北师大版八年级数学上册试题 一课一练1.3勾股定理的应用--勾股定理与翻折问题（含答案）

1.3勾股定理的应用--勾股定理与翻折问题
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．14
2．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．6
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别在AC、BC上且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是（　　）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
5．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12．沿过点D的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BDE的周长是（　　）
A．15 B．12 C．9 D．6
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝6，点E在边CD上，且CEm．连接BE，将△BCE沿BE折叠，点C的对应点C'恰好落在边AD上，则m＝（　　）
A．3 B．2 C． D．5
7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角时，BE的长为（　　）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或1.5
8．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（　　）
A．80° B．60° C．40° D．30°
9．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法继续作下去，得OP2017＝（　　）
A． B． C． D．
10．如图，矩形纸片ABCD，已知AB＝2，BC＝4，若点E是AD上一动点（与A不重合），其0＜AE≤2，沿BE将△ABE翻折，点A落在点P处，连接PC，有下列说法：
①△ABE和△PBE关于直线BE对称；
②线段PC的长有可能小于2；
③四边形ABPE有可能为正方形；
④当△PCD是等腰三角形时，PC＝2或．
其中正确的序号是 （　　）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为　 　．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则AD＝　 　．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为　 　．
14．如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC＝6，AB＝10，则DB＝　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为　 　．
16．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，点D是边BC的中点，∠ABC＝∠CAD，将ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连接BE，那么线段BE的长为　 　．
17．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10．在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为　 　．
18．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠DFG＝68°，则∠BEF的度数为　 　°．
三、解答题
19．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．
（1）直接写出AB的长是　 　；
（2）求CD的长．
20．如图，有一个△ABC，三边长为AC＝6，BC＝8，AB＝10，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）求线段CD的长．
21．（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则∠EBC等于　 　度．
（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
22．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）试说明B'E＝BF；
（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．
23．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．
（1）求线段CN的长；
（2）求以线段MN为边长的正方形的面积；
（3）求线段AM的长度．
24．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．
尝试解决：
（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．
（2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG．
①求证：PE＝DF；
答案
一、选择题
C．A．D．A．B．A．D．C．D．B．
二、填空题
11．12．
12．3．
13．3．
14．5．
15．．
16．．
17．3．
18．56．
三、解答题
19．（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
故答案为：10；
（2）由折叠的性质可知，
AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，AC＝AE，
∴DC＝DE，
∵AC＝6，AB＝10，
∴AE＝6，BE＝4，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x，
∵DE⊥BE，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得，x＝3，
即CD的长是3．
20．（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，∵62+82＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°；
（2）∵△ADE是△ADC沿直线AD翻折而成，
∴∠C＝∠DEB＝90°，CD＝DE，AC＝AE＝6，
设CD＝x，则DE＝x，BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，∵DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x2+16＝64﹣16x+x2，
∴x＝3，即CD长为3．
21．（1）依题意，得∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，
又∵DC＝DE，AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，即BD＝DE，△BDE为等腰直角三角形，
∴∠EBC＝45°；
（2）令CD＝x，则DB＝4﹣x，
由于是直角三角形且是折叠，所以AB＝5，AE＝AC＝3，
DE＝x，EB＝2，因为∠AED＝∠C＝90°，
故在Rt△BDE中运用勾股定理得：
（4﹣x）2＝22+x2，
16﹣8x＝4，解得x，即CD．
22．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF，∠B'FE＝∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠B'EF＝∠BFE，
∴∠B'FE＝∠B'EF，
∴B'F＝B'E，
∴B'E＝BF．
（2）解：a，b，c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：
由（1）知B'E＝BF＝c，
由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．
在△A'B'E中，∵∠A'＝90°，
∴A'E2+A'B'2＝B'E2，
∴a2+b2＝c2．
23．（1）由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，
又∵CEDC＝4cm，
∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，即CN＝3cm；
（2）在Rt△DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm，
由勾股定理得：DEcm，
如图，过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知AM＝DG，MG＝BC＝CD．
连接DE，交MG于点I．
由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+∠MIE＝90°，
∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（对顶角相等），
∴∠NMG＝∠EDC．
在△MNG与△DEC中，
，
∴△MNG≌△DEC（ASA）．
∴MN＝DEcm，
∴以MN为边长的正方形的面积＝（4）2＝80．
（3）∵△MNG≌△DEC
∴GN＝CE＝4cm，
∴DG＝CD﹣CN﹣GN＝8﹣3﹣4＝1cm．
∴AM＝DG＝1cm．
24．（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∵将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，
∴△ADC≌△ADC'．
∴CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，
即∠DC'B＝180°﹣∠AC'D＝180°﹣90°＝90°，AC＝AC'＝6，
∴BC'＝AB﹣AC'＝10﹣6＝4，
∴△DC'B为直角三角形，且∠DC'B＝90°，
∴C'D2+C'B2＝DB2，
即CD2+42＝（8﹣CD）2，
∴CD＝3；
（2）①由折叠可知△PAB≌△PEB，
∴PE＝PE，∠A＝∠E＝90°，
在△DPG和△EFG中，
，
∴△DPG≌△EFG（ASA），
∴PG＝FG，
∴PG+GE＝FG+GD，
即PE＝DF；
②∵△PAB≌△PEB，△DPG≌△EFG，AB＝8，AD＝6，
∴PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，
∴EF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣EF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，
∵∠C＝90°，
∴BC2+CF2＝BF2，
即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，
∴AP