华师大版数学九年级上册 23.3 相似三角形 教案

23.3 相似三角形
1.相似三角形
※教学目标※
【知识与技能】?
能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边.?
【过程与方法】?
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养合情推理能力和初步的逻辑推理意识.?
【情感态度】?
在探索活动中，增强发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯.?
【教学重点】?
相似三角形的概念.?
【教学难点】?
相似三角形概念的应用.
※教学过程※
一、复习引入?
什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、探索新知?
1.相似三角形的有关概念?
（1）相似三角形的定义：?
如果在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.?
“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”.如△ABC∽△A′B′C′读作△ABC相似于△ABC.?
（2）相似比.?
如果记=k,那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.?
相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，即指=k,那么△ABC与△A′B′C′的相似比应是,就不是k了，应为.?
(3)当相似比k=1时，两个相似三角形是全等三角形.?
2.相似三角形与全等三角形的关系?
全等三角形是相似三角形的特例；但相似三角形不一定是全等三角形，只有当相似比k=1时，两个相似三角形才是全等三角形.?
3.探索一：如图，在△ABC中，D为边AB上的任一点，作DE∥BC，交边AC于点E，求证：△ADE∽△ABC.?
证明：∵DE∥BC，?
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，?
（平行线分线段成比例）.?
?
过点D作AC的平行线交BC于点F，?
（平行线分线段成比例），?
∵DE∥BC，DF∥AC，?
∴四边形DFCE是平行四边形，?
∴DE=FC.?
?
又∵∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A，?
∴△ADE∽△ABC（相似三角形的定义）.
探索二：如图，DE∥BC，△AED与△ABC还相似吗？（教师引导，学生自主完成证明）.?
结论:平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.??
【例】 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长.?
分析：先判断△ADE∽△ABC，再由D是AB边的三等分点得到相似比为,进而求BC的长.?
解：∵DE∥BC，?
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似），
∴BC=3DE=15.?
三、巩固练习?
1.如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形.
??
第1题图 第3题图?
2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？?
3.如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12.求四边形DECF的周长.??
答案：1.△OAB∽△OBC∽△OCD∽△ODA∽△BAC∽△DAC∽△ABD∽△CBD.
2.较大三角形的周长是90，较小三角形与较大三角形周长的比是.
3.∵点D是边AB的四等分点，∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC.∴DF=3，CF=6.又∵DE∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形.
∴四边形DECF的周长是18.?
四、归纳小结?
1.书写相似三角形时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易地找到相似三角形中的对应角、对应边.?
2.相似比有顺序性.?
3.相似三角形中，对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角.?
4.最大（小）的边（角）与最大（小）的边（角）是对应边（角）.
※课后作业※?
教材第75页习题23.3第1、2题.
2.相似三角形的判定
第1课时 利用两角对应相等判定
※教学目标※
【知识与技能】?
1.会说出识别两个三角形相似的方法：两角分别相等的两个三角形相似.?
2.能依据条件，正确判断两个三角形相似.?
【过程与方法】?
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识.?
【情感态度】?
经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步提高探究、交流能力，养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯.?
【教学重点】?
用相似的判定定理判定两个三角形相似.?
【教学难点】?
综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.
※教学过程※
一、复习引入?
复习全等三角形的判定方法：将边和角分类考察了几种不同情况，如：两边一角，两角一边，三角，三边.从而得到了一些重要的判定三角形全等的方法.?
那么，对于相似三角形的判定，是否也存在类似的分类与判定方法呢？
二、探索新知?
观察猜想：?
观察老师和同学们所用的三角尺，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”.?
探索：?
①画两个三角形，使它们的三个角分别相等.?
实际画图中，只画两个角相等，则第三个角一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的.?
②用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？?
③结论：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似.?
上述结论，你能不能使条件再简单些？?
相似三角形的判定定理1：?
两角分别相等的两个三角形相似.?
【例1】 如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C与∠C′都是直角，∠A=∠A′.求证：△ABC∽△A′B′C′.?
证明：∵∠C=∠C′=90°，?
∠A=∠A′，?
∴△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.?
此例告诉我们，两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.??
【例2】 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.求证：△ADE∽△EFC.
?
证明：∵DE∥BC，?
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.?
又∵EF∥AB，∴∠EFC=∠B，?
∴∠ADE=∠EFC，?
∴△ADE∽△EFC（两角分别相等的两个三角形相似）.?
三、巩固练习?
1.如图，DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形.??
第1题图 第2题图
2.找出图中所有的相似三角形，并说明理由.?
答案：1.△ABC∽△AFI∽△AEH∽△ADG.
△ABC∽△ACD∽△CBD.理由如下：∵CD⊥AB，∴∠ADC?=∠CDB=90°.
又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADC=∠CDB.又∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD.∴△ABC∽△ACD∽△CBD.?
四、应用拓展?
教材第66页“想一想”.?
在【例2】中，如果点D恰好是边AB的中点，则点E也是边AC的中点.此时，DE为△ABC的中位线，所以DE=.同理可得F也是边BC的中点.所以FC=易证△ADE≌△EFC.?
五、归纳小结?
全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定全等，二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.
※课后作业※?
教材第75页习题23.3的第3、5题.
第2课时 利用两边成比例且夹角相等或三边成比例判定
※教学目标※
【知识与技能】?
1.会说出识别两个三角形相似的方法：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似.?
2.能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似.?
【过程与方法】?
能够运用三角形相似的条件解决简单问题，进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识.?
【情感态度】?
经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步提高探究、交流能力，养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯.?
【教学重点】?
用相似的判定定理判定两个三角形相似.?
【教学难点】?
综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题.
※教学过程※
一、复习引入?
如图，AF∥CD，∠1=∠2，∠B=∠D.你能找出图中有几对相似三角形？相似的理由是什么？?
答：共有4对相似三角形，它们是△AEF∽△DEC，△AFB∽△ACD，△AEB∽△CED，△AEF∽△BEA.相似的理由一种是定义，一种是判定定理1.那么，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似呢？?
二、探索新知?
1.两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.?
（1）探索：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？?
（2）做一做：利用刻度尺和量角器画两个三角形△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，都等于给定的值k.比较∠B与∠B′（或∠C与∠C′）的大小，你能得出什么结论？?
（3）如果改变k值的大小，再试一试△ABC与△A′B′C′还相似吗？??
(4)结论：相似三角形的判定定理2：?
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.?
2.三条边对应成比例的两个三角形相似.?
（1）探索：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？?
（2）做一做：完成教材第69页“做一做”.?
（3）如果改变k值的大小,再试一试两个三角形还相似吗？?
（4）结论：相似三角形的判定定理3：?
三边成比例的两个三角形相似.?
【例1】 证明图中的△AEB和△FEC相似.?
证明：
(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).?
【例2】 在△ABC和△A′B′C′中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似.?
证明：
∴△ABC∽△A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似）.?
三、巩固练习?
依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似：?
（1）AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm;?
(2)∠A=80°,∠C=60°,∠A′=80°,∠B′=40°;?
(3)∠A=40°,AB=8,AC=15,∠A′=40°,A′B′=16,A′C′=30.??
答案：（1）相似 （2）相似 （3）相似

四、应用拓展?
【例3】 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，且=AD·AC，DE∥AB，试说明△BCD∽△BDE.?
证明：∵=AD·AC,?
又∵∠A=∠A，?
∴△ABC∽△ADB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.?
∴∠C=∠ABD（相似三角形的对应角相等）.?
又∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE.?
∴∠C=∠BDE.又∵∠DBC=∠EBD.?
∴△BCD∽△BDE（两角分别相等的两个三角形相似）.?
五、归纳小结?
相似三角形4种判定方法的综合应用.?
（1）先看题目是否有平行条件，如果有平行，就去找“A”型或“X”型相似.?
（2）找是否有两角对应相等.?
（3）若没有一组角对应相等，就看三边是否对应成比例.?
（4）识别和掌握常见的基本图形是寻找和发现相似的有效途径.
※课后作业※?
教材第75页习题23.3的第4题.
3.相似三角形的性质
※教学目标※
【知识与技能】?
说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.?
【过程与方法】?
培养由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力.?
【情感态度】?
经历探索相似三角形性质的过程，并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性.?
【教学重点】?
相似三角形性质的应用.?
【教学难点】?
相似三角形的判定和性质的综合应用.
※教学过程※
一、复习引入?
1.相似三角形的判定方法有哪些？?
2.相似三角形有哪些性质？?
3.三角形中的主要线段有哪些？
二、探索新知?
如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？?
1.相似三角形对应高的比等于相似比.?
证明：∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，?
∴∠ADB=∠A′D′B′.?
又∵∠B=∠B′，?
∴△ABD∽△A′B′D′.?
=k.??
2.若将上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？（学生用类比法进行研究，独立完成证明）?
结论：相似三角形对应角的平分线之比等于相似比.??
相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.?
3.相似三角形的周长比等于相似比.?
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,即
求证：
证明：?
=k
4.如图中（1）、（2）、（3）分别是边长是1、2、3的等边三角形，所以它们都是相似的，填空：?
（2）与（1）的相似比为 ，?
（2）与（1）的面积比为 ；?
（3）与（1）的相似比为 ，?
（3）与（1）的面积比为 ；?
（3）与（2）的相似比为 ，?
（3）与（2）的面积比为 .?
从上面可以看出当相似比为k时，面积比为.数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系.?
由此可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方.?
三、巩固练习?
1.相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为 ,对应边上的中线的比为 ,周长的比为 ,面积的比为 .?
2.如果两个三角形相似，相似比为3:5,那么对应角的平分线的比等于多少？?
3.若两个相似三角形的最大边长分别为35cm和14cm,它们的周长差为60cm,则较大三角形的周长是多少？?
4.在△ABC中，已知点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AB=30m,BD=18m,△ABC的周长为80m,面积为100m,求△ADE的周长和面积.??
答案：1.0.4 0.4 0.4 0.16 2.3:5
3.设较大三角形的周长是xcm,则较小三角形的周长是(x-60)cm.
根据题意，得.解得x=100.?
∴较大三角形的周长是100cm.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
∵AB=30m,BD=18m,∴AD=12m.
∴△ADE的周长=32m,△ADE的面积=16m.
四、归纳小结?
利用相似三角形的性质解题时，应特别注意“对应”，切忌混淆对应边的比与相似比中的前、后项的位置.
※课后作业※?
1.教材第72页练习第3题.?
2.如图，PN∥BC，AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D.?
（1）若
(2)若的值.?
4.相似三角形的应用
※教学目标※
【知识与技能】?
掌握利用三角形相似测量物体的高度或宽度的方法.?
【过程与方法】?
通过具体的实践活动体会相似三角形的应用.?
【情感态度】?
1.通过著名科学家的名句和如何测量神秘金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦.?
2.力求培养学生科学、正确的数学观，体现探索精神.?
【教学重点】?
构建相似三角形解决实际问题.?
【教学难点】?
利用相似三角形解决实际问题.
※教学过程※
一、情境导入?
给我一个支点我可以撬起整个地球.?
——阿基米德
二、探索新知?
1.数学建模?
（1）如图，铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？??
小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为多少米？?
思考:利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体长度的问题？?
概括:解决此类实际问题时，可构建相似三角形的模型，再利用对应边成比例建立等式，已知三个量去求第四个量.主要构建的两个基本图形是“X”型和“A”型.?
2.利用相似三角形测量物体的高度或宽度?
【例1】 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米，A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.??
解：∵太阳光是平行光线，?
∴∠OAB=∠O′A′B′.?
∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,?
∴△OAB∽△O′A′B′(两角分别相等的两个三角形相似)，?
??
【例2】 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.?（精确到0.1米）?
解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABD=∠ECD=90°,?
∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)，?
解得AB=≈96.7(米)?
答：河的宽度AB约为96.7米.??
3.利用相似三角形证明几条线段之间的乘积关系??
【例3】 如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C.
求证：AD·AB=AE·AC.?
证明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，?
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），?
∴AD·AB=AE·AC.?
三、巩固练习?
1.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么这幢高楼的高度是多少米？?
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，BC=6，梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍.求DE的长.??
3.如图，停车场的栏杆的短臂长为1.25m,长臂长为16.5m,当短臂端点下降0.85m时，长臂端点升高多少？（栏杆的宽度忽略不计）?
?
答案：1.?设高楼的高度为x米，则解得x=36.故这幢高楼的高度是36米.
2.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
又∵梯形DBCE的面积是△ADE面积的3倍，
∵BC=6,∴DE=3.
3.设长臂端点升高xm,则
解得x=11.22.故长臂端点升高11.22m.

四、归纳小结?
1.本节课重点是把实际问题转化为数学问题，即构建出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质来解决实际问题.?
2.让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力.
※课后作业※?
教材第75页习题23.3第6、7题.?
教材第95页复习题B组第17题.