1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α
C．A?l，l?α D．A?l，l?α
解析：注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合间的关系．
答案：B
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
解析：若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
答案：C
3．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )
A．1 B．2
C．3 D．1或3
解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．
答案：D
4．下列推断中，错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α，β重合
解析：A即为直线l上有两点在平面内，则直线在平面内；B即为两平面的公共点在公共直线上；D为不共线的三点确定一个平面，故D也对．
答案：C
5．平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈平面β且C?l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.
解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ，又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.
答案：CR
6．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1.
(1)AC∩BD＝________；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.
解析：(1)AC、BD同在面ABCD中，交于点O.
(2)平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1.
(3)A1B1，B1B，B1C1三条直线交于一点B1.
答案：(1)O (2)A1B1 (3)B1
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与正方体表面的交线．
解：因为点P既在平面α内又在平面ABB1A1内，所以点P在平面α与平面ABB1A1的交线上．同理，点A1在平面α与平面ABB1A1的交线上．因此，PA1就是平面α与平面ABB1A1的交线．
同理，PC1，A1C1也是平面α与正方体表面的交线，如图所示．
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．
证明：因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.
由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．
分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.
又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH?平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．
∴∠PQR＝30°或150°.
答案：B
2．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是相交直线 D．不可能是平行直线
解析：过直线b上的任一点p作l∥a，则b∩l＝P，b、l确定平面α.由c∥a知，当c∈α时，c与b相交；当c?α时，c与b异面．故A、B、C错．若c∥b，由c∥a知b∥a，这与已知的a、b为异面直线相矛盾，故D对．
答案：D
3.(2011·烟台高一检测)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是( )
A．0° B．45°
C．60° D．90°
解析：取CD中点M1，连接C1M1，则CN⊥C1M1，故B1M与CN所成的角为90°.
答案：D
4.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面
D．相交成60°
解析：还原成正方体后，B、D重合为一点，如图所示
连AC易知△ABC为等边三角形．
答案：D
5．满足“a、b是异面直线”的命题序号是________．
①a∩b＝?且a不平行于b ②a?平面α，b?平面β且a∩b＝? ③a?平面α，b?平面α ④不存在平面α，使a?α且b?α成立
解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应填①④.
答案：①④
6．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求CC1与BD1所成角的正弦值．
解：如图所示，连接B1D1，
∵B1B∥CC1，
则BB1与BD1所成的角∠B1BD1就是CC1和BD1所成的角．
在Rt△BB1D1中，
sin∠B1BD1＝＝＝，
∴CC1与BD1所成角的正弦值为.
8.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ、QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ是矩形AA1D1D的中位线．∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q、F是DD1、C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴C1Q綊DF.
又∵B1E綊C1Q，
∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
1．M∈l，N∈l，N?α，M∈α，则有( )
A．l∥α B．l?α
C．l与α相交 D．以上都有可能
解析：由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．
答案：C
2.如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝l
B．α∥β，l∈α
C．l∥β，l?α
D．α∥β，l?α
解析：显然图中α∥β，且l?α.
答案：D
3．下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．
答案：B
4．(2011·浙江高考)若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
答案：B
5．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________．
解析：若直线与两平行平面中的一个平行，则直线可能与另一平面平行，也可能在另一个平面内．
答案：平行或在面内
6．下列命题正确的有________．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，则直线a∥b.
解析：对②，直线l也可能与平面相交；对③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．
答案：①⑤
7．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c?β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
8.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解：平面ABC与β的交线与l相交．
证明：∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交．
1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
解析：可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
答案：C
2．(2012·河南汤阴一中高一检测)已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是( )
A．b?平面α B．b∥α或b?α
C．b∥平面α D．b与平面α相交，或b∥平面α
解析：b与α相交，可确定的一个平面β，若β与α平行，则b∥α；若β与α不平行，则b与α相交．
答案：D
3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：∵E，F，E1，F1均为各边中点，易证EF∥E1F1，A1E∥E1B，从而两平面EFD1A1与BCF1E1互相平行．
答案：A
4．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．m∥l，l∥α?m∥α
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
解析：A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，l∩m＝M，且l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.
答案：D
5．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
①a∥c，b∥c?a∥b; ②a∥γ，b∥γ?a∥b；
③c∥α，c∥β?α∥β； ④α∥γ，β∥γ?α∥β；
⑤c∥α，a∥c?a∥α. ⑥a∥γ，α∥γ?a∥α.
正确命题是________(填序号)．
解析：直线平行或平面平行能传递，故①④正确，②中，可能a与b异面或相交；③中α与β可能相交；⑤中可能a?α；⑥中，可能a?α，故正确命题是①④.
答案：①④
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：取B1C1中点P，易证平面FHNP∥平面B1BDD1
故只要M∈FH，即可保证MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈FH
7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO∥平面D1EF.
证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
∵＝＝，
∴GO∥D1H，
又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，
∴GO∥平面D1EF.
在△BAO中，∵BE＝EA，BH＝HO，∴EH∥AO，
又AO?平面D1EF，EH?平面D1EF，
∴AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，∴平面AGO∥平面D1EF.
8．如图所示，四边形ABCD、四边形ADEF都是正方形，M∈BD，N∈AE，且BM＝AN.
求证：MN∥平面CDE.
证明：法一：如图所示，作MK⊥CD于K，NH⊥DE于H.因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形，
所以BD＝AE，又因为BM＝AN，所以MD＝NE，又因为∠MDK＝∠NED＝45°，∠MKD＝∠NHE＝90°，所以△MDK≌△NEH，所以MK＝NH.
又因为MK∥AD∥NH，所以四边形MNHK是平行四边形，所以MN∥KH.
又因为MN?平面CDE，KH?平面CDE，所以MN∥平面CDE.
法二：如图所示，连接AM并延长交CD所在直线于G，连接GE.
因为AB∥CD，所以＝，
因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形，
所以BD＝AE，又BM＝AN，
所以＝，所以MN∥GE，
又因为GE?平面CDE，MN?平面CDE.
所以MN∥平面CDE.
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
解析：由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．
答案：B
2．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均有可能
解析：由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，∴n∥a.
答案：A
3．若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形状是( )
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
解析：因为平面和左右两个侧面分别交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．
答案：C
4．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动都共面
解析：由面面平行的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过点C且与α、β都平行的平面上．
答案：D
5．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
解析：∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
MN?平面PMN，
∴MN∥PQ.易知DP＝DQ＝a，
故PQ＝×a＝a.
答案：a
6.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在面与面α平行，则AB∥A1B1，且四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．∴AB綊CD，从而四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥平面PAD.
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
1．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于( )
A．40° B．50°
C．90° D．150°
解析：∵a∥b，直线a与平面α所成的角即为直线b与平面α所成的角．
答案：B
2．下列表述正确的个数为( )
①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；
②若直线a?平面α，b?α，且a⊥b，则a⊥α；
③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内，②中a与α还可能平行或斜交，③中a还可能在平面α内．
答案：A
3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能有一个，也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析：当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．
答案：B
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是
( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连AD.
∵PA⊥△ABC，∴PA⊥CD.
∴CB⊥面PAD，∴AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，
∴PD＝ ＝4.
答案：D
5.在三棱锥V-ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)
解析：只要VC⊥面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．
答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)
6.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有_______________________________________；
(2)与AP垂直的直线有_______________________________________．
解析：(1)∵PC⊥面ABC，AB，AC，BC?平面ABC.
∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
7．如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB，
又因为MA⊥AC，AB、AC?平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角，
又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，
所以sin∠MCA＝＝＝.
8.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，
求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，
∴NE∥CD且NE＝CD，
而AM∥CD，
且AM＝AB＝CD，
∴NE∥AM且NE＝AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，而AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，又AE∥MN，
∴MN⊥CD.
(2)由(1)可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，
∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，
∴MN⊥平面PCD.
1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是( )
A．AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO?α，BO?β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
答案：D
2．长方体ABCD—A1B1C1D1的六个面中，与平面AC垂直的面的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：平面AC是长方体的一个底面，四个侧面均与底面垂直．
答案：D
3.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．
答案：C
4．已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是( )
A. B.
C. D.
解析：如图，根据已知，BD＝CD＝，AD＝BC＝2.取BC中点为E，连接DE，AE.则DE⊥BC，AE⊥BC，∠DEA为所求．
∵AE＝DE＝ ＝.
∴AE2＋DE2＝AD2，∴∠AED＝.
答案：C
5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1个或无数个
6.如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，
则二面角α－AB－β的大小是________．
解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a，
∵∠BPM＝∠BPN＝45°，
∴△OPM≌△OPN，∴ON⊥AB，
∴∠MON为所求二面角的平面角，连接MN，
∵∠MPN＝60°，∴MN＝a，
又MO＝NO＝a，
∴MO2＋NO2＝MN2，
∴∠MON＝90°.
答案：90°
7．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：平面PAC⊥平面PBD.
证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵AO＝OC，PA＝PC，
∴PO⊥AC.
∵BD∩PO＝O，
∴AC⊥平面PBD.
又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.
8．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝AD，E是AD的中点，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，
∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又MN∩A′M＝M，
∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．
又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N?平面A′BE，
∴平面A′BE⊥平面BCDE.
1．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，
∵m?α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l?γ，由线面垂直的性质得m⊥l.
答案：A
2．下列命题中错误的是( )
A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C．如果α不垂直于平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
解析：若α⊥β，则α内必有垂直于β的直线，并非α内所有直线都垂直于β，A错．
答案：A
3.线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，
所以AA′＝AB，BB′＝A′C＝AB，AB′＝AB，
所以A′B′＝BC＝AB，AC＝AB，
由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°.
答案：B
4．在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
答案：B
5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.
答案：平行
6.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A—A′BB′的体积V＝________.
解析：由题意AA1⊥面A′BB′，BB′⊥面A′B′A，则三棱锥A—A′BB′中，AA′为高，底面△A′BB′为Rt△.
∴VA－A′BB′＝AA′S△A′BB′＝×3××2×4＝4.
答案：4
7．如图，沿直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A－BCDE.求证：平面ABC⊥平面ACD.
证明：因为AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据面面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ACD，又BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD.
8．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥C—PBD的体积．
解：(1)证明：连接AC，如图所示，
则F是AC的中点，E为PC的中点，∴EF∥PA.
又∵PA?平面PAD，
EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
(2)取AD的中点N，连接PN，如图所示．
∵PA＝PD，∴PN⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN?平面PAD，
∴PN⊥平面ABCD，
∴VC—PBD＝VP—BCD＝S△BCD·PN
＝·(a·a)·a＝.
(时间90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．(2011·山西四校第二次联考)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( )
A．若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α
B．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α
C．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：对于选项D，当直线m位于平面β内且与平面α、β的交线平行时，直线m∥α，显然m与平面β垂直．因此选项D不正确．
答案：D
2．若直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )
A．0条 B．1条
C．无数条 D．不确定
解析：平面α内与a垂直的有无数条直线．
答案：C
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
解析：∵AA1∥BB1，∴异面直线AA1与BC1所成角即为∠B1BC1，为45°.
答案：B
4.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：CE?平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.
答案：B
5．(2012·河南平顶山高一调研)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
解析：①错，只有一个平面内有两条相交直线与另一个面平行时，才能得出这两个面互相平行．③错，比如a⊥α，b?α，c?α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．
答案：D
6．已知α—l—β是一个大小确定的二面角，若a，b是空间两条直线，则能使a与b所成的角为定值的一个条件是( )
A．a∥α，且b∥β B．a∥α，且b⊥β
C．a⊥α，且b∥β D．a⊥α，且b⊥β
解析：由于直线与平面平行时，直线在空间的方向不确定，所以当一条直线确定，而另一条直线的方向可以变化时，它们所成的角也可能发生变化，所以排除A、B、C，选D.
答案：D
7．在空间中，设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给定下列条件：
①α⊥β且m?β；②α∥β且m⊥β；③α⊥β且m∥β；④m⊥n且n∥α.其中可以判定m⊥α的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：只有②可推出m⊥α.
答案：A
8．下图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
解析：B中AB与CD成60°角，C中AB与CD成45°角，D中AB与CD所成角的正切值为，A中设CD所在的正方形另一对角线为BE，易证CD⊥面ABE，故应选A.
答案：A
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，
又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，
而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
答案：D
10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度( )
A．13 B.
C．12 D．15
解析：如图，连AD.
∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α，
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝.
在Rt△CAD中，CD＝ ＝ ＝13.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)
11．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．
解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD.
答案：菱形
12．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是______．
解析：由平面BCC1B1⊥面ABCD
知MN⊥面ABCD.
∴MN⊥AB.
答案：垂直
13．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论
①AC⊥SB
②AB∥平面SCD
③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角
④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．
其中，正确结论的序号是________．
解析：易知结论①②正确，③中，SA与平面ABD所成的角就是∠SAD，SC与平面ABD所成的角就是∠SCD，易知这两个角相等．④中，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
答案：①②③
14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下三个结论．
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
说法正确的命题序号是________．
解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a，
则AE＝CE＝a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A—BD—C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．
答案：①②
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明：(1)在△PAD中，
因为E，F分别为AP，AD的中点，
所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，
所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，
所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
16．(本小题满分12分)(2011·烟台调研)如图，在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：AE∥平面BFD.
证明：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE.
(2)依题意可知：G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.
又BC＝BE，∴F是EC的中点．
在△AEC中，连接FG，则FG∥AE.
又AE?平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD.
17．(本小题满分12分)底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.
问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
解：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OE，过点B作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，∴BG∥平面AEC.
同理GF∥平面AEC，
又BG∩GF＝G，
∴平面BFG∥平面AEC，BF?平面BFG.
∴BF∥平面AEC.
下面求点F在PC上的具体位置：
∵BG∥OE，O是BD的中点，
∴E是GD的中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．
而GF∥CE，∴F为PC的中点．
综上可知，存在点F，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
18．(本小题满分14分)(2011·浙江金华)如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠成如图2所示的直二面角A—DC—B.
(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体A—DBC的外接球体积与四棱锥D—ABFE的体积之比．
解：(1)如图所示，∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴AB∥EF，
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF.
(2)以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A—DBC的外接球即为长方体的外接球．
设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，
∴R2＝a2，
于是球的体积V1＝πR3＝πa3.
又VA—BDC＝S△BDC·AD＝a3，
VE—DFC＝S△DFC·AD＝a3，
∴＝＝.
