课件44张PPT。3.1
随机事件的概率理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章
概率知识点一知识点二考点一考点二考点三3.1.1
随机事件的概率(1)在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化；
(2)在常温常压下，石墨能变成金刚石；
(3)掷一枚硬币，出现正面向上；
(4)某地12月12日下雨；
(5)凸n(n≥3)边形的内角和为(n－2)·180°；
(6)函数y＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数． 问题1：以上现象中哪几个是确定会发生的？哪几个是确定不会发生的？
提示：(5)确定会发生．(1)、(2)确定不会发生
问题2：(3)、(4)、(6)中现象有何特点？
提示：可能发生也可能不发生一定不会发生一定会发生可能发生也可能不发生 做一个简单的实验：把一枚骰子掷多次，观察出现的结果，并记录各结果出现的频数．
问题1：在本实验中出现了几种结果，还有其它实验结果吗？
提示：一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果，没有其它结果出现 问题2：一次试验中的试验结果试验前能确定吗？
提示：不能
问题3：若做大量地重复试验，你认为出现每种结果的次数有何关系？
提示：大致相当事件A出现的次数nA 1．频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例 为事件A出现的频率． 2．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的 的量．
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的
频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于 ，因此可以用 来估计概率P(A)．可能性大小概率P(A)频率fn(A) 1．随机事件是在条件S下，可能发生也可能不发生的事件．应注意：事件的结果是相对于“条件S”而言的．所以确定一个随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果． 2．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，频率越来越接近概率．频率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，通常用频率作为概率的估计值．[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭．
(2)若a为实数，则|a|≥0.
(3)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上．(4)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标．
(5)没有水分，种子发芽．
[思路点拨] 根据事件的概念判断．[精解详析] (1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)对任意实数a，|a|≥0总成立，是必然事件．
(3)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(4)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(5)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件． [一点通] 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．1．下列事件中的随机事件为 ( )
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾解析：A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．
答案：C2．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)行人在十字路口遇到红灯；
(2)在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出5个有4个正品，1个次品；
(3)三角形的内角和是180°.
(4)平行四边形的对角线相等．
解析：(1)随机事件；(2)随机事件；(3)必然事件；(4)随机事件．[例2] 指出下列试验的条件和结果：
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，一次任取2个球．
[思路点拨] 用列举法按一定的顺序列举．[精解详析] (1)条件为射击一次；结果为命中的环数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种．
(2)条件为从袋中任取1个球；结果为：a，b，c，d，共4种．
(3)条件为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次取出的2个球是a和b，则试验的全部结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种． [一点通] 准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．3．抛掷两枚质地均匀的硬币，则它们朝上的一面可
能出现的情况为 ( )
A．正反，正正 B．正正，反反
C．正正，正反，反正，反反 D．正反，反正
解析：两枚硬币是有区别的，共会出现正正、正反、反正、反反四种情况．
答案：C4．指出下列试验的结果：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中一次任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．解：(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9，
3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4.[例3] 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示： [一点通] (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．5．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形
出现了6次，则 ( )
A．正面朝上的概率为0.6
B．正面朝上的频率为0.6
C．正面朝上的频率为6
D．正面朝上的概率接近于0.6答案：B6．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？ 1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)． 2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．点击下图片进入“应用创新演练”课件43张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.1
随机事件的概率第三章
概率3.1.2
概率的意义 经市场抽检，质检部门得知市场上的食用油合格率为80%，现将对市场上的100个品牌的食用油进行检查．
问题1：这100个品牌油一定有20个不合格，对吗？
提示：不对
问题2：这100个品牌油可能有20个不合格，对吗？
提示：对 问题3：以你对合格率的理解，这100个品牌的食用油，不合格的应有多少个？
提示：可能有20个，也可能一个没有 1．对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有 ，认识了这种随机性中的 ，就能比较准确地预测随机事件发生的 ．规律性规律性可能性 2．游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均是等可能的，所以这个规则是 的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．公平 3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“ ”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．使得样本出现的可能性最大 4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个 ，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的 为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也 ，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是 的．随机事件概率可能不出现错误 5．孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种 规律．
以豌豆为例说明孟德尔发现的杂交规律，假设纯黄色为显性，记为YY，纯绿色为隐性，记为yy：统计 第二代中YY，yy出现的概率都是 ，Yy出现的概率为 ，所以黄色豌豆(YY，Yy)∶绿色豌豆(yy)≈ .3∶1 1．概率意义下的“可能性”是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”、“估计”是不同的．
2．概率是随机事件发生可能性大小的度量、是事件A的本质属性．即事件A的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．根据概率的定义我们可知，事件A的概率越大，事件A发生的频率就越大，此事件发生的可能性就越大；反之，事件A的概率越小，事件A发生的频率就越小，此事件发生的可能性就越小．概率的大小对我们的决策起决定性的指导作用． [一点通] 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识．C．某地发行福利彩票，其回报率为47%.有个人花了
100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率答案：D2．本例中如果掷一枚质地均匀的硬币10次，前5
次都是正面向上，那么后5次一定都是反面向上，这种说法正确吗？[例2] 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，若随机地抽取一箱，再从此箱中任意抽取一球，结果取得白球，则这个球最有可能是从哪一个箱子中抽出的？
[思路点拨] 作出判断的依据是“样本发生的可能性最大”．由极大似然法知，既然在一次随机抽样中抽到
白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出
的，所以我们作出统计推断，该白球是从甲箱
中抽出的． [一点通] 统计中极大似然思想的概率解释：在一次试验中概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．在解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一统计思想来进行科学决策．3．(2012·衡阳高一检测)同时向上抛100个铜板，结果落
地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况 ( )
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50
个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80
个两面是不相同的
解：落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然
法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．
答案：A4．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球
和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．答案：白球[例3] 为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数． [一点通] 此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力，解题的关键是假定每个样本被抽取的可能性是相等的，可用样本的频率近似估计总体的概率，或由此列出方程，求出数据．5．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品
中合格品的个数最可能为 ( )
A．160件 B．7 840件
C．7 998件 D．7 800件
解析：根据频率与概率的关系可以估算次品数为
8 000×2%＝160，所以合格品的个数为7 840.
答案：B6．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼
卵能孵化8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位) 1．随机事件的发生既是随机的，又是有规律的．每次试验的结果是随机的，大量试验的结果才呈现出其规律性．
2．概率体现了随机事件发生的可能性，故可用样本的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．点击下图片进入“应用创新演练”课件48张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.1
随机事件的概率第三章
概率3.1.3
概率的基本性质 标号为1,2,3,4的4个球，从中任取1个，可得如下事件：
A＝{标号为1}，B＝{标号为3}，C＝{标号为奇数}，
D＝{标号为偶数}，E＝{标号大于2}
问题1：事件A发生时，事件C一定发生吗？
提示：一定发生
问题2：只有A发生时C才发生吗？
提示：不是，当且仅当A或B发生时事件C发生问题3：当事件C和E都发生时哪些事件一定发生？
提示：事件B一定发生
问题4：事件C和事件D能同时发生吗？
提示：不能同时发生，但必有一个发生1．事件的关系与运算事件A或事件B发生事件A发生且事件B发生A∪B(或A＋B)A∩B(或AB)一定发生不可能事件B?A(或A?B)A∩B＝?不可能事件必然事件 2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围 ．
(2) 的概率为1， 的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝ ．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝ ．
P(A∪B)＝ ，P(A∩B)＝ .[0,1]必然事件不可能事件P(A)＋P(B)1－P(B)10 互斥事件与对立事件的判定：
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件是互斥事件，且必须有一个要发生． (2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA.[例1] 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
[思路点拨] 可根据互斥事件与对立事件的定义理解或利用集合观点去判断．[精解详析] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． [一点通] 判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的，二是考虑事件的交事件和并事件，可考虑用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可列出全部结果，再进行分析．1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参
加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )
A．至少有1名男生与全是女生
B．至少有1名男生与全是男生
C．至少有1名男生与至少有1名女生
D．恰有1名男生与恰有2名女生解析：对于A，至少有1名男生指1男1女或两男，而全是女生是指2女，是互斥事件且是对立事件；
对于B，至少有1名男生与全是男生不是互斥事件更不是对立事件；
对于C，至少有1名男生与至少有1名女生不是互斥事件更不是对立事件；
对于D，恰有1名男生指1男1女，而恰有2名女生指2女；故是互斥事件但不是对立事件．
答案：D2．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有
一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，对立事件是 ( )
A．① B．②④
C．③ D．①③解析：从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，按所取的数的奇偶性有3类结果：一个奇数和一个偶数或两个奇数或两个偶数．则①②④不是互斥事件；③中至少有一个是奇数与两个都是偶数不能同时发生，且必有一个发生，是对立事件．
答案：C [思路点拨] 本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”所包含的结果是什么，分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算． [一点通]
1．当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算．
2．使用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，必须判断A，B是互斥事件． 3．在第3、6路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只
能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里．已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为 ( )A．0.20 B．0.60
C．0.80 D．0.12
解析：由车站只停靠一辆公共汽车，所以3路车停靠与6路车停靠为互斥事件，由互斥事件加法公式有0.20＋0.60＝0.80.
答案：C4．向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸
中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸．则军火库发生爆炸的概率．解：设A，B，C分别表示炸中第一，第二，第三军火库这三个事件，于是P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A＋B＋C.
其中A，B，C是互斥事件，因为只投掷了一颗炸弹，不会同时炸中两个或三个军火库．
∴P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.[例3] 据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：(1)求至多2人排队等候的概率；
(2)求至少2人排队等候的概率．
[思路点拨] 利用互斥事件的概率公式或对立事件求概率．[精解详析] 记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥．
(1)至多2人排队等候的概率是
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，
故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74. [一点通] 求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决．5．(2012·凌海高一检测)从一箱产品中随机地抽取一件，
设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3解析：由已知得P(抽到的不是一等品)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案：C6．某同学军训时打靶一次击中10环、9环、8环的概率分别
是0.3,0.3,0.2，那么他射击一次不够8环的概率是____．
解析：设击中10环、9环、8环的事件分别为A、B、C，不够8环的事件为D，则事件A、B、C两两互斥，
∴P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－P(A)－P(B)－P(C)＝
1－0.3－0.3－0.2＝0.2.
答案：0.27．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是
0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，计算：
(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；
(2)小明考试及格的概率．解：分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)
＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是P(A)＝1－0.07＝0.93. 1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥． 2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
如果事件不互斥，上述公式就不能使用！ 3．（1）求复杂事件的概率通常有两种方法：
方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；
方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．
（2）如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．点击下图片进入“应用创新演练”课件47张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.2
古典概型第三章
概率 掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上．
问题1：这个试验共有哪几种结果？基本事件总数是几？
提示：共有正正、正反、反正、反反四种结果，基本事件总数是4
问题2：事件A＝{恰有一次正面向上}包含哪些试验结果？
提示：正反、反正
问题3：问题2中事件A的概率是多少？ 1．基本事件有如下特点
(1)任何两个基本事件是 ；
(2)任何事件都可以表示成基本事件的 ．
2．古典概型的概念
如果某类概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件 ；互斥的和只有有限个可能性相等 (2)每个基本事件出现的 ．
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝ . 一个概率模型是否为古典概型，在于这个试验的基本事件是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件为“发芽”，“不发芽”，而“发芽”与
“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的．又如，从规格直径为300 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个．这两个试验都不属于古典概型．[例1] 列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数．
(1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；
(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验．
[思路点拨] 根据基本事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，即得基本事件．但要做到不重不漏．[精解详析] (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件．
分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}共3个．
(2)从袋中取两个球的等可能结果为：
球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，
球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，
球3和球5，球4和球5.
故共有10个基本事件． [一点通]
1．求基本事件的基本方法是列举法．
基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事
件；②两个基本事件不可能同时发生．
2．当基本事件个数较多时还可应用列表或树形图求解．1．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中
随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．6解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
答案：C2．一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球
和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有的基本事件；
(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？解：(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球，基本事件共有6个：(白，黑1)、(白，黑2)、(白，黑3)(黑1，黑2)(黑1，黑3)、(黑2，黑3)．
(2)事件“摸出的2个球是黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，包括3个基本事件.[例2] 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5且小于10的概率．
[思路点拨] 用坐标法找出基本事件总数n和事件A发生的基本事件数m，用公式求解．[精解详析] 从图中容易看出，
基本事件与所描点一一对应，
共36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”的
事件为A，从图中可以看出，
事件A包含的基本事件共有9个： [一点通]
1．借助坐标系求基本事件的方法：
(1)将基本事件都表示成(i，j)的形式，其中第一次的试验结果记为i，第二次的试验结果记为j.
(2)将(i，j)以点的形式在直角坐标系中标出，点所对应的位置填写i，j之和(差或积，看题目要求)．
(3)看图，找出符合条件的基本事件．答案：C4．(2012·临沂高一检测)先后抛掷两枚骰子，骰子朝上
的面的点数分别为x，y，则满足log2xy＝1的概率为________．5．一个盒子中放有5个完全相同的小球，其上分别
标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个，记下号码后放回．再取出1个，记下号码后放回，按顺序记录为(x，y)，求所得两球的和为6的概率．解：列出所有的基本事件，共25个，如图所示．[例3] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球；
(3)C：取出的两球中至少有一个白球．
[思路点拨] 先列举出所有的基本事件，求出事件A，B包含的基本事件，再由公式求出P(A)，P(B)．[精解详析] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 2．对含有“至多”“至少”等类型的问题，直接求解比较困难或者比较繁琐时，可先求其对立事件的概率，再求解．答案：A7．(2011·福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个
球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．8．从装有编号分别为a，b的2个黄球和编号分别为c，d的
2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：
(1)第1次摸到黄球的概率；
(2)第2次摸到黄球的概率．点击下图片进入“应用创新演练”课件47张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.3
几何概型第三章
概率考点四 我们做这样一个试验：往一个圆木盘上掷飞镖，飞镖可能落在圆盘上的任何一个位置．
问题1：本试验的结果有多少个？
提示：无限个
问题2：每个试验结果出现的可能性机会均等吗？
提示：均等 问题3：它与古典概型有何区别？
提示：古典概型中试验结果是有限的，而本试验的结果是无限的 1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 ．
(2)每个基本事件出现的可能性 ．长度(面积或体积)无限多个相等 3．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：
P(A)＝ . 1．从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关． 2．用几何概型的概率公式来计算事件发生的概率时，适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．[例1] 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长大于AC的长的概率．
[思路点拨] 点M随机地落在线段AB上，故试验所有点所在的区域为线段AB，在AB上截取AC′＝AC，则当点M位于线段BC′上时，AM>AC.故“AM的长度大于AC的长度”的度量为BC′. [一点通] 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．答案：D2．取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置
剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？[例2] 在平面直角坐标系中，过O在第一象限内任作一条射线OA，求OA与x轴的夹角小于60°的概率．
[思路点拨] 确定OA的边界位置，利用公式求概率．答案：C4．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，
以圆心O为起点作射线OC，求使得
∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．[例3] 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽
20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
[思路点拨] 海豚在水池中自由游弋，其位置有无限个，且在每个位置是等可能的，故这是几何概型问题，海豚游弋区域的面积与水池面积之比就是所求的概率．[精解详析] 如图，实验的全部结
果构成的区域Ω是长30 m、宽20 m
的长方形．图中阴影部分表示构成
事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”的区域，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率． [一点通] 解此类几何概型问题的关键是：
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题．
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．答案：B6.一个投针实验的模板如图所示，AB
为半圆O的直径，点C在半圆上，
且CA＝CB.现向模板内任投一针，
则该针恰好落在△ABC内(图中的阴影区域)的概率是________．[例4] (2012·中山高一检测)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．
[思路点拨] 利用体积比求概率．答案：D8．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随
机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．答案：0.0051．几何概型的计算步骤：2．几何概型与古典概型：点击下图片进入“应用创新演练”课件16张PPT。第三
章
概率章末
小结
知识整合与阶段检测核心要点归纳阶段质量检测 一、随机事件的概率
1．有关事件的概念
(1)必然事件：我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件． (3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示． 2．对于概率的定义应注意以下几点
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1. 二、互斥事件与对立事件
1．互斥事件与对立事件的概念的理解
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况． (2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝?，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠?，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．
(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝?，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)． 2．互斥事件概率的求法
(1)若A1，A2，…An互斥：
则P(A1∪A2∪…An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(2)利用这一公式求概率的步骤是：①要确定这一些事件彼此互斥；②这一些事件中有一个发生；③先求出这一些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的． 2．几何概型的概率求法：
(1)确定几何度量(长度、面积、体积)．
(2)计算试验对应的几何度量u(Ω)和所求事件对应几何度量u(A)．
(3)代入公式可求解．点击下图片进入“阶段质量检测”
