8.6.3平面与平面垂直 教案

第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
教学设计
一、教学目标
1. 理解二面角的有关概念，能求简单二面角的大小；
2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，学会用定理证明垂直关系；
3. 理解平面与平面垂直的性质定理.
二、教学重难点
1. 教学重点
二面角的概念及面面垂直的判定.
2. 教学难点
二面角的概念、面面垂直的判定及面面垂直的性质定理.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：
线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
类比线面垂直的定义过程，探究面面垂直的判定及性质定理.
（二）探索新知
1. 二面角
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在，内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或二面角.
如图，在二面角的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角的取值范围是.
2. 平面与平面垂直的判定定理
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.
定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
例1 如图所示，在正方体中，求证：平面平面.
证明：是正方体，
平面，
.
又，
平面，
平面平面.
3. 平面与平面垂直的性质定理
如图，设，.则内任意一条直线与有什么位置关系？与有什么位置关系？
显然，与平行或相交.当时，；当与相交时，与也相交.
特别地，当时，如图，设与的交点为，过点在内作直线，则直线，所成的角就是二面角的平面角.由知，.又因为，和是内的两条相交直线，所以.
由此得到平面与平面垂直的性质定理.
定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.
例2 如图，已知平面平面，直线，，判断与的位置关系.
解：在内作垂直于与交线的直线.
，.
又，.
又，.
即直线与平面平行.
（三）课堂练习
1.已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点， D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有( )
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
答案：B
解析：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以.又AD垂直于圆柱的底面，所以.因为，所以平面ACD.又平面BCD，所以平面平面ACD.故选B.
2.如图，在四棱锥中，与都是正三角形，平面平面，则下列结论不一定成立的是( )
A.
B.平面
C.
D.平面平面
答案：B
解析：取的中点为，连接与都是正三角形，.又平面，故A不符合题意.，且平面，故C不符合题意.平面平面，平面平面，故D不符合题意.故选B.
3.如图，在直角梯形中， ，将沿折起，使得平面平面.在四面体中，下列说法正确的是( )
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
答案：B
解析：∵在直角梯形中，，在中，，由余弦定理得，∴. 又平面平面，且平面平面，故 平面，则 .又，，∴平面.又平面，∴平面平面. 故选B.
4.已知A是锐二面角中内一点，AB垂直于点B，，点A到l的距离为2，则二面角的平面角的大小为____________.
答案：60°
解析：过点A作l的垂线设垂足为C，连接BC.由于，则为直角三角形，就是锐二面角的平面角.易得，因此，即二面角的平面角的大小是60°.
5.如图，三棱锥中，已知平面ABC，，.求二面角的正弦值.
答案：如图，取BC的中点D，连接PD，AD.
，
.
平面ABC，
，平面PAD，，
即为二面角的平面角.
，
，
，
即二面角的正弦值是.
小结作业
小结：
二面角的概念；
平面与平面垂直的判定定理；
平面与平面垂直的性质定理.
作业：
四、板书设计
8.6.3 平面与平面垂直
1. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
2. 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
3. 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.