19.2 特殊的平行四边形[下学期]

19.2　特殊的平行四边形
课时安排：8课时
第9课时　　19.2.1矩形（1）
三维目标
一．知识与技能
1.理解矩形定义。
2．掌握矩形的性质。
二．过程与方法
1．经历探究矩形性质的过程，通过直观操作和简单推理发展学生的推理论证能力，培养学生的主动探究习惯。
2.掌握矩形的性质并能利用它解决简单的实际问题。
三．情感态度与价值观
通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透转化思想，学会类比的研究方法，体会矩形的内在美和应用美。
教学重点
矩形的性质及其应用。
教学难点
灵活应用矩形的定义和性质解决问题。
教具准备：平行四边形活动框架；三角尺。
教学过程
一、用运动方式探索矩形的概念及性质
1、复习平行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质．
2、复习平行四边形和四边形的关系．
3、用教具演示如图19.2-2中，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系．
（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．
（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“有一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形．
（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．
（4）从边、角、对角线方面，让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质．
①边：对边与平行四边形性质相同，邻边互相垂直（与性质定理1等价）．
②角：四个角是直角（性质定理 1）．
③对角钱：相等且互相平分（性质定理2）．
4、证明矩形的两条性质定理及推论．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、应用举例
例1已知：如图 19.2-3，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比 AD边长4 cm．求 AD的长及A到BD的距离AE的长．
图 19.2-3
（1）矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，在此可以让学生作一个系统的复习，在直角三角形中，
边：
角：两锐角互余.
边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半。
（2）解：设AD=xcm, 则对角线长（x+4）cm, 由题意，x2+82=(x+4)2.解得x=6.
（3）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例 2：如图19.2-4（a），在矩形 ABCD中，两条对角线交于点 O,∠AOD＝ 120°， AB＝ 4．求：
图19.2-4（a） 图19.2-4（b） 图19.2-4（c）
（1）矩形对角线长；（2）BC边的长;（3）若过O垂直于BD的直线交AD于E，交BC于F（图19.2-4（b））．求证： EF＝BF， OF=CF；（4）如图19.2-4（c），若将矩形沿直线MN折叠，使顶点 B与D重合，M，N交AD于M，交BC于N．求折痕MN长．
例3已知：如图19.2-5，E是矩形ABCD边CB延长线上一点， CE＝ CA， F为AE中点．求证：BF⊥FD．
证法一如图19.2-5，由已知“CE=CA，F为AE中点”，联想到“等腰三角形三合一”的性质.
连结FC，证明∠1+∠2=90，问题转化为证明∠1=∠+3，这可通过△AFD≌△BFC（SAS）来实现.
证法二 如图19.2-5（b），由求证“BF⊥FD”联想“等腰三角形三线合一”，构造以DF为底边上高的等腰三角形，分别延长BF，DA交于G，连结BD，转化为证明△BDG为等腰三角形以及F为GB中点，这可通过△AGF≌△EBF（ASA）及GD=EC=AC=BD来实现。
三、师生共同小结
矩形与平行四边形的关系;指出由平行四边形得到矩形，只需要增加一个条件：一个角是直角.
矩形的概念及性质。
矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明。
四、作业：（一）课本第112页1,2题，
（二）补充题：
1、如图4-34，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE: ∠EDC=2:3,求：∠BDE的度数.(答：18°)
2、如图4-35，折叠矩形ABCD纸片，先折出折痕BD，再折叠使A落在对角线BD上A′位置上，折痕为DG。AB=2，BC=1。求：AG的长。（答5-12）。
1、 板书设计
19.2.1矩形（1）
1． 矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形――特殊的平行四边形。
2.矩形的性质
（1）具有平行四边形的性质。
（2）还具有一一般平行四边形不具备的性质：四个角都是直角，对角线相等。
3.应用举例
（1）直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。
（2）补例
4．小结
第10课时　19.2.1 矩形的性质（二）
三维目标：
一．知识与技能：理解并掌握矩形的定义；掌握矩形的性质定理1、2及推论；3、会用这些定理进行有关的论证和计算；
二．过程与方法：培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
三．情感态度与价值观：在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：矩形的性质定理1、2及推论。
教学难点：定理的证明方法及运用。
教学方法：讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法。
教学用具：小黑板、投影仪、圆规、三角板、矩形木架一个。
一、复习创情导入
1、复习：
（1）平行四边形的对角相等；
（2）平行四边形的对角线互相平分；
(3) 矩形的角有什么特点呢？
(4) 矩形的对角线有什么特点呢？
二、新授
1、提出问题
（1）矩形的定义？
（2）矩形的性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明
（3）矩形的性质定理2的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明
（4）矩形的性质定理的推论的内容是什么？写出已知、求证，怎样证明？
（5）例1的解答过程中，运用哪些性质？
2、自学质疑：自学课本P83-85页，完成预习题，并提出疑难问题。
3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳：
(1)矩形的定义：它具备两个性质（ ）
(2)矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角。
已知：在矩形ABCD中，∠A=900，
求证：∠B=∠C=∠D=900。（邻角互补）
(3)矩形的性质定理2：矩形的对角线相等。
已知：矩形ABCD，对角线AC、BD，
求证AC=BD。（证明三角形全等）
(4)推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知：直角三角形ABC中，∠B=900，OA=OC，求证：OB=AC。
5、尝试练习：
(1) 跟踪练习1----4。
(2)运用所学解决实际问题：
例1：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=1200，AB=4cm，求矩形对角线的长。
解：四边形ABCD是矩形，
所以 AC=BD（矩形的对角线相等）
又因为OA=OC=1/2BD，
所以OA=OD。
所以∠AOD=1200，
所以∠ODA=∠OAD=1/2（1800-1200）=300。
又因为∠DAB=900（矩形的四个角都是直角）
所以BD=2AB=2×4cm=8cm.
（3）跟踪练习5。
（4）达标练习1-----4。
三、课堂小结：
（1）矩形的判定有什么依据？（定义：有一个角是直角的平行四边形）（两个条件）
（2）矩形有哪些性质？（矩形是平行四边形（定义））
定理1：矩形的四个角都是直角。定理2：矩形的对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
四、（一）跟踪练习题：
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 。
（2）有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
（3）矩形的对角线互相平分。（ ）
（4）矩形的对角线 。
（5）矩形的一边长为15cm，对角线长17cm，则另一边长为 ，该矩形的面积为 。
（二）创新练习题：
（1）矩形的对角线把举行分成（ ）对全等的三角形。
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
达标练习题：
（1）已知矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则矩形的边长分别为 、 、 、 。
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为300，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 。
（3）矩形的两条对角线的夹角为600，对角线长为15cm，较短边的长为（ ）
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
（4）在直角三角形ABC中，∠C=900，AB=2AC，求∠A、∠B的度数。
（三）综合应用练习：
（1）已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED。
（2）如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数。
（四）预习：
（1）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？ 根据题设和结论写出已知、求证；如何证明？
（2）矩形性质定理1的逆命题是否是真命题？ 根据题设和结论写出已知、求证；如何证明？
（3）例2的解答中，运用了哪些性质及判定？
第11课时　　19.2.1　矩形的判定（1）
三维目标
一． 知识与技能：
理解矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达．
二． 过程与方法：
经历探索矩形的判定过程，培养实验探索能力．形成几何分析思路和方法．
三． 情感态度与价值观：
注重推理能力的培养，会根据需要选择有关的结论证明．体会理论来自于实际的需要．
重难点、关键
重点：理解矩形的判定定理，培养分析思路．
难点：培养几何推理能力，形成分析思路．
关键：通过平行四边形的特殊图形切入本节课的问题，用平行四边形的概念迁移．
教学准备
教师准备：教具：仍用上一节课使用过的活动平行四边形框架，制作投影片．
学生准备：复习上一节内容，预习本节课内容．
教学过程
一、回顾交流，拓展延伸
1.教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定．
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
也就是说：证明一个四边形是矩形可先证这个四边形是平行四边形，然后再证这个平行四边形有一个角是直角．
构架：先证→再证一个Rt△→矩形．
2.考虑到对角线，因为四边形的两条对角线在保持互相平分的前提条件下，无论怎么伸缩，它们的长度都是相等时，平行四边形将变为矩形．（如图）
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形．
教师解释：也就是说，要证明一个四边形是矩形，先证它是平行四边形，再证两条对角线相等．
归纳：先证→再证对角线相等→矩形．
证明思路：如上图，可应用“SSS”证明由△ABC≌△DCB，得∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，平行四边形ABCD是矩形．（教师也可以请学生上台“板演”）．
3.请学生按书本中李芳的画图步骤，画出一个四边形，感受一下李芳的判断，发表自己的见解．
证明：如右图，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC．
同理 ∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，
∴得到四边形ABCD是矩形．
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形．
4. 归纳矩形的判定方法（学生进行）
（1）定义：是平行四边形，并且有一个是直角．
（2）角的定义：是平行四边形，并且有三个角是直角．
（3）对角线的关系：是平行四边形，并且两条对角线相等．
二、范例点击，应用所学
例（补充材料）
如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥DB，交于O、E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．（教师用投影显示题目）．
教师活动：分析例子的证明思路，引导学生利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，切入点：凡中点问题都可以考虑用中位线定理，然后再引导学生去证一个角是直角，如证∠HEF=90°．
学生活动：在教师引导下，很快找到△ADC，并知道EH是这个三角形中位线，从而证得EHAC，同理FGAC，∴EHFG．证出四边形EFGH是平行四边形．然后通过AC⊥DB，可证出∠FEH=90°，从而证出四边形EFGH是矩形．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P106 “练习” 1，2
2． 如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCED是矩形．（用两种证法）
（提示：证法1．连结DC，BE，利用先证平行四边形再证DC=BC可得，证法2．从定义出发）
四、课堂总结，发展潜能
判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
五、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 3
2．学生课后归纳总结矩形的性质和判定。
2、 板书设计
略。
第12课时　　矩形判定练习课
1．矩形一条长边的中点与其对边的两端点的连线互相垂直，已知矩形的周长为24cm，则矩形的面积是_______．
2．如果矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，且∠BOC=120°，AB=3cm，那么矩形ABCD的面积为________．
3．下面命题正确的个数是（ ）．
（1）矩形是轴对称图形
（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段
（3）两条对角线相等的四边形是矩形
（4）有两个角相等的平行四边形是矩形
（5）有两条对角线相等且互相平行的四边形是矩形
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（ ）．
A．57.5° B．32.5°
C．57.5°、33.5° D．57.5°、32.5°
5．如图，矩形ABCD中，AF=CE，求证：AECF是平行四边形．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E、D、F，求证：PE-PF=CD．
7．已知：如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：S矩形ABCD=S△BCF．
8．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，请你求出这个平行四边形的一个最小内角的值等于多少？
9．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长．
第13课时　　菱形（1）
三维目标
一．知识与技能
1．知道菱形的定义和菱形的两个性质，知道用对角线长来计算菱形的面积的公式。
2．会用菱形的定义和性质来进行有关的论正和计算；会用菱形的对角线来计算菱形的面积。
二．过程与方法
1.经历探究性质的菱形过程，通过操作发现特征，进一步发展学生的合理的推理能力。
2．探索并掌握菱形的性质。
3．通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“一般与特殊”的认识。
三．情感态度与价值观
1. 在探究菱形性质的过程中，享受成功的喜悦，提高学习数学的兴趣。
2. 进一步渗透类比与转化的数学思想。
教学重点：菱形的性质与应用。
教学难点：菱形的性质定理1、2
教具准备：
教学过程：
1、 复习创情导入
复习矩形的性质和判定方法：
（1）性质有：定理1，矩形的四个角都是直角；
定理2，矩形的对角线相等；
推论，直角三角形斜边的中线是斜边的一半。
（2）矩形的判定方法有：定义：有一个角是直角平行四边形
定理1：三个角是直角四边形
定理2：对角线相等平行四边形
二、讲授新课
1、 提出问题：（让学生自学并质疑）
（1）菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？有哪两个条件？
（2）性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明。
（3）性质定理2的内容是什么？写出已知、求证，并证明；还有其他方法进行证明吗？
（4）菱形的面积公式是什么？如何证明这个公式？
2、反馈归纳：
（1）菱形的定义是？它能否作为菱形的判定？有哪两个条件？
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）性质定理1的内容是什么？写出已知、求证，并证明。
已知：菱形ABCD，求证：AB=BC=CD=DA。
指导：邻边相等+对边相等+等量代换。
（3）性质定理2的内容是什么？写出已知、求证，并证明；还有其他方法进行证明吗？
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。
A，等腰三角形；B，到线段两端点距离相等的点C，三角形全等；
（4）菱形的面积公式是什么？如何证明这个公式？
四个全等的直角三角形的面积。让学生推理
三．应用举例：
例2：如图，菱形花坛ABCD的边长为20M，ABC＝600，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
四．课堂练习
1.已知：如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，
求证：四边形AEDF是菱形。运用定义判定。
2.已知：如图，菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD=1200,对角线AC、BD相交于O，求对角线长和面积。
　　　　　　　　　　　练习1　　　　　　　　　　　　　练习2
五．课堂小结
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）
性质定理1，菱形的四条边都相等；
性质定理2，菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
六．布置作业：习题19.2　5、6、9　
七．板书设计　
19.2.2 菱形（1）
1.菱形的定义
2.菱形的性质：边：四条边相等
角：对角相等
对角线：互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
3.
第14课时　　菱形（2）
三维目标：
一．知识与技能
1．能说出菱形的两个判定定理，并会用它进行相关的论证和计算。
2．会根据已知条件画出菱形。
二．过程与方法
1．经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的科学探索精神。
2．探索并掌握菱形的判定方法。
3．利用菱形的判定方法进行合理的论证和计算。
三．情感态度与价值观
1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解，养成主动探索的学习习惯。
2．通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比的思想方法的作用。
教学重点
菱形的判定定理的探究。
教学难点
菱形的判定定理的探究和应用。
教学方法：启发式教学
教学过程：
1． 创设情境，引入新课
1． 由菱形的定义判别菱形，
教师明确菱形的定义既是菱形的性质，又可以作为菱形的第一种判别方法，
即：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2．菱形还有其他的判别方法吗？
二．问题探究：
1．结合教具提出问题
用一长一短两根细木条，在它的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形（如图）
（1） 任意转动该木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？
（2） 继续转动木条，观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？
（3） 你能证明你的猜想吗？
2．学生根据猜想尝试证明。
三： 例题评析
例3：如图, 平行四边形ABCD的对角线AC和BD交与点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3，求证：平行四边形ABCD是菱形。
（1）教师组织学生交流，并引导学生选择恰当的判别方法。
教师指导学生完成论证，并规范证明。
（2）证明：
四．探究活动：
观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形？
教师演示画菱形的过程：先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD就画出了菱形ABCD
（1）学生观察，思考。
学生充分思考后，开展讨论，共同寻求该四边形是菱形的原因。
（2）你能得到什么结论？
学生从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。
五：例题评析
补例：
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形。
学生独立思考，教师点拨证明的思路。
六．课堂练习：P110练习　2、3题
七：总结提高：
1．通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么认识？
2．菱形有哪几种证明的方法？
八：作业布置 ：P113 6 、10
九：板书设计
19.2.2 菱形（2）
1.菱形的判定方法
（1）定义：邻边相等的平行四边形
（2）判定定理：对角线互相垂直的平行四边形
　　　　　　　　四边相等的四边形
2.应用举例
3随堂练习
4.小结提高
第14课时　19.2.3　正方形（1）
三维目标
一．知识与技能
1.能说出正方形的定义和性质。
2.会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算。
二．过程与方法
1.经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合理论证能力。
2.通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形，矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系。
三．情感态度与价值观
1.在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情。
2.进一步加深对“特殊到一般”的认识。
教学重点
正方形的定义和性质。
教学难点
选择适当的方法解决有关正方形的问题。
教具准备
教学过程
一、合作探究，导入新课
举例：生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．
提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．
组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
正方形性质：
（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
二、实践应用，探究新知
1.　演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．
思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了．
证：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，
∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．
（2）由（1）知△BOM≌△CON，
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
2.演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形．
思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质．
证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a．
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，
CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴EF2+CF2=CE2．
由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．
三、继续探究，学习新知
教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
归纳总结出判定正方形的方法如下：
1．是矩形，并且有一组邻边相等．
2．是菱形，并且有一个角是直角．
例4 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P112 练习1，2，3．
2.如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．
思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和，高为2和；其二，两组对边分别为1和2，高为4和；其三，两组对边分别为2和2，高为2和；其四，两组对边分别为4和，高为1和，图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为、2、2；另一个的四条边长分别为1、3、、，图形略．
五、课堂总结，发展潜能
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）
边 角 对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
六、布置作业：课本P112 习题19．2 8，13，15，17
七．板书设计
19.2.3　正方形（2）――练习课
教学目的：通过练习让学生学会正方形的判定方法：根据定义。
1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．
3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
4．四条边都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．
6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？
9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
答案:
1．2+2-1 2．112.5° 3．A 4．B
5．提示：证△ADM≌△AKB
6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果
7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，
（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）
8． 9．叙述有道理即可．
正方形复习教案
张伟
教学目标：
1、 综合运用正方形的知识进行相关的证明与计算
2、 能够正确的添加辅助线解决正方形中的一些问题。
教学重点： 正方形中的计算与证明
教学难点：正方形中相关辅助线的添加
教具准备：
教学过程：
1、 相关知识复习：
1、性质 边：四边都相等
角：四个角都是直角
对角线：互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
2、特别总结：（如图）
AC=______AB
PE+PF=_________
S正方形=_________=_________。
3、判定方法
一组邻边相等
平行四边形 正方形
有一个角是直角
一组邻边相等
矩 形 正方形
对角线互相垂直
有一个角是直角
菱 形 正方形
对角线相等
2、 基本性质运用
1、 正方形的边长为，则对角线长为______，若对角线长为1，则正方形的边长为_______。
2、 已知正方形ABCD的边长为2，P是AB边上一点，则P到AC和BD的距离之和为_______。
3、 以正方形ABCD的边AB为边作等边三角形ABE，①当E在正方形内部时，则∠DEC=________②当E在正方形外部时，则∠DEC=________
4、 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，
∠1+∠2+∠3=________。
3、 典型例题
在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E、F
求证：四边形CFDE是正方形
（思路：先证明是矩形，在证明一组邻边相等）
2.练习：
在Rt△ABC中，∠C=90，∠A与∠B的平分线相交于点D，DF⊥BC交BC于点F，DE⊥AC交AC于点E
求证：四边形CEDF是正方形
（思路：过D作DM⊥AB于M）
4、 正方形中的中点问题
例题：E为正方形ABCD边BC的中点，
AE平分∠BAF
求证：AF=BC+CF
总结：在正方形中有中点时，通常延长跟中点有关的线段构造全等三角形。
有角平分线时，通常过角平分线上的点向角的两边引垂线。
有中线时，通常加倍中线，构造全等三角形。
练习：
在正方形]ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF相交于P点。
求证：①BE⊥CF
②AP=AB
五．课堂小结：
A
B
D
C
P
E
F
O
1
2
3
A
D
B
C
E
F
1
C
A
B
D
E
F
M
A
B
C
D
E
F
M
A
B
C
D
E
F
M
C
A
B
D
E
F
M
N
A
B
C
D
P
M
O
A
B
C
D
E
M
P