课件45张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第一章考点三1.1
1.1.1第1部分观察下列图片： 问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？
提示：由若干个平面多边形围成．
问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？
提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成，(7)的表面是由曲面围成的． 问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？
提示：可以．
问题4：根据图片(1)(2)(3)中的几何体是否可以归纳出这三类形状的物体各自的特征？
提示：可以．1．空间几何体形状大小平面多边形公共边公共点直线封闭几何体面轴2．多面体平行四边形平行平行其余各面公共边公共顶点多边形三角形多边形面三角形面公共边公共顶点平行于棱锥底面截面底面 1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面
(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．
(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分． 2．棱柱具有以下结构特征和特点
(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面
是平行四边形，如图b所示．
(4)有两个面平行，其余各面都
是平行四边形的几何体不一定是棱柱如图所示： 3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．
4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台． [例1] 下列命题正确的是 ( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
[思路点拨] 根据多面体的定义逐项进行判断． [精解详析] 棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形，所以A、B不正确，沿着棱锥底面的一条对角线将棱锥分成两个部分可以得到两个部分都为棱锥，因此C项不正确．对于D，只要这个平面与底面平行就能够得到两个棱柱．
[答案] D [一点通] 结合多面体的定义去判断时，注意要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．1．下列四个几何体为棱台的是 ( )解析：棱台的底面为多边形，各个侧面为梯形，侧棱延长后又交于一点，只有C项满足这些要求．
答案：C2．下列四个命题中，假命题为 ( )
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的各个侧面都是平行四边形
C．棱柱的两底面是全等的多边形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
解析：A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D是正确的．
答案：A3．下列多面体 ①六棱柱，②五棱锥，③四棱柱，④五棱
台，⑤四棱台，⑥四棱锥，其中共有六个面围成的多面体序号为________．
解析：观察棱柱、棱锥、棱台可得出，n棱柱(锥或台)有n个侧面，然后再加上多面体的底面，即可得多面体由几个面围成，故由6个面围成的多面体序号应为②③⑤.
答案：②③⑤ [例2] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ [思路点拨] 图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；
图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；
图③中，有3个梯形，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点． [精解详析] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． [一点通]
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．4．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．
答案：D5.某城市中心广场主题建筑为一四面体，
且所有边长均为10米，如图所示，其
中E、F分别为AD、BC中点．
(1)画出该几何体的表面展开图，
并注明字母；
(2)为庆祝建国63周年，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC、AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少米？解：(1)该几何体的表面展开图为(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形，若使由F向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中，连接线段EF，这两条线段均为10，故所用灯管最短为20米． [例3] (10分)如图所示为长
方体ABCD－A′B′C′D′，当
用平面BCFE把这个长方体分成两部
分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？
如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
[思路点拨] 正确理解棱柱的定义是判断几何体是否为棱柱的关键． [精解详析] 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义． (1分)
它是三棱柱BEB′－CFC′，
其中△BEB′和△CFC′是底面． (3分)
EF，B′C′，BC是侧棱， (5分)
截面BCFE左侧部分也是棱柱． (7分)
它是四棱柱ABEA′－DCFD′.
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面． (9分)
A′D′，EF，BC，AD为侧棱． (10分) [一点通] 正确认识多面体的特征：一要熟记多面体的定义，二要掌握多面体的结构特征，注意多面体的不同放置形式．6．(2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不
同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( )
A．20 B．15
C．12 D．10解析：从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．
答案：D7.如图所示的三棱柱ABC—A1B1C1，
连接AB1，CB1，AC1后，试写出
该三棱柱包含的所有三棱锥．
解：共有3个三棱锥，分别为：
A—BCB1，B1—AA1C1，B1—ACC1(三棱锥可以在四个
顶点中任取一个作为三棱锥的顶点，而其他三个顶点连
接后围成底面)． 1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型．首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．
2．多面体的表面展开图可实现空间图形平面化的化归思想．点击下图片进入“应用创新演练”课件38张PPT。第一章1.1
1.1.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点一知识点二如图，给出下列实物图． 问题1：上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
提示：它们不是由平面多边形围成的．
问题2：上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否以某平面图形旋转而成？
提示：可以．
问题3：如何形成上述几何体的曲面？
提示：可将半圆、直角梯形、直角三角形绕一边为轴旋转而成．矩形的一边所在直线垂直平行不垂直直角三角形的一条直角边圆锥底面半圆面球心 中国首个空间实验室“天宫一号”于2011年9月29日16分成功发射升空，并与当年11月与“神舟八号”实现无人空间对接，下图为天宫一号目标飞行器的结构示意图．其主体结构如图所示：问题1：该几何体由几个几何体组合而成？
提示：4个．
问题2：图中标注的①②③④部分分别为什么几何体？
提示：①为圆台，②为圆柱，③为圆台，④为圆柱． 1．简单组合体的概念
由 组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体 一部分而成的．简单几何体截去或挖去 1．由圆柱的形成过程及母线的定义可知，圆柱有无数条母线，它们都与轴平行，它们之间也互相平行．
2．圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线． 3．圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
4．体育中用到的足球、篮球、乒乓球，它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球，但是铅球是数学提到的球，数学中提到的球是实心的旋转体． [例1]一直角梯形ABCD如右图所示，
分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说
明所得几何体的大致形状．
[思路点拨] 注意所旋转的图形特点，结合其选定的轴易于解决问题． [精解详析] 可以结合实物——“一个直角梯形硬纸板”旋转而得出结论．以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如下图所示． [一点通] 借助实物模型来分析立体几何中相关问题是一种十分重要的方法，对我们空间想象能力的培养和形成都有较大的帮助．同时，对一个平面图形进行旋转时，所选取的轴不同所得旋转体也不同，对所得几何体要借助圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行分析．1．下列叙述中正确的个数是 ( )
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0 B．1
C．2 D．3解析：①中应以直角三角形的直角边为轴，②中应以直角梯形中的直角腰为轴，④中应用平行于底面的平面去截，③正确．
答案：B2．观察知识点二中的“天宫一号”主体结构图，该几何
体可由什么图形旋转而成？画出图形并指明旋转轴．解：几何体可由如下图旋转而成，以AA′为旋转轴． [例2] (10分)观察下列几何体的结构特点，完成以下问题： (1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180°后得到几何体①；
(2)图②所示几何体结构特点是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360°得到几何体②；
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
[思路点拨] 只有正确判断几何体的组合特点，才能准确把握其结构特征．[精解详析] (1)图①是由圆锥和圆台组合而成．?(1分)
可旋转如下图形180°得到几何体①?(3分) (2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．? (5分)
可旋转如下图形360°得到几何体②(7分) (3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．? (9分)
共有9个面，9个顶点，16条棱．? (10分) [一点通] (1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数，如图(3)所示的组合体有9个面，9个顶点，16条棱．
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋
转一周，所得的几何体是由 ( )
A．一个圆台、两个圆锥构成
B．两个圆台、一个圆锥构成
C．两个圆柱、一个圆锥构成
D．一个圆柱、两个圆锥构成
解析：应由两个圆锥、一个圆柱构成．
答案：D4．下列组合体是由哪些几何体组成的？解：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．
(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．
(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台． 1．对于圆柱、圆锥、圆台、球中要注意轴截面的画法与应用，这些轴截面集中反应了旋转体的各主要元素．
2．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．点击下图片进入“应用创新演练”课件50张PPT。第一章1.2
1.2.1&
1.2.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二知识点一知识点二考点三 随着我国国际地位的不断提升，中国文化越来越受到关注.2011年10月4日，秘鲁举办了“美的享受·第12届中国电影节”，以纪念华人达秘鲁162周年．
电影的播放实质是利用了小孔成像原理，而太阳光下地面上人的影子是阳光照射到人后留下的影像．
放电影和太阳光照射成影像都具备光线、不透明物体和投影面这些相同的条件．问题1：放电影成像与太阳光成像原理一样吗？
提示：不一样．
问题2：电影成像中的光线有何特点？
提示：光是由一点向外散射．
问题3：太阳光照人成影像的光线又有何特点？
提示：一束平行光线． 1．投影的定义
由于光的照射，在 物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 ，这种现象叫做投影．其中，把
叫做投影线，把 的屏幕叫做投影面．不透明光线影子留下物体影子2．中心投影与平行投影一点平行光线交于一点互相平行正投影斜投影 如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．同天安门、故宫、长城等北京标志性建筑一样，“水立方”成了游客在北京的必到之地． 问题1：水立方的外观形状是什么？
提示：长方体．
问题2：假如你站在水立方入口处的正前方或在水立方的左侧看水立方，你看到的是什么？
提示：水立方的一个侧面． 问题3：若你在水立方的正上方观察水立方看到什么？
提示：水立方的一个表面．
问题4：根据上述三个方向观察到的平面，能否画出水立方的形状？
提示：可以．前面后面左面右面上面下面高度长度宽度 1．平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别
(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．
(2)平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同． 2．每个视图都反映物体两个方向上的尺寸．正视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，侧视图反映物体的前后和上下尺寸．
3．画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示． [例1] 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________． [思路点拨] 由平行投影的定义知投影线垂直于投影面，故确定四边形AGFE的四顶点在各个投影面的位置，把各投影点连线即可．[答案] a b c [一点通] 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．
答案：C2.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1
中，M、N分别是BB1、BC的中点，
则图中阴影部分在平面ADD1A1上
的投影为 ( )解析：N在面ADD1A1内的投影是AD中点，M在面ADD1A1内的投影是AA1中点．
答案：A [例2]画出如右图所示的四棱锥的三视图．
[思路点拨] 画图时，要注意做到“长对正、高平齐、宽相等”．[精解详析] 几何体的三视图如下： [一点通] 画三视图的注意事项
(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．
(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 3．观察下图所示的几何体：该几何体的正视图为________；侧视图为________；俯视图为________．
解析：(1)为正视图，(2)为俯视图，(3)为侧视图．
答案：(1) (3) (2)4．画出下图所示几何体的三视图．解：该几何体为三棱柱，三视图如下：5．(2011·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的
几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ( )解析：根据正投影的性质，并结合侧视图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知侧视图为选项D.
答案：D [例3] (10分)根据图中的物体的三视图，画出物体的形状．
(1)(2) [思路点拨] 由三视图还原空间几何体主要考查学生的空间想象能力．要注意结合三种视图间的关系推测几何体的形状，再利用三种视图加以验证． [精解详析] (1)由三视图可知，下面为棱柱、上方为正方体故表示物体的实物图形如图．(6分)(2)由三视图可知，上面为半球，下面为三棱柱，如图(10分) [一点通] 由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．6.(2011·浙江高中数学会考)若右图
是一个几何体的三视图，则这
个几何体是 ( )
A．圆柱 B．圆台
C．圆锥 D．棱台
解析：由三种视图可分析，该几何体为圆台．
答案：B7．根据如图所示的俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
解析：(1)对应D. (2)对应A. (3)对应E. (4)对应C. (5)对应B.
答案：D A E C B 1．对于同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
2．对于画简单组合体的三视图，要先弄清由哪几个基本几何体组合而成，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置． 3．对于还原组合体，需要综合主视图、左视图、俯视图的特征，确定分界线，找出组成组合体的简单几何体，再将组合体还原，其中确定分界线是正确还原的关键．点击下图片进入“应用创新演练”课件41张PPT。第一章1.2
1.2.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系． 问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示：为了直观，不一定．
问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？
提示：平行四边形、扁圆形，为增加直观性．
问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？
提示：不相同． 1．用斜二测画法画平面图形的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使 ，它们确定的平面表示水平面．∠x′O′y′＝45°(或135°) (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中
，平行于y轴的线段，
．平行保持原长度不变长度变为原来的一半 2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出 (与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．
(3)擦去辅助线， 用虚线表示．高线被遮线 1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角化45°(或135°)． [例1] 画出水平放置的正五边形的直观图．
[思路点拨] 首先应在原图形中，根据图形的对称性建立平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出直观图． [精解详析] (1)取正五边形的中心O为原点，对称轴FA所在直线为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴，建立如图①所示的直角坐标系，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. [一点通]
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．1．画出边长为1的正三角形的直观图．解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. [例2] 2011年10月7日，我国用长征系列火箭成功把法国W3C通信卫星送入预定轨道．在火箭发射时，要预先搭建发射平台，如图所示，其主体结构为长方体，试画出长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图． [思路点拨] 用斜二测画法作空间几何体的直观图，建立恰当坐标系十分关键．在长方体中常选取一顶点为原点，过该顶点的三条棱为轴建系；也可以底面矩形的对角线交点为原点建系． [精解详析] (1)画轴．如下图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如上图②. [一点通]
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．2．如图所示，由下列几何体的三视图画出它的直观图．解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高．(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②即是三视图表示的几何体的直观图． [精解详析] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2. (2分) [一点通] 直观图还原平面图形时，要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量，计算时要结合两个坐标系确定数据．3.已知△ABC的直观图如图所示，则
原△ABC的面积为________．答案：94．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测
直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( )解析：∵A′D′∥B′C′，∴AD∥BC.
∵∠A′B′C′＝45°，∴∠ABC＝90°.
∴AB⊥BC.
∴四边形ABCD是直角梯形，如图所示．答案：D 1．画空间几何体的直观图，要先画底面，然后画侧棱，整理成图．
2．直观图与实物图相比较，有“三不变，两变”，“三不变”是指直线的平行性、点的共线性、线的共点性不变；“两变”是指直观图与原图中的角的大小，线段的长度有变化． 3．三视图能帮助我们从不同角度认识几何体的结构特征，直观图是对空间几何体的整体刻画．我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象，同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也可以由几何体的直观图得到它的三视图．点击下图片进入“应用创新演练”课件44张PPT。第一章1.3
1.3.1理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．问题1：能否计算出水立方外墙所用显示屏的面积？
提示：可以，即计算水立方的外表面面积(除去底面)．
问题2：能否计算水立方内部的空间大小？
提示：可以，即计算其容积．几种几何体的表面积公式各个面展开图πr22πrl2πrl＋2πr2πr2πrlπrl＋πr2πr′2πr2πl(r＋r′)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系其中S′、S分别为上、下底面面积，h为高． [例1] (2011·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 ( )[答案] B [一点通] 求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积． 1．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其表面积
等于 ( )
A．20π B．15π
C．24π D．30π
解析：圆锥的侧面展开图为扇形，S侧＝πrl＝π×3×5＝15π，S底＝π×32＝9π.
∴S表＝S侧＋S底＝24π.
答案：C2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表
面积为 ( )A．72 B．66
C．60 D．30答案：A [例2] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
[思路点拨] 欲求棱台的高和体积，根据题目中给出的侧面面积和上、下底面面积的关系，可列等式求得侧面斜高，进而求出棱台的高和体积． [精解详析]如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高， [一点通] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题．3．如图是圆锥的三视图，则该圆锥的体积是________．答案：π答案：C [例3] (12分)如图，梯形ABCD中，
AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC
＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内
过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求
旋转体的表面积和体积．
[思路点拨] 旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的部分． [一点通] 求组合体的表面积与体积的关键，是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式．5．(2011·日照模拟)如图是某几何体的三视图，其
中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是________．6．若某几何体的三视图(单位：cm)
如图所示，则此几何体的体积是 ( )答案：B 2．求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．点击下图片进入“应用创新演练”课件35张PPT。第一章1.3
1.3.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三 中国足球队唯一一次进入世界杯决赛圈是在2002年日韩世界杯上，小组赛三场皆负，一球未进，在32支球队中排名最后．在巴西世界杯亚洲区20强预选赛中，中国队于10月11日在主场痛失好局，以0∶1不敌伊拉克队，3战1胜2负，即使在随后的三轮比赛中连胜对手，也难确保进入10强赛．不可否认，中国足球队已陷入最低谷，沦为亚洲三流球队． 问题1：根据球的形成定义来分析，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？
提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球．
问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？
提示：由球的定义可知，只要知道球的半径即可求出． 1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝ .4πR24 1．要求球的表面积和体积，只需求出球的半径．
2．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数． [一点通] 已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积
之比为 ( )
A．1∶9 B．1∶27
C．1∶3 D．1∶1
答案：A2．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积
是火星体积的________倍．答案：83.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的
水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.答案：4 [例2] 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
[思路点拨] 将球与正方体联系起来． [一点通] (1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键．
(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径．
(3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题．4．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( )
A．8π B．4π
C．12π D．16π答案：C5．球内切于正方体的六个面，正方体的边长为a，则
球的表面积为________．答案：πa2 [例3] (12分)已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．
[思路点拨] 根据已知条件，通过解三角形列出方程式，求出球的半径．于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，
即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.
(8分)
又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.
(10分)
球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π. (12分) [一点通] 与球有关的截面问题在解决时多转化为平面图形，即作出轴截面进而计算，作平面图时，要注意区别大圆与小圆．6．用到球心距离等于3的平面去截球，所得截面的
面积为7π，则球的半径为________．答案：47．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距
离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积． 1．求球的体积和表面积时，关键是求球的半径．
2．与球有关的组合体问题解决的关键是作出截面图．找出球半径与几何体的棱长之间的关系，这样可把球有关的组合体的立体问题转化为平面问题解决．点击下图片进入“应用创新演练”课件15张PPT。章末
小结
知识整合与阶段检测核心要点归纳阶段质量检测第一章 一、多面体与旋转体
1．棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．
2．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．
注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体． 3．棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．
注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想． 4．将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线． 二、三视图和直观图
1．三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形．
具体包括：
(1)正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； (2)侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；
(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度． 2．画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．三、几何体的表面积与体积
1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系c′＝0时，棱锥可以看作上底周长为0的棱台．
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2.2．几何体占有空间部分的大小，明确柱、锥、台的体积
公式间的关系，可进一步加强对三个几何体的认识． 3．解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．许多球的有关问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体，把球的问题转化为多面体的问题加以解决．点击下图片进入“阶段质量检测”
