人教版七上数学第四章4.2直线、射线、线段 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021七上·沈河期末）建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
二、填空题
2．（2021七上·小店月考）有下列三个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在干墙上；
②把弯曲的公路改直能缩短路程；
③植树时只要定出两颗树的位置，就能确定同一行所在的直线．
其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 （填序号）．
3．（2021七上·金昌期末）已知线段AB=6cm，点C为直线AB上一点，且BC=2cm，则线段AC的长是 cm.
4．（2021七上·荔湾期末）如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝3，AD+BC＝AB，则CD等于 ．
三、作图题
5．（2021七上·延庆期末）如图，已知四点A，B，C，D．
（ 1 ）画射线DA；
（ 2 ）画直线AC；
（ 3 ）连接CD，并在线段CD的延长线上取一点E，使得DE＝CD；
（ 4 ）画直线BE，与直线AC交于点F．
四、解答题
6．（2021七上·荔湾期末）如图，已知线段AB＝36，在线段AB上有四个点C，D，M，N，N在D的右侧，且AC：CD：DB＝1：2：3，AC＝2AM，DB＝6DN，求线段MN的长．
7．（2021七上·吉林期末）如图，在同一直线上，有A、B、C、D四点．已知DB＝AD，AC=CD，CD＝4cm，求线段AB的长．
五、综合题
8．（2021七上·奉化期末）对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得 ，则称点P为点M，N的“k和点”.例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为 ，所以点P是点M，N的“4和点”.
（1）如图2，已知点A表示的数为 ，点B表示的数为2.
①若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值▲ .
②若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为▲ .
③若点D是点A，B的“k和点”，且 ，求k的值.
（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧， ，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）.
9．（2021七上·天河期末）已知A，B，C，O，M五点在同一条直线上，且AO＝BO，BC＝2AB．
（1）若AB＝a，求线段AO和AC的长；
（2）若点M在线段AB上，且AM＝m，BM＝n，试说明等式MO＝|m﹣n|成立；
（3）若点M不在线段AB上，且AM＝m，BM＝n，求MO的长．
10．（2021七上·南关期末）（感知）如图①，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示数﹣2．
（1）（应用）点A表示数﹣3，点M从点A开始，先向右移动10个单位长度，再向左移动15个单位长度，此时点M表示的数 ；A、M两点距离为 ．
（2）（拓展）点B表示数b，点N从点B开始，先向右移动m（m＞0）个单位长度，再向左移动n（n＞0）个单位长度，此时点N表示的数为 ；B、N两点距离为 ．
（3）（探究）如图②，点C表示数﹣5，D表示数4．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动：与此同时，点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左移动，设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
用含t的代数式表示点P和点Q表示的数；
（4）求点P、Q表示的数相同时t的值；
（5）求t＝1和t＝4时P、Q两点的距离；
（6）用含t的代数式表示P、Q两点的距离．
11．（2021七上·抚远期末）已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|＝0，P是数轴上的一个动点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
（2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应的数．
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．
12．（2021七上·德惠期末）如果A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，那么它们之间的距离AB＝|a﹣b|．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3和8，数轴上另有一个点P对应的数为x．
（1）点P、B之间的距离PB＝ ．
（2）若点P在A、B之间，则|x+3|+|x﹣8|＝ ．
（3）如图2，若点P在点B右侧，且x＝12，取BP的中点M，试求2AM﹣AP的值．
13．（2021七上·盐池期末）如图，在数轴上点A，B，C表示的数分别为-2、1、6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC.
（1）请直接写出AB、BC、AC的长度为 ； ；
（2）若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒5个单位速度向右运动.设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒.t秒后，D表示的数为 ，E表示的数为 ，F表示的数为 .（用含t的式子表示）
（3）试探索： 的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由.
14．（2021七上·江油期末）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB＝BC＝20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v（v＞1）；运动时间为t．
（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多少？
（3）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值．
15．（2021七上·南京月考）（背景知识）
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为.
（问题情境）
如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）.
（1）（综合运用）
填空：
①、两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 .
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 .
③当 时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 .
（2）当为何值时，.
（3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是两点确定一条直线；
故答案为：D
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线即可得到答案。
2．【答案】②
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在干墙上，根据两点确定一条直线；
②把弯曲的公路改直能缩短路程，根据两点之间，线段最短；
③植树时只要定出两颗树的位置，就能确定同一行所在的直线根据两点确定一条直线；
故答案为②．
【分析】根据 两点之间，线段最短 判断即可。
3．【答案】8或4
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：AB=6cm，BC=2cm，BC＜AB
∴C不在BA的线延长线上
①当点C在线段AB的延长线时，如图，
②当点C在线段AB上时，如图，
线段AC的长是8或4cm.
故答案为：8或4.
【分析】根据两种情况讨论，即①当点C在线段AB的延长线时，②当点C在线段AB上时，分别根据线段的和差关系列式计算即可.
4．【答案】
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
5．【答案】解：⑴如图，射线DA为所求射线；
⑵如图，直线AC为所求直线；
⑶如图，线段CD，DE为所求的线段；
⑷直线BE为所求的直线，点F即为所求作的点．
【知识点】作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据直线的定义作图即可；
（3）根据要求作出图形即可；
（4）根据要求作图即可。
6．【答案】解：∵AB＝36， AC：CD：DB＝1：2：3，
∴AC=6，CD=12，DB=18，
∵AC＝2AM，DB＝6DN，
∴AM=3，DN=3，
∴MC=AC-AM=3，
∴MN=MC+CD+DN=3+12+3=18．
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】先求出 AC=6，CD=12，DB=18， 再求出 AM=3，DN=3， 最后代入计算求解即可。
7．【答案】解：，，
，
，
，
．
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】根据题意得出AC的值，代入求出AD的值，从而得出DB的值，即可得出AB的值。
8．【答案】（1）解：①8；
②1.5；
③当点D在AB之间，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
点D位于点B右侧，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故k的值为 或20；
（2）解：①当点T位于点E左侧，即 时，显然不满足条件.
②当点T在线段EF上时，
∵ ，
∴ .
又∵点T是点E，F的“6和点”，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
③当点T位于点F右侧时，
∵ ，
∴ ，
又∵点T是点E，F的“6和点”，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
综上所述，t的值为 或 .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用；两点间的距离
【解析】【解答】（1）解：①∵点O为点A，B的“k和点”，
∴OA+3OB=k，
∴点A表示的数为 ，点B表示的数为2.
∴OA=2，OB=2，
∴k=8，
故答案为：8；
②设点C表示的数为c，
∵点C是点A，B的“5和点”，
∴AC+3BC=5，
∴c+2+3（2-c）=5，
解得c=1.5，
故答案为：1.5；
【分析】（1）①根据 “k和点” 的定义得：OA+3OB=k， 观察数轴代入OA和OB的长度计算即可；
②设点C表示的数为c，根据OA+3OB=k， 结合k=5，建立方程求解即可；
③分两种情况讨论：即当点D在AB之间，点D位于点B右侧，根据AD=2BD分别求出AD、BD的长，代入OA+3OB=k即可解答；
（2）分三种情况讨论：即①当点T位于点E左侧，②当点T在线段EF上时，③当点T位于点F右侧，分别根据“k和点” 的定义建立方程求解即可.
9．【答案】（1）解：∵AO＝BO，AB＝a，
∴ ，
当点C在点B右侧时，如下图所示：
∵BC＝2AB，AB＝a，
∴ ，
当点C在点B左侧时，如下图所示：
∵BC＝2AB，AB＝a，
∴，
∴线段AO的长为，线段AC的长为3a或a；
（2）解：当M点在O点左侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
当M点在O点右侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
综上，当 即 m＜n时，，
当 即 时，，
∴；
（3）解：当点M在A点左侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴
，
∵，
∴，
当点M在B点右侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴ ，
，
∵，
∴，
综上，．
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再分类讨论，结合图形计算求解即可；
（2）分类讨论，根据 AM＝m，BM＝n， 计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形求解即可。
10．【答案】（1）-8；5
（2）b+m-n；
（3）解：∵点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，
∴点P表示的数为-5+2t；
∵点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左移动，
∴点Q表示的数为4-t；
（4）解：当点P、Q表示的数相同时
则-5+2t=4-t
解得t=3
故t=3时，点P、Q表示的数相同；
（5）解：当t=1时，点P表示的数为-3，点Q表示的数为3，故P、Q两点的距离为6；
当t=4时，点P表示的数为3，点Q表示的数为0，故P、Q两点的距离为3；
（6）解：∵t=3时，点P、Q表示的数相同
故0＜t≤3时，P在Q的左侧，P、Q两点的距离为（4-t）-（-5+2t）=-3t+9
当t＞3时，P在Q的右侧，P、Q两点的距离为（-5+2t）-（4-t）=3t-9．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离
【解析】【解答】解：（应用）（1）点A表示数﹣3，点M从点A开始，先向右移动10个单位长度后表示的数为7，再向左移动15个单位长度后表示的数为-8，故点M表示数为-8；A、M两点距离为-3-（-8）=5．
故答案为：-8；5；
（拓展）（2）点B表示数b，点N从点B开始，先向右移动m（m＞0）个单位长度，后表示的数为b+m，再向左移动n（n＞0）个单位长度，此时点N表示为b+m-n；B、N两点距离为
故答案为：b+m-n；；
【分析】（1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得出点B表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，即可得出答案；
（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得出点B表示的数，根据数轴上两点间的距离是两点所表示的数的差的绝对值，即可得出答案；
（3）根据点P和点Q的运动可直接得出答案；
（4）令点P、Q表示的数相同即可得出答案；
（5）分别求出两个时间P、Q所对应的数，再求距离即可；
（6）根据0＜t≤3时，P在Q的左侧，t＞3时，P在Q的右侧，即可得出答案。
11．【答案】（1）解：∵（ab+100）2+|a﹣20|＝0，
∴ab+100＝0，a﹣20＝0，
∴a＝20，b＝﹣10，
∴AB＝20﹣（﹣10）＝30，
数轴上标出AB得：
（2）解：∵|BC|＝6且C在线段OB上，
∴xC﹣（﹣10）＝6，
∴xC＝﹣4，
∵PB＝2PC，
当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，
当P在线段BC上时，
xP﹣xB＝2（xc﹣xp），
∴xp+10＝2（﹣4﹣xp），
解得：xp＝﹣6，
当P在点C右侧时，
xp﹣xB＝2（xp﹣xc），
xp+10＝2xp+8，
xp＝2，
综上所述P点对应的数为﹣6或2．
（3）解：第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…
则第n次为（﹣1）n n，
点A表示20，则第20次P与A重合；
点B表示﹣10，点P与点B不重合．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据偶次幂及绝对值的非负性可求出a、b的值，然后在数轴上表示出A、B的位置，并求出AB的距离即可；
（2）先求出点C表示的数，由PB＝2PC， 分三种情况： ①当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，②当P在线段BC上时，③当P在点C右侧时， 据此分别求解即可；
（3） 可得规律第n次为（﹣1）n n， 由于点A表示的数为20，可知第20次P与A重合 ，由于点B表示﹣10，点P与点B不重合．
12．【答案】（1）
（2）11
（3）解：如图，
x＝12，
是的中点
表示的点为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离；线段的计算
【解析】【解答】解：（1） B对应的数分别为8，点P对应的数为x．
PB＝
故答案为：
（2）点P在A、B之间，
，
|x+3|+|x﹣8|＝
故答案为：11
【分析】（1）根据B对应的数分别为8，点P对应的数为x求解即可；
（2）先求出，再求出，，最后化简求值即可；
（3）先求出PB=4，再求出PM=2，最后求解即可。
13．【答案】（1）3；5；8
（2）；；
（3）解：不变；
点D、E、F同时出发，运动t秒时，D点表示的数为 ，E点表示的数为 ，F点表示的数为 ，
则 ，
，
∴ ，
∴ 的值不随 变化而变化.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）AB=1-（-2）=3，BC=6-1=5，AC=6-（-2）=8，
故答案为：3，5，8；
（2）t秒后，D表示的数为 ，E表示的数为 ，F表示的数为 ，
故答案为： ； ； ；
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值可求出AB、BC、AC的长度；
（2）由题意可得：t秒后，D表示的数为-2-t ，E表示的数为1+2t ，F表示的数为6+5t；
（3）根据两点间距离公式分别表示出EF、DE，然后计算出EF-DE的值，据此判断.
14．【答案】（1）解：由题意知：OC＝OA+AB+BC＝20+20+20＝60（cm），
∴当P运动到点C时，t＝60÷2＝30（秒）；
（2）①当点P、Q还没有相遇时，
2t+3t＝60﹣30，
解得：t＝6，
此时，QC＝3×6＝18（cm），QB＝BC﹣QC＝20﹣18＝2（cm），
∴|QB﹣QC|＝|2﹣18|＝16（cm），
②当点P、Q相遇后，
2t+3t＝60+30，
解得：t＝18，
此时，QC＝3×18＝54（cm），QB＝QC﹣BC＝54﹣20＝34（cm），
∴|QB﹣QC|＝|34﹣54|＝20（cm），
综上所述，经过6秒或18秒 P，Q两点相距30cm，此时|QB﹣QC|是16cm或20cm；
（3）∵|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24，
∴|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，
∵在数轴上，点A对应的数为20，点B对应的数为40，点C对应的数为60，
∴点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，
①点P对应的数为18时，OP＝18（cm），t＝18÷2＝9（s），
若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷9＝（cm/s），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷9＝（cm/s）（舍弃），
②点P对应的数为42时，OP＝42（cm），t＝42÷2＝21（s），
若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷21＝（cm/s）（舍弃），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷21＝（舍弃）（cm/s），
综上所述，点Q的运动速度为：cm/s
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离；利用合并同类项、移项解一元一次方程；线段的计算
【解析】【分析】（1）先求出线段OC的长，再根据时间=列出算式进行计算，即可得出 答案；
（2）分两种情况讨论：①当点P、Q还没有相遇时，②当点P、Q相遇后，分别根据题意列出方程，解方程求出t的值，再求出QC和QB的长，从而求出|QB﹣QC|的长，即可得出答案；
（3）根据题意得出|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，从而得出点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，分两种情况讨论：①点P对应的数为18时，求出t=9s，再分别求出当点Q对应的数为44或56时，CQ的长，再利用速度=得出v的值； ②点P对应的数为42时，求出t＝21s，再分别求出当点Q对应的数为44或56时，CQ的长，再利用速度=得出v的值，即可得出答案.
15．【答案】（1）10；3；；；2；4
（2）解：∵，
，
∵，
∴，
解得或，
答：当或3时，
（3）解：点表示的数为，
点表示的数为，
∴，
∴线段的长度不变，是5.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用；两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）①∵A表示的数为，点B表示的数为8，
∴，AB的中点表示为；
故答案为：10，3；
②∵数轴上点A表示的数为-2，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点P表示的数为；
∵点B表示的数为8，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
∴点Q表示的数为；
故答案为：；；
③依题意得，=，
∴t=2，
此时P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为：-2+6=4；
故答案为：2，4；
【分析】（1）①利用题干中数轴上两点间的距离及线段的中点表示的数的公式分别求解即可；②利用点A表示的数加上点P移动的距离即得点P表示的数；利用点B表示的数减去点P移动的距离即得点Q表示的数；③根据点P、Q表示的数相等，列出方程并解之即可；
（2）分别求出AB、PQ的长度，利用 列出方程并解之即可；
（3）由线段的中点表示的数的公式分别求出点M、N表示的数，再求出MN的长，据此即可判断.
1 / 1人教版七上数学第四章4.2直线、射线、线段 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021七上·沈河期末）建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是两点确定一条直线；
故答案为：D
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线即可得到答案。
二、填空题
2．（2021七上·小店月考）有下列三个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在干墙上；
②把弯曲的公路改直能缩短路程；
③植树时只要定出两颗树的位置，就能确定同一行所在的直线．
其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 （填序号）．
【答案】②
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：①用两个钉子就可以把木条固定在干墙上，根据两点确定一条直线；
②把弯曲的公路改直能缩短路程，根据两点之间，线段最短；
③植树时只要定出两颗树的位置，就能确定同一行所在的直线根据两点确定一条直线；
故答案为②．
【分析】根据 两点之间，线段最短 判断即可。
3．（2021七上·金昌期末）已知线段AB=6cm，点C为直线AB上一点，且BC=2cm，则线段AC的长是 cm.
【答案】8或4
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：AB=6cm，BC=2cm，BC＜AB
∴C不在BA的线延长线上
①当点C在线段AB的延长线时，如图，
②当点C在线段AB上时，如图，
线段AC的长是8或4cm.
故答案为：8或4.
【分析】根据两种情况讨论，即①当点C在线段AB的延长线时，②当点C在线段AB上时，分别根据线段的和差关系列式计算即可.
4．（2021七上·荔湾期末）如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD＝3，AD+BC＝AB，则CD等于 ．
【答案】
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
三、作图题
5．（2021七上·延庆期末）如图，已知四点A，B，C，D．
（ 1 ）画射线DA；
（ 2 ）画直线AC；
（ 3 ）连接CD，并在线段CD的延长线上取一点E，使得DE＝CD；
（ 4 ）画直线BE，与直线AC交于点F．
【答案】解：⑴如图，射线DA为所求射线；
⑵如图，直线AC为所求直线；
⑶如图，线段CD，DE为所求的线段；
⑷直线BE为所求的直线，点F即为所求作的点．
【知识点】作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据射线的定义作图即可；
（2）根据直线的定义作图即可；
（3）根据要求作出图形即可；
（4）根据要求作图即可。
四、解答题
6．（2021七上·荔湾期末）如图，已知线段AB＝36，在线段AB上有四个点C，D，M，N，N在D的右侧，且AC：CD：DB＝1：2：3，AC＝2AM，DB＝6DN，求线段MN的长．
【答案】解：∵AB＝36， AC：CD：DB＝1：2：3，
∴AC=6，CD=12，DB=18，
∵AC＝2AM，DB＝6DN，
∴AM=3，DN=3，
∴MC=AC-AM=3，
∴MN=MC+CD+DN=3+12+3=18．
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】先求出 AC=6，CD=12，DB=18， 再求出 AM=3，DN=3， 最后代入计算求解即可。
7．（2021七上·吉林期末）如图，在同一直线上，有A、B、C、D四点．已知DB＝AD，AC=CD，CD＝4cm，求线段AB的长．
【答案】解：，，
，
，
，
．
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】根据题意得出AC的值，代入求出AD的值，从而得出DB的值，即可得出AB的值。
五、综合题
8．（2021七上·奉化期末）对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得 ，则称点P为点M，N的“k和点”.例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为 ，所以点P是点M，N的“4和点”.
（1）如图2，已知点A表示的数为 ，点B表示的数为2.
①若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值▲ .
②若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为▲ .
③若点D是点A，B的“k和点”，且 ，求k的值.
（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧， ，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）.
【答案】（1）解：①8；
②1.5；
③当点D在AB之间，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
点D位于点B右侧，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故k的值为 或20；
（2）解：①当点T位于点E左侧，即 时，显然不满足条件.
②当点T在线段EF上时，
∵ ，
∴ .
又∵点T是点E，F的“6和点”，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
③当点T位于点F右侧时，
∵ ，
∴ ，
又∵点T是点E，F的“6和点”，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
综上所述，t的值为 或 .
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用；两点间的距离
【解析】【解答】（1）解：①∵点O为点A，B的“k和点”，
∴OA+3OB=k，
∴点A表示的数为 ，点B表示的数为2.
∴OA=2，OB=2，
∴k=8，
故答案为：8；
②设点C表示的数为c，
∵点C是点A，B的“5和点”，
∴AC+3BC=5，
∴c+2+3（2-c）=5，
解得c=1.5，
故答案为：1.5；
【分析】（1）①根据 “k和点” 的定义得：OA+3OB=k， 观察数轴代入OA和OB的长度计算即可；
②设点C表示的数为c，根据OA+3OB=k， 结合k=5，建立方程求解即可；
③分两种情况讨论：即当点D在AB之间，点D位于点B右侧，根据AD=2BD分别求出AD、BD的长，代入OA+3OB=k即可解答；
（2）分三种情况讨论：即①当点T位于点E左侧，②当点T在线段EF上时，③当点T位于点F右侧，分别根据“k和点” 的定义建立方程求解即可.
9．（2021七上·天河期末）已知A，B，C，O，M五点在同一条直线上，且AO＝BO，BC＝2AB．
（1）若AB＝a，求线段AO和AC的长；
（2）若点M在线段AB上，且AM＝m，BM＝n，试说明等式MO＝|m﹣n|成立；
（3）若点M不在线段AB上，且AM＝m，BM＝n，求MO的长．
【答案】（1）解：∵AO＝BO，AB＝a，
∴ ，
当点C在点B右侧时，如下图所示：
∵BC＝2AB，AB＝a，
∴ ，
当点C在点B左侧时，如下图所示：
∵BC＝2AB，AB＝a，
∴，
∴线段AO的长为，线段AC的长为3a或a；
（2）解：当M点在O点左侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
当M点在O点右侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
综上，当 即 m＜n时，，
当 即 时，，
∴；
（3）解：当点M在A点左侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴
，
∵，
∴，
当点M在B点右侧时，如下图所示：
∵AO＝BO，
∴ ，
∴ ，
，
∵，
∴，
综上，．
【知识点】线段的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再分类讨论，结合图形计算求解即可；
（2）分类讨论，根据 AM＝m，BM＝n， 计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形求解即可。
10．（2021七上·南关期末）（感知）如图①，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示数﹣2．
（1）（应用）点A表示数﹣3，点M从点A开始，先向右移动10个单位长度，再向左移动15个单位长度，此时点M表示的数 ；A、M两点距离为 ．
（2）（拓展）点B表示数b，点N从点B开始，先向右移动m（m＞0）个单位长度，再向左移动n（n＞0）个单位长度，此时点N表示的数为 ；B、N两点距离为 ．
（3）（探究）如图②，点C表示数﹣5，D表示数4．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动：与此同时，点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左移动，设点P的运动时间为t（t＞0）秒．
用含t的代数式表示点P和点Q表示的数；
（4）求点P、Q表示的数相同时t的值；
（5）求t＝1和t＝4时P、Q两点的距离；
（6）用含t的代数式表示P、Q两点的距离．
【答案】（1）-8；5
（2）b+m-n；
（3）解：∵点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，
∴点P表示的数为-5+2t；
∵点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向左移动，
∴点Q表示的数为4-t；
（4）解：当点P、Q表示的数相同时
则-5+2t=4-t
解得t=3
故t=3时，点P、Q表示的数相同；
（5）解：当t=1时，点P表示的数为-3，点Q表示的数为3，故P、Q两点的距离为6；
当t=4时，点P表示的数为3，点Q表示的数为0，故P、Q两点的距离为3；
（6）解：∵t=3时，点P、Q表示的数相同
故0＜t≤3时，P在Q的左侧，P、Q两点的距离为（4-t）-（-5+2t）=-3t+9
当t＞3时，P在Q的右侧，P、Q两点的距离为（-5+2t）-（4-t）=3t-9．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离
【解析】【解答】解：（应用）（1）点A表示数﹣3，点M从点A开始，先向右移动10个单位长度后表示的数为7，再向左移动15个单位长度后表示的数为-8，故点M表示数为-8；A、M两点距离为-3-（-8）=5．
故答案为：-8；5；
（拓展）（2）点B表示数b，点N从点B开始，先向右移动m（m＞0）个单位长度，后表示的数为b+m，再向左移动n（n＞0）个单位长度，此时点N表示为b+m-n；B、N两点距离为
故答案为：b+m-n；；
【分析】（1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得出点B表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，即可得出答案；
（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得出点B表示的数，根据数轴上两点间的距离是两点所表示的数的差的绝对值，即可得出答案；
（3）根据点P和点Q的运动可直接得出答案；
（4）令点P、Q表示的数相同即可得出答案；
（5）分别求出两个时间P、Q所对应的数，再求距离即可；
（6）根据0＜t≤3时，P在Q的左侧，t＞3时，P在Q的右侧，即可得出答案。
11．（2021七上·抚远期末）已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|＝0，P是数轴上的一个动点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
（2）已知线段OB上有点C且|BC|＝6，当数轴上有点P满足PB＝2PC时，求P点对应的数．
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．
【答案】（1）解：∵（ab+100）2+|a﹣20|＝0，
∴ab+100＝0，a﹣20＝0，
∴a＝20，b＝﹣10，
∴AB＝20﹣（﹣10）＝30，
数轴上标出AB得：
（2）解：∵|BC|＝6且C在线段OB上，
∴xC﹣（﹣10）＝6，
∴xC＝﹣4，
∵PB＝2PC，
当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，
当P在线段BC上时，
xP﹣xB＝2（xc﹣xp），
∴xp+10＝2（﹣4﹣xp），
解得：xp＝﹣6，
当P在点C右侧时，
xp﹣xB＝2（xp﹣xc），
xp+10＝2xp+8，
xp＝2，
综上所述P点对应的数为﹣6或2．
（3）解：第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…
则第n次为（﹣1）n n，
点A表示20，则第20次P与A重合；
点B表示﹣10，点P与点B不重合．
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离；偶次幂的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据偶次幂及绝对值的非负性可求出a、b的值，然后在数轴上表示出A、B的位置，并求出AB的距离即可；
（2）先求出点C表示的数，由PB＝2PC， 分三种情况： ①当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，②当P在线段BC上时，③当P在点C右侧时， 据此分别求解即可；
（3） 可得规律第n次为（﹣1）n n， 由于点A表示的数为20，可知第20次P与A重合 ，由于点B表示﹣10，点P与点B不重合．
12．（2021七上·德惠期末）如果A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，那么它们之间的距离AB＝|a﹣b|．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3和8，数轴上另有一个点P对应的数为x．
（1）点P、B之间的距离PB＝ ．
（2）若点P在A、B之间，则|x+3|+|x﹣8|＝ ．
（3）如图2，若点P在点B右侧，且x＝12，取BP的中点M，试求2AM﹣AP的值．
【答案】（1）
（2）11
（3）解：如图，
x＝12，
是的中点
表示的点为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离；线段的计算
【解析】【解答】解：（1） B对应的数分别为8，点P对应的数为x．
PB＝
故答案为：
（2）点P在A、B之间，
，
|x+3|+|x﹣8|＝
故答案为：11
【分析】（1）根据B对应的数分别为8，点P对应的数为x求解即可；
（2）先求出，再求出，，最后化简求值即可；
（3）先求出PB=4，再求出PM=2，最后求解即可。
13．（2021七上·盐池期末）如图，在数轴上点A，B，C表示的数分别为-2、1、6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC.
（1）请直接写出AB、BC、AC的长度为 ； ；
（2）若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点F从C点出发以每秒5个单位速度向右运动.设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒.t秒后，D表示的数为 ，E表示的数为 ，F表示的数为 .（用含t的式子表示）
（3）试探索： 的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由.
【答案】（1）3；5；8
（2）；；
（3）解：不变；
点D、E、F同时出发，运动t秒时，D点表示的数为 ，E点表示的数为 ，F点表示的数为 ，
则 ，
，
∴ ，
∴ 的值不随 变化而变化.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）AB=1-（-2）=3，BC=6-1=5，AC=6-（-2）=8，
故答案为：3，5，8；
（2）t秒后，D表示的数为 ，E表示的数为 ，F表示的数为 ，
故答案为： ； ； ；
【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数的差的绝对值可求出AB、BC、AC的长度；
（2）由题意可得：t秒后，D表示的数为-2-t ，E表示的数为1+2t ，F表示的数为6+5t；
（3）根据两点间距离公式分别表示出EF、DE，然后计算出EF-DE的值，据此判断.
14．（2021七上·江油期末）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB＝BC＝20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v（v＞1）；运动时间为t．
（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多少？
（3）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值．
【答案】（1）解：由题意知：OC＝OA+AB+BC＝20+20+20＝60（cm），
∴当P运动到点C时，t＝60÷2＝30（秒）；
（2）①当点P、Q还没有相遇时，
2t+3t＝60﹣30，
解得：t＝6，
此时，QC＝3×6＝18（cm），QB＝BC﹣QC＝20﹣18＝2（cm），
∴|QB﹣QC|＝|2﹣18|＝16（cm），
②当点P、Q相遇后，
2t+3t＝60+30，
解得：t＝18，
此时，QC＝3×18＝54（cm），QB＝QC﹣BC＝54﹣20＝34（cm），
∴|QB﹣QC|＝|34﹣54|＝20（cm），
综上所述，经过6秒或18秒 P，Q两点相距30cm，此时|QB﹣QC|是16cm或20cm；
（3）∵|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24，
∴|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，
∵在数轴上，点A对应的数为20，点B对应的数为40，点C对应的数为60，
∴点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，
①点P对应的数为18时，OP＝18（cm），t＝18÷2＝9（s），
若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷9＝（cm/s），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷9＝（cm/s）（舍弃），
②点P对应的数为42时，OP＝42（cm），t＝42÷2＝21（s），
若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷21＝（cm/s）（舍弃），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷21＝（舍弃）（cm/s），
综上所述，点Q的运动速度为：cm/s
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；两点间的距离；利用合并同类项、移项解一元一次方程；线段的计算
【解析】【分析】（1）先求出线段OC的长，再根据时间=列出算式进行计算，即可得出 答案；
（2）分两种情况讨论：①当点P、Q还没有相遇时，②当点P、Q相遇后，分别根据题意列出方程，解方程求出t的值，再求出QC和QB的长，从而求出|QB﹣QC|的长，即可得出答案；
（3）根据题意得出|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，从而得出点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，分两种情况讨论：①点P对应的数为18时，求出t=9s，再分别求出当点Q对应的数为44或56时，CQ的长，再利用速度=得出v的值； ②点P对应的数为42时，求出t＝21s，再分别求出当点Q对应的数为44或56时，CQ的长，再利用速度=得出v的值，即可得出答案.
15．（2021七上·南京月考）（背景知识）
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为.
（问题情境）
如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒（）.
（1）（综合运用）
填空：
①、两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 .
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 .
③当 时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 .
（2）当为何值时，.
（3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长.
【答案】（1）10；3；；；2；4
（2）解：∵，
，
∵，
∴，
解得或，
答：当或3时，
（3）解：点表示的数为，
点表示的数为，
∴，
∴线段的长度不变，是5.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的其他应用；两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）①∵A表示的数为，点B表示的数为8，
∴，AB的中点表示为；
故答案为：10，3；
②∵数轴上点A表示的数为-2，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴点P表示的数为；
∵点B表示的数为8，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
∴点Q表示的数为；
故答案为：；；
③依题意得，=，
∴t=2，
此时P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为：-2+6=4；
故答案为：2，4；
【分析】（1）①利用题干中数轴上两点间的距离及线段的中点表示的数的公式分别求解即可；②利用点A表示的数加上点P移动的距离即得点P表示的数；利用点B表示的数减去点P移动的距离即得点Q表示的数；③根据点P、Q表示的数相等，列出方程并解之即可；
（2）分别求出AB、PQ的长度，利用 列出方程并解之即可；
（3）由线段的中点表示的数的公式分别求出点M、N表示的数，再求出MN的长，据此即可判断.
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