16.1.1二次根式的概念 课件
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(共25张PPT)
人教版初中数学八年级下册
16.1.1二次根式的概念及定义
1.复习导入
2.新知授受
3.理解巩固
4.课堂小结
5.课后作业
教学目标
重点难点
1.知识与技能目标：掌握二次根式的定义及概念
2.过程与方法目标：掌握算术平方根与二次根式的联系
3.情感态度和价值观：树立正确的数学分析过程，提高自己的数感及符号意识
重点：从算术平方根的角度理解二次根式的概念，能够判断一个式子是否为二次根式
难点：通过二次根式的双重非负性求未知数的取值范围
复习导入
1.平方根的概念是什么？
性质
正数有两个平方根，互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根。
2.算术平方根的概念是什么？
性质
正数只有一个算术平方根，
0的算术平方根是0；
负数没有平方根。
问题引入
1.如图这张海报带给我们激情和对生活的憧憬。假设这张正方形海报的面积为5，那么它的边长是_________，面积为S的正方形边长是_________。
问题引入
思考：a可不可以等于-2？
问题引入
思考：能量E可以是负值？
人在平坦的地面上跑步，所累积的能量E与人自身的质量m和速度v的关系式为： ，如果用含m和E的式子表示v，则v=_________。
上述问题中的 有没有共同点？如果有，有哪些？
分析探究
（1）都有相同的符号，都可以表示某一个数或者式子的算术平方根
（2）在实例中都可以表示一个非负数（正数和0）
能否用自己的话概括二次根式
用数字、字母或者组合成的算术平方根
二次根式概念
一般地，把形如 的式子，称为二次根式，其中“ ”称为根号，看做算术平方根的简称。
根指数
深化概念
一般地，把形如 的式子，称为二次根式，其中“ ”称为根号，看做算术平方根的简称。
a不仅仅可以是一个数字，也可以是一个字母或者数字与字母的积与商
探究分析
是二次根式吗
答：这表示了两项之和，不满足二次根式定义
判断下面的式子哪些属于二次根式？
例题练习1
（3）
（2）
（1）
（4）
（5）
（6）
（8）
（7）
×
×
×
×
√
√
√
√
1.根指数要为2
判断二次根式的几个要素
2.被开方数整体要≥0
①多个字母型
②负数平方型
③非负平方型（无论n取什么值，被开方数整体都≥0）
例题探究1
解题分析：把x+2看成整体的被开方数，满足二次根式定义即可
解：要使式子在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥-2。
双重非负性
二次根式双重非负性
思维提升
当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解题分析：此时应分布满足二次根式有意义的成立条件，最终取共同的范围
解：要让式子 在实数范围有意义，
则x≥0，且x-2≥0，且分母 ≥0
所以x＞2
课堂练习1
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得 a＜ ；
（3）由 ≥0，得 a为任何实数．
a 取何值时，下列根式有意义？
课堂练习2
若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A、x≤2
B、x≥1
C、1≤x≤2
D、x≥2
解：要使式子在实数范围有意义，
必须 2-x≥0，x-1≥0同时成立
∴ 1≤x≤2
C
总结归纳
二次根式中求未知数的取值范围：
1.整体的被开方数≥0
2.在分母位置有关的式子都要≠0
最后利用不等式组求不等式的解集不要漏掉答案和范围
例题-非负数之和题型
解题分析：看起来式子复杂，但实际上是两个非负数之和，和为0，则每一个式子都要为0
非负数之和变式
解题分析：题目变成含x与y的关系式子，但实际上仍满足非负数之和的原理
二元一次方程组消元
巩固提升
解析：A项不管a取值多少，被开方数总大于零，D正好相反
B项被开方数小于0，C组不确定，∴正确答案为A
A
解：要使式子在实数范围有意义，
必须 x+3≥0，x-2≠0同时成立
∴ x≥-3且x≠2
解析：由题意，根据二次根式成立条件，
∴2x-5≥0，2x-5≤0
∴2x-5=0，即x=2.5∴y=0-3=-3，2xy=-15
-15
课堂小结
1.二次根式的定义及概念
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
2.二次根式的双重非负性
二次根式双重非负性
判断未知数的取值范围
3.二次根式的拓展应用
判断是否具备二次根式的条件
非负数的应用：先确定未知数范围，再求值
课程结束
人教版初中数学八年级下册
16.1.1二次根式的概念及定义
1.复习导入
2.新知授受
3.理解巩固
4.课堂小结
5.课后作业
教学目标
重点难点
1.知识与技能目标：掌握二次根式的定义及概念
2.过程与方法目标：掌握算术平方根与二次根式的联系
3.情感态度和价值观：树立正确的数学分析过程，提高自己的数感及符号意识
重点：从算术平方根的角度理解二次根式的概念，能够判断一个式子是否为二次根式
难点：通过二次根式的双重非负性求未知数的取值范围
复习导入
1.平方根的概念是什么？
性质
正数有两个平方根，互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根。
2.算术平方根的概念是什么？
性质
正数只有一个算术平方根，
0的算术平方根是0；
负数没有平方根。
问题引入
1.如图这张海报带给我们激情和对生活的憧憬。假设这张正方形海报的面积为5，那么它的边长是_________，面积为S的正方形边长是_________。
问题引入
思考：a可不可以等于-2？
问题引入
思考：能量E可以是负值？
人在平坦的地面上跑步，所累积的能量E与人自身的质量m和速度v的关系式为： ，如果用含m和E的式子表示v，则v=_________。
上述问题中的 有没有共同点？如果有，有哪些？
分析探究
（1）都有相同的符号，都可以表示某一个数或者式子的算术平方根
（2）在实例中都可以表示一个非负数（正数和0）
能否用自己的话概括二次根式
用数字、字母或者组合成的算术平方根
二次根式概念
一般地，把形如 的式子，称为二次根式，其中“ ”称为根号，看做算术平方根的简称。
根指数
深化概念
一般地，把形如 的式子，称为二次根式，其中“ ”称为根号，看做算术平方根的简称。
a不仅仅可以是一个数字，也可以是一个字母或者数字与字母的积与商
探究分析
是二次根式吗
答：这表示了两项之和，不满足二次根式定义
判断下面的式子哪些属于二次根式？
例题练习1
（3）
（2）
（1）
（4）
（5）
（6）
（8）
（7）
×
×
×
×
√
√
√
√
1.根指数要为2
判断二次根式的几个要素
2.被开方数整体要≥0
①多个字母型
②负数平方型
③非负平方型（无论n取什么值，被开方数整体都≥0）
例题探究1
解题分析：把x+2看成整体的被开方数，满足二次根式定义即可
解：要使式子在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥-2。
双重非负性
二次根式双重非负性
思维提升
当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解题分析：此时应分布满足二次根式有意义的成立条件，最终取共同的范围
解：要让式子 在实数范围有意义，
则x≥0，且x-2≥0，且分母 ≥0
所以x＞2
课堂练习1
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得 a＜ ；
（3）由 ≥0，得 a为任何实数．
a 取何值时，下列根式有意义？
课堂练习2
若式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A、x≤2
B、x≥1
C、1≤x≤2
D、x≥2
解：要使式子在实数范围有意义，
必须 2-x≥0，x-1≥0同时成立
∴ 1≤x≤2
C
总结归纳
二次根式中求未知数的取值范围：
1.整体的被开方数≥0
2.在分母位置有关的式子都要≠0
最后利用不等式组求不等式的解集不要漏掉答案和范围
例题-非负数之和题型
解题分析：看起来式子复杂，但实际上是两个非负数之和，和为0，则每一个式子都要为0
非负数之和变式
解题分析：题目变成含x与y的关系式子，但实际上仍满足非负数之和的原理
二元一次方程组消元
巩固提升
解析：A项不管a取值多少，被开方数总大于零，D正好相反
B项被开方数小于0，C组不确定，∴正确答案为A
A
解：要使式子在实数范围有意义，
必须 x+3≥0，x-2≠0同时成立
∴ x≥-3且x≠2
解析：由题意，根据二次根式成立条件，
∴2x-5≥0，2x-5≤0
∴2x-5=0，即x=2.5∴y=0-3=-3，2xy=-15
-15
课堂小结
1.二次根式的定义及概念
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
2.二次根式的双重非负性
二次根式双重非负性
判断未知数的取值范围
3.二次根式的拓展应用
判断是否具备二次根式的条件
非负数的应用：先确定未知数范围，再求值
课程结束