：爸爸追上小明用了4 min.
（2）180×4＝720（m）
1000－720＝280（m）
答：追上小明时，距学校还有280 m.
【例5】甲、乙两人在300米的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是7米/秒.
（1）如果甲、乙两人同地背向跑，乙先跑2秒，那么再经过多少秒两人相遇？
（2）如果甲、乙两人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲？
（3）如果甲、乙两人同时同向跑，乙在甲前面6米，经过多少秒后两人第二次相遇？
本题是环形跑道行程问题，先设出未知数，根据路程之间的关系列方程.
【例5】甲、乙两人在300米的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是7米/秒.
（1）如果甲、乙两人同地背向跑，乙先跑2秒，那么再经过多少秒两人相遇？
相遇问题，等量关系是甲跑的路程＋乙跑的路程＝300米.
【答案】
解：（1）设再经过x秒两人相遇.
依题意，得 7×2＋7x＋6x＝300
解得x＝22
答：再经过22秒两人相遇.
（2）如果甲、乙两人同时同地同向跑，乙跑几圈后能首次追上甲？
追及问题，乙的速度大于甲的速度，在环形跑道上首次追上甲，说明乙比甲多跑了一圈，等量关系是乙的路程－甲的路程＝300米，问的是乙跑几圈后能首次追上甲，可以先求出乙的时间，再计算出圈数.
【答案】
解：（2）设经过 y 秒，乙能首次追上甲.
依题意，得 7y－6y＝300
解得 y＝300
300×7÷300＝7（圈）
答：乙跑7圈后能首次追上甲.
（3）如果甲、乙两人同时同向跑，乙在甲前面6米，经过多少秒后两人第二次相遇？
问的是何时两人第二次相遇，实际上也是追及问题，可依照第（2）题的解法.
【答案】
解：（3）设经过t秒后两人第二次相遇.
依题意，得 7t－6t＝300×2－6
解得 t＝594
答：经过594秒后两人第二次相遇.
【巩固】
1. 甲、乙两人环湖散步，环湖一周是400 m，甲每分钟走80 m，乙的速度是甲的速度的 . 甲、乙两人同时同地同向而行，经过多长时间后两人再次相遇？
【巩固】
2. 小明和他的哥哥早晨起来沿长为 400 m 的环形跑道练习跑步，小明跑 2 圈用的时间和他的哥哥跑3圈用的时间相等，两人同时同地同向出发，结果经过 2 min 40 s他们第一次相遇，若两人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？
解：设小明的速度为x m/秒，则他的哥哥的速度为 x m/s.
依题意，得 160x＝160× x－400
解得 x＝5
则小明的哥哥的速度为 5× ＝7.5（m/s）
设经过y s他们第一次相遇.
依题意，得 （5＋7.5）y＝400
解得 y＝32
答：经过32 s他们第一次相遇.
【例6】一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航行需8 h，逆水航行需12 h. 已知该船在静水中的航行速度为20 km/h，求A，B两个码头之间的距离.
流水行船问题：
顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速－水速.
等量关系：顺水路程＝逆水路程
【例6】一艘轮船在A，B两个码头之间航行，顺水航行需8 h，逆水航行需12 h. 已知该船在静水中的航行速度为20 km/h，求A，B两个码头之间的距离.
【答案】
解：设水速为 x km/h.
依题意，得 8（20＋x）＝12（20－x）
解得 x＝4
所以两个码头之间的距离为
（20＋4）×8＝192（km）
答：A，B两个码头之间的距离192 km.
【巩固】
1. 一架飞机飞行在两城市之间，顺风需要2 h 45 min，逆风需要3 h，已知风速是20 km/h，求两城市之间的距离.
解：设飞机在无风的条件下的速度为x km/h.
2时45分＝2.75时
依题意，得 （x＋20）×2.75＝（x－20）×3
解得 x＝460
所以两城市之间的距离为 （460－20）×3＝1320（km）
答：两城市之间的距离为1320 km.
【巩固】
2. 某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7 h，已知此船在静水中的速度为8 km/h，水流速度为2 km/h. A、C两地之间的路程为10 km，求A、B两地之间的路程.
解：设这艘船从A地顺流而下到达B地用了x h，则从B地逆流返回到C地用了（7－x）h.
依题意，得 （8＋2）x－（8－2）（7－x）＝10
解得 x＝3.25
所A、B两地之间的路程为：（8＋2）×3.25＝32.5（km）
答：A、B两地之间的路程为32.5 km.
【课堂总结】
1. 计费问题
水费、电费计费问题是分段收费问题，若已知用水（电）量求水（电）费，按每段的价格进行计算；
若已知水（电）费求用水（电）量，必须先分析用水（电）量所在的范围.
2. 方案问题
（1）无论是直接给出几种可行方案，还是通过分析给出可选择方案，都可以把实际问题转化为数学问题，通过解方程找出相对应的未知数的值，根据未知数的值及已知量之间的数量关系进行分析，最终得出可行性方案.
（2）若要设计方案使用户能合理地选择收费方式，则需先求出两种方式费用相同时对应的数量，然后以此为分界点分类选择合理的方案.
3. 行程问题
根据题意设速度或时间为 x，根据路程之间的关系列方程求解.
（1）相遇问题，等量关系通常为：
快车路程＋慢车路程＝总路程；
追及问题，等量关系通常为：
快车路程－慢车路程＝路程差.
（2）环形跑道（同时同地）的行程问题中的等量关系：
①同向追上：路程差＝跑道周长；
②反向相遇：路程和＝跑道周长；
（3）流水行船问题：
顺水速度＝船速＋水速
逆水速度＝船速－水速.(共40张PPT)
第三章
列方程解应用题（一）
1.生产配套问题中的基本相等关系
加工（或生产）的零件、配件的总数量比等于一套组合件中零件、配件的数量比.
2.调配问题中的基本相等关系
调配问题中，若从一处调到另一处，则一处减，另一处加，且量相同；若另外从其他地方调入，则两处都加，且两处加的总数等于调入总数.
知识点一：配套问题
【例1】某车间共90名工人，每名工人平均每天加工甲种部件15个或乙种部件8个，且每3个甲种部件和2个乙种部件刚好配套. 问应安排加工甲种部件和乙种部件各多少人，才能在每天加工结束后使所有部件刚好配套？
根据“加工（或生产）的零件、配件的总数量比等于一套组合
件中零件、配件的数量比”列出比例式，然后根据两内项之积
等于两外项之积列出方程.
【例1】某车间共90名工人，每名工人平均每天加工甲种部件15个或乙种部件8个，且每3个甲种部件和2个乙种部件刚好配套. 问应安排加工甲种部件和乙种部件各多少人，才能在每天加工结束后使所有部件刚好配套？
（1）加工甲种部件的人数＋加工乙种部件的人数＝90；
（2）2×甲种部件数＝3×乙种部件数.
解：设安排 x 人加工甲种部件，则有（90－x）人加工乙种部件，
【例1】某车间共90名工人，每名工人平均每天加工甲种部件15个或乙种部件8个，且每3个甲种部件和2个乙种部件刚好配套. 问应安排加工甲种部件和乙种部件各多少人，才能在每天加工结束后使所有部件刚好配套？
由题意，得 2×15x＝3×8（90－x）
解得 x＝40
所以 90－x＝50．
答：应安排加工甲种部件40人，乙种部件50人，才能在每天加工结束后使所有部件刚好配套．
【巩固】
1. 某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母. 1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 2×1000（26－x）＝800x
B. 1000（13－x）＝800x
C. 1000（26－x）＝2×800x
D. 1000（26－x）＝800x
C
【巩固】
2. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
解：设调往甲处x人，则调往乙处（20－x）人．依题意，得 23＋x＝（17＋20－x）×2
解得 x＝17．
所以 20－x＝3．
答：调往甲处17人，则调往乙处3人．
工程问题中基本关系式：
知识点二：工程问题
【例2】一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成. 开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙两队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了多少小时？
把工作总量看作整体“1”，则甲队、乙队、丙队的工作效率分别为 设甲队实际做了x小时，
方法1：
根据“各阶段完成的工作量之和＝完成的工作总量”列方程， 由题意知，前一阶段三队合作工作量为 ，后一阶段乙、丙两队合作的工作量为 ，所以方程为
解法1：解：设甲队实际做了x小时，
由题意，得
解得 x＝3 ．
答：甲队实际做了3小时.
方法2：
根据“各人完成的工作量之和＝完成的工作总量”列方程 ，由题意知，甲队、乙队、丙队的工作量分别为 、 、
，所以方程为 .
解法2：解：设甲队实际做了x小时，
由题意，得
解得 x＝3 ．
答：甲队实际做了3小时．
【巩固】
1. 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成. 现甲、乙合作3天后，甲因另有任务离开，由乙、丙合作，则乙、丙还需要几天才能完成这项工作？
【巩固】
2. 刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的由甲、乙两人合绣. 再绣多少天可以完成这件作品？
商品销售问题中常用的相等关系有：
（1）售价＝标价×折扣率
（2）利润＝售价－进价
（3）利润＝进价×利润率
（4）利润率＝ ×100％
（5）进价×利润率＝售价－进价
知识点三：销售问题
【例3】丽丽的妈妈到商场给她买了一件漂亮毛衣，售货员说：“这款毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10%，只卖144元. ”丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道原标价是多少元吗？
解：设毛衣的原标价是 x 元，
由题意，得（1－10％）×80％x＝144
解得 x＝200
答：这件毛衣的原标价是200元.
【巩固】
1. 超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打八折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（ ）
A. 0.8x－10＝90
B. 0.08x－10＝90
C. 90－0.8x＝10
D. x－0.8x－10＝90
A
【巩固】
2. 某商品月末的进货价比月初的进货价降了8%，而销售价不变，这样利润率月末比月初高10%，问月初的利润率是多少？
解：设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，
由题意，得 a（1＋x）－（1－8％）a＝a×（1－8％）（x＋10％）
解得 x＝15％.答：原来的利润率是15％．
【例4】某商场的M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢春节来临，为了促销，将售价提高50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的 ，该老板到底给顾客优惠了多少元？
售价－进价 = 利润
间接设元，先求进价
解： 设M品牌服装每套进价 x 元，
由题意，得 （2x＋50）×80％－x＝ x
解得 x＝600
【例4】某商场的M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢春节来临，为了促销，将售价提高50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的 ，该老板到底给顾客优惠了多少元？
原来售价：2×600＝1200（元）
促销活动售价：（2×600＋50）×80％＝1000（元）
优惠：1200－1000＝200（元）
答：该老板给顾客优惠了200元．
【巩固】
1. 学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠，结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润.
（1）求每套课桌椅的成本；
（2）求商店获得的利润.
解：（1）设每套课桌椅的成本为x元，
由题意，得 60×100－60x＝72×（100－3）－72x
解得 x＝82
答：每套课桌椅的成本为82元.
（2） 60×（100－82）＝1080（元）
答：商店获得的利润为1080元.
【巩固】
2. 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件. 现在商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
解：设每件衬衫降价x元，由题意，得
（120－80）×400＋（500－400）×（120－80－x）＝500×80×45％
解得 x＝20
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45％的预期目标.
几何问题中常用的公式有：
（1）V圆柱＝πR2h
（2）V圆锥＝ πR2h
（3） V长方体＝abc
（4） V正方体＝a3
知识点四：几何问题
【例5】在一个底面直径为5厘米、高为18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将它里面的水倒入一个底面直径为6厘米、高为10厘米的圆柱形玻璃杯中，那么能否完全装下？若装不下，则瓶内水面还有多高？若能装下，求杯内水面离杯口的距离.
先分别求出圆柱形瓶和圆柱形玻璃杯的体积，判断是否能完全装下
解：由题意，得
圆柱形瓶的体积为：
圆柱形玻璃杯的体积为：
【例5】在一个底面直径为5厘米、高为18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将它里面的水倒入一个底面直径为6厘米、高为10厘米的圆柱形玻璃杯中，那么能否完全装下？若装不下，则瓶内水面还有多高？若能装下，求杯内水面离杯口的距离.
因为 112.5π ＞ 90π ，所以不能完全装下
设瓶内水面还有 x cm高，
由题意，得
解得 x＝3.6
答： 不能完全装下，瓶内水面还有3.6 cm.
【巩固】
1. 要用总长为20米的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个长方形的鸡舍，除墙这一边外，其他三边（除门外）都用篱笆围成，且长方形的长是宽的2倍，并要求留2米宽的门，求鸡舍的长和宽.
解：设鸡舍的宽为x米，则长为2x米.
如图（1），当鸡舍的长靠墙时，
由题意，得 2x＋x＋x－2＝20
解得 x＝5.5
则 2x＝11
此时鸡舍的长为11米，宽为5.5米.
如图（2），当鸡舍的宽靠墙时，
由题意，得 2x＋2x＋x－2＝20
解得 x＝4.4
则2x＝8.8
此时鸡舍的长为8.8米，宽为4.4米.
答：鸡舍的长为11米，宽为5.5米或鸡舍的长为8.8米，宽为4.4米.
【巩固】
2. 如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由. （容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）
解：乙容器中的水不会溢出.
理由：设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深为x cm.
由题意，得 π×102×20＝π×202 x
解得 x＝5
因为甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深为5 cm，
5 cm＜10 cm
故乙容器中的水不会溢出，乙容器中的水深为5 cm.
【巩固】
3. 如图①是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，它的体积是多少立方厘米？
比赛积分问题中常用的关系式有：
（1）参赛场数＝胜场数＋负场数＋平场数；
（2）比赛总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分.
知识点六：积分问题
【例6】在一次有12个球队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分. 某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多两场，结果积18分，问该队战平几场？
（1）胜场数＋平场数＋负场数＝11；
（2）胜场总积分＋平场总积分＝18．
【例6】在一次有12个球队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分. 某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多两场，结果积18分，问该队战平几场？
解：设所负场数为x场，则胜场数为（x＋2）场，平场为（9－2x）场，
由题意，得
3（x＋2）＋［11－x－（x＋2）］＝18，
解得 x＝3
【例6】在一次有12个球队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分. 某队在这次循环赛中所胜场数比所负场数多两场，结果积18分，问该队战平几场？
所以平场为： 9－2x＝3
答：平的场数为3场.
【巩固】
1. 学校组织了一次有关天文知识的竞赛，共有20道题，每道题答对得5分，答错或不答都倒扣1分，小明最终得76分，那么他答对了________道题.
16
【巩固】
2. 我市某中学七年级每班各选5名学生组成一个代表队，在数学老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都必须回答50道题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣1分.
（1）如果七年级一班代表最后得分为190分，那么七年级一班代表队回答了多少道题？
解：（1）设七年级一班代表队回答对了x道题，
由题意，得 4x－（50－x）＝190
解得 x＝48.
故七年级一班代表队回答对了48道题.
【巩固】
2. 我市某中学七年级每班各选5名学生组成一个代表队，在数学老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都必须回答50道题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣1分.
（2）七年级二班代表队的最后得分有可能为142分吗？请说明理由.
【课堂总结】
