3.2.2奇偶性 学案（无答案）

临淄中学高一数学学案
函数的奇偶性
知识梳理
函数奇偶性的定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数
奇偶函数的图像特征
奇函数的图像关于 对称，如反比例函数 ；
偶函数的图像关于 对称，如二次函数y=x。
判断函数奇偶性的方法
（1）．定义法（1）判断定义域是否关于原点对称
（2）验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)
（ 2）．图像法 可以结合函数的图象的对称性来判断函数的奇偶性
奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性 ，（相同或不同）
偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性
重要结论
（1）如果一个函数为奇函数，且在x=0处有意义，则 ；
若函数是偶函数，则三者的关系是
（2）在公共定义域内， ①两个奇函数的和是____,两个奇函数的积是____函数；
②两个偶函数的和、积是_________； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________.
题型归类
函数奇偶性的判定
(1) (2) （3）
（4） (5)
（6） (7)
（8） （9）
利用函数奇偶性求函数的解析式
例1．（1）是上的奇函数，当时，，求时，的解析式。
(2)定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，求x<0时，f(x) 的解析式。
练习1：若f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2| ,求f(x)的表达式
例2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x－2x，求g(x)的解析式。
练习2：已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x) -g(x)＝x+2，求f(x)，g(x)
（三）知奇偶求参数、求值
1、已知函数为奇函数，其定义域为[a-1,2a],
则a= b= c=
2、若函数为偶函数，则实数a=
3、若函数在上是奇函数,则的解析式为_______
4、已知f（x）为奇函数，g（x）= f（x）+9，g（-2）=3，则f（-2）=
5、已知若f(2) =6，则f(-2) =
6、已知，若f(-7) =7，则f(7)=
函数的奇偶性与单调性的综合应用
（一）奇偶性与单调性的关系：
奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性 ，
偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性 。（填相同或不同）
例1．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，求不等式>0的解集。
练习：（1）、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，在上是减函数，且f(2) 0，
则使得f(x)<0的x的取值范围是
（2）、若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.
（3）、设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
（4）如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是（ ）
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
例2．定义在上的函数是减函数，且是奇函数，
若，求实数的取值范围
变式：偶函数在上单调递增，求满足的的取值范围
练习：函数= 是定义在（-1,1）上的奇函数，且
（1）确定函数的解析式
（2）用定义证明在（-1,1）上是增函数（3）解不等式
练习：1、定义在上的函数是增函数，且是奇函数，若，
求实数的取值范围。
2、设定义在[-2, 2]上的偶函数在区间[0, 2]上单调递减，若，
求实数m的取值范围。
（二）抽象函数奇偶性的判断
例题1 设函数对任意的都有
(1)求f(0)的值(2)求证为奇函数
练习：1、已知函数且，对任意的非零实数，恒有
，试判断函数的奇偶性。
2、已知函数的定义域是（0，＋∞），当x＞1时，＜0，且满足，
（1）证明：
（2）证明：在定义域上是减函数；
（3）若，求使不等式成立的x的取值范围。
3、函数f(x)对于任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0,若f(1)=-1，求f(x)在[-4,4]上的最大值与最小值.
课堂练习：
1．奇函数y=f(x),x∈R的图象必经过点 （ ）
A．（a,f（-a）） B．（-a,f（a）） C．（-a, -f（a）） D．（a, f（））
2．对于定义在R上的奇函数f(x)有 （ ）
A．f(x)+f(-x)＜0 B．f(x) -f(-x)＜0 C．f(x) f(-x)≤0 D．f(x) f(-x)＞0
3. 已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于
A.4 B.3 C.2 D.1
4．已知函数f(x)在[-5，5]上是奇函数，且f(3) ＜f(1),则 （ ）
（A）f(-1) ＜f(-3) （B）f(0) ＞f(1)（C）f(-1) ＜f(1) （D）f(-3) ＞f(-5)
5．函数的图像关于 （ ）
A x轴对称 B 原点对称 C y轴对称 D 直线y=x对称
6．f(x)=为奇函数，y=在（-∞，3）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数，则m= n=
7．已知且f(-2)=0，那么f(2)等于
8. 奇函数f(x)在1≤x≤4时解析式为，则当-4≤x≤-1时，f(x)的最大值为
9.设f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0, +∞)时，f(x)=x(1+ ) ，则f(-1)=
10．如果函数f(x)=ax+bx+3a+b (a≠0)是偶函数，其定义域为〔a-1,2a〕则 a= b=
11．已知函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且为偶函数，则f(-)，f(-),f(3)之间的大小关系是
12．已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为 .
【近三年高考真题及各地模拟题选编】
1．【2020年新课标2卷文科】设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
2．【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数f(x)＝，则函数f(x)(　　)
A．既是奇函数也是偶函数
B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是奇函数，但不是偶函数
D．是偶函数，但不是奇函数
4.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
5．(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于(　　)
A．－7 B．－3 C．3 D．7
6．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
7．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．