人教版七上数学第四章4.3.2角的比较与运算 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021七上·陇县期末）如图，OB是∠AOC的平分线，∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是（ ）
A．70° B．83° C．68° D．85°
2．（2021七上·余杭期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC= ∠AOB，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题
3．（2021七上·番禺期末）如图，若∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为 °．
4．（2021七上·利通期末）如图，已知OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∠AOD＝20°，∠EOB＝40°.则∠AOB＝ .
5．（2022七上·江州期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°41′，∠2的大小是 .
6．（2021七上·长沙期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
三、解答题
7．（2021七上·丰台期末）补全解题过程．
已知：如图，∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，OD平分∠AOC．
求∠BOD的度数．
解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝ ▲ °．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠ ▲ （ ▲ ）（填写推理依据）．
∴∠AOD＝ ▲ °．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠ ▲ ．
∴∠BOD＝ ▲ °．
8．（2021七上·怀柔期末）完成下列说理过程（括号中填写推理的依据）：
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，．求证：．
证明：，
．（ ▲ ）
，
．
直线AB，CD相交于点O，
．
．
＝ ▲ ．（ ▲ ）
直线相交于，
．
▲ ．（ ▲ ）
．
9．（2021七上·永定期末）如图，已知 平分 ，∠COD=20°，求 的度数.
四、综合题
10．（2021七上·密山期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图（1），若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）如图（2），若∠COE=∠DOB，求∠AOC的度数．
11．（2021七上·河南期末）如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起.若三角尺AOB不动，将三角尺COD绕点O按顺时针方向转动α（0°<α<180°）.
（1）如图2，若∠BOC=55°，则∠AOD= ，∠AOC ∠BOD（填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图3，∠BOC=55°，则∠AOD= ，∠AOC ∠BOD（填“>”、“<”或“=”）.
（3）三角尺COD在转动的过程中，若∠BOC=β，则∠AOD= （用含β的代数式表示），∠AOC ∠BOD（填“>”、“<”或“=”）.
（4）借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与∠AOC相等的角.
12．（2021七上·密云期末）已知：∠AOB=120°，∠COD=90°，OE平分∠AOD．
（1）如图1，当∠COD的边OD在∠AOB内部时，若∠COE=40°，求∠BOD的度数；
（2）如图2，当∠COD的边OD在∠AOB外部，且0°<∠BOD<60°时，设∠COE=α，∠BOD=β，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明．
13．（2022七上·渠县期末）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数.
以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝_____∠AOB＝_____°
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝______°
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”.
完成以下问题：
（1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时∠COD的度数为▲ °
14．（2021七上·香洲期末）已知射线OB，OC在钝角的内部，且满足，射线OE，OF分别平分．
（1）如图1，当射线OC在射线OB的左侧时， ，
①若， ▲ ；
②若， ▲ ；
③若，计算的度数．
（2）当射线OC在射线OB的右侧时，设，请画出图形并计算的度数（用含的式子表示）．
15．（2022七上·毕节期末）如图，点O为直线AB上一点， ，OD平分 .
（1）求 的度数：
（2）作射线OE，使 ，求 的度数.
16．（2021七上·安吉期末）已知∠AOB＝160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF＝32°，则∠BOE＝ ；
（2）如图1，若∠COF＝m°，则∠BOE＝ ；∠BOE与∠COF的数量关系为 ；
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点O逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COD=∠BOD，∠COD=17°，
∴∠BOC=2∠COD=2×17°=34°，
∵OB是∠AOC平分线，
∴∠AOC=2∠BOC=2×34°=68°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=68°+17°=85°，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可得到∠BOC=2∠COD，由此求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得到∠AOC=2∠BOC，代入计算求出∠AOC的度数，然后根据∠AOD=∠AOC+∠COD，可求出∠AOD的度数.
2．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB内部时，
∵∠BOC= ∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC；
当OC在∠AOB外部时，
∵∠BOC= ∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=3∠BOC；
综上，∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC；
故答案为：D.
【分析】当OC在∠AOB内部时，根据已知条件可得∠AOB=2∠BOC，则∠AOC=∠BOC；当OC在∠AOB外部时，由已知条件可得∠AOB=2∠BOC，据此解答.
3．【答案】160
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠COD=90°，∠AOD=20°，
∴∠AOC=∠DOC-∠AOD=90°-20°=70°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°．
故答案为160．
【分析】先求出∠AOC的度数，再列出算式∠BOC=∠AOB+∠AOC求解即可。
4．【答案】120°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，
∴∠AOC=2∠AOD，∠COB=2∠EOB，
∵∠AOD＝20°，∠EOB＝40°.
∴∠AOC＝2×20°=40°，∠BOC＝2×40°=80°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=40°+80°=120°，
故答案为：120°.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠AOC=2∠AOD，∠COB=2∠EOB，代入计算求出∠AOC和∠BOC的度数，然后根据∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入计算求出∠AOB的度数.
5．【答案】57°41′
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°41′，
∴∠EAC＝∠BAC ∠1＝60° 27°41′＝32°19′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝∠EAD ∠EAC＝90° 32°19′＝57°41′.
故答案为：57°41′.
【分析】根据图形可得∠EAC＝∠BAC ∠1＝32°19′，然后根据∠2＝∠EAD ∠EAC进行计算.
6．【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，
故答案为： .
【分析】由∠BOE= ∠BOC可得∠BOC=n∠BOE，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，即得∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，利用∠DOE=∠BOD-∠BOE即可求解.
7．【答案】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝110°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC（ 角平分线的定义）．
∴∠AOD＝55°．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB．
∴∠BOD＝15°．
故答案为：110，AOC，角平分线的定义，55，AOB，15
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义和性质即可得出∠BOD的度数。
8．【答案】证明：，
．（①角平分线定义）
，
．
直线AB，CD相交于点O，
．
．
＝②．（③等角的余角相等）
直线相交于，
．
④．（⑤同角的补角相等）
．
故答案为：①角平分线定义；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的补角相等
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据题目所提供的解析过程结合具体问题进行解答即可。
9．【答案】解：∵ ，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∴∠AOB=3∠BOC，
∵ 平分 ，
∴∠AOB=2∠BOD，
∴ ，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD，
∴ ，
∵∠COD=20°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOB=120°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知条件可得∠AOB=3∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOB=2∠BOD，则∠BOC=∠BOD，∠COD=∠BOD，结合∠COD的度数可得∠BOD的度数，进而可得∠AOB的度数.
10．【答案】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC=×140°=70°，
∵∠COD是直角，
∴∠COE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-70°=20°；
（2）解：∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠COE=∠BOD，
∴∠COE=∠BOE=∠DOB，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=∠BOE=×90°=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，根据角的和差即可得出答案。
11．【答案】（1）125°；=
（2）125°；=
（3）180°-β；=
（4）解：如图所示， 即为所作的角.
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
又
∴
故答案为：125°，=；
（2）∵
∴
又
∴∠AOC=∠BOD
故答案为：125°，=；
（3）如图，
∵∠BOC=β，
∴∠AOD=
∴
∴
故答案为：180°-β，=；
【分析】（1）易得∠AOC=∠AOB-∠BOC=35°，∠AOD=∠AOC+∠COD=125°，根据∠BOD=∠COD-∠BOC计算出∠BOD的度数，然后进行比较即可；
（2）由周角得∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠BOC=125°，∠AOC=∠AOB+∠BOC=145°，∠BOD=∠BOC+∠COD=145°，据此进行比较；
（3）易得∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠BOC=180°-β，∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+β，∠BOD=∠BOC+∠COD=90°+β，据此进行比较；
（4）首先作OC⊥OB，OD⊥AO，则∠AOC=∠BOD.
12．【答案】（1）解：∵∠COD=90°，∠COE=40°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-40°=50°，
∵ OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=100°，
∵∠AOB=120° ，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-100°=20°；
（2）解：数量关系为：2α+β=60° ，理由如下：
∵∠COD=90°，∠COE=α，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-α，
∵ OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2（90°-α）=180°-2α，
∵∠AOB=120°，
∴β=∠AOD-∠AOB=180°-2α-120°=60°-2α，
即：2α+β=60°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）求出∠AOD=2∠DOE=100°，则可求出∠BOD的度数；
（2）由（1）∠AOD=2∠DOE=2（90°-α）=180°-2α，则可求出β=∠AOD-∠AOB=180°-2α-120°=60°-2α。
13．【答案】（1）解：如图2，∵OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
∴∠BOC＝ ∠AOB＝40°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠COD＝∠BOC+∠BOD＝40°+20°＝60°.
故答案为 ，40，60.
（2）解：如图3
；20
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
∴∠BOC＝ ∠AOB＝40°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣20°＝20°.
故答案为：20.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BOC＝∠AOB＝40°，然后根据∠COD＝∠BOC+∠BOD进行计算；
（2）根据角平分线的概念可得∠BOC＝∠AOB＝40°，然后根据∠COD＝∠BOC-∠BOD进行计算.
14．【答案】（1）①70°；②70°
③与①同样的方法可求∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°-，
∴∠COE=∠BOF = ，
∵∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，
∴∠EOF=++=70°；
（2）解：依题意：画出图形
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOC．
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠COE=，
同理：∠BOF=，
∵∠EOF=∠COE+∠BOF-∠BOC ，
∴∠EOF=+-∠BOC，
∴∠EOF=．
∵∠AOB=∠COD=，
∴∠EOF==．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
∴∠AOC=∠BOD，
∵射线OE，OF分别平分，
∴∠AOE=∠COE=∠AOC，∠BOF=∠DOF=∠BOD，
∴∠AOE=∠COE=∠BOF=∠DOF，
∵，，
∴∠AOC=70°-10°=60°，
∴∠COE=∠BOF =30°，
∵∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，
∴∠EOF=30°+10°+30°=70°，
故答案为：70°；
②与①同样的方法可求∠AOC=70°-20°=50°，
∴∠COE=∠BOF =25°，
∵∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，
∴∠EOF=25°+20°+25°=70°，
故答案为：70°；
【分析】（1）①先求出，再根据角平分线的性质计算求解即可；
②先求出∠COE=∠BOF =25°，再根据∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，计算求解即可；
（2）先求出 ∠COE=∠BOF = ， 再根据 ∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF， 求解即可；
（3）先作图，再根据角平分线的性质求解即可。
15．【答案】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠BOE+∠COE＝∠BOC，
∴ ∠COE+∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣ ∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，然后根据角平分线的概念进行计算；
（2）①当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，根据∠BOE+∠COE＝∠BOC可得∠COE的度数；②当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，根据∠COE-∠BOE＝∠BOC可得∠COE的度数.
16．【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立，
设 ，
∵∠COE是直角，
∴ ，
∵OF平分∠AOE，
∴ ，
∴ ，
即∠BOE=2∠COF-20°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝32°，
∴ ，
∵OF平分∠AOE，
∴ ，
∵∠AOB＝160°，
∴ ；
故答案为：44°；
（2）当∠COF＝m°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：（2m-20）°， ∠BOE=2∠COF-20° ；
【分析】（1）根据余角的性质得∠EOF的度数，根据角平分线的概念可得∠AOF=∠EOF，然后根据∠BOE=∠AOB-∠AOF-∠EOF进行计算；
（2）当∠COF＝m°时，∠EOF=90°-m°，∠AOE=180°-2m°，然后根据∠BOE=∠AOB-∠AOE进行计算；
（3）设∠COF＝n°，则∠EOF=90°-n°，∠AOE=180°-2n°，然后根据∠BOE=∠AOB-∠AOE进行计算.
1 / 1人教版七上数学第四章4.3.2角的比较与运算 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021七上·陇县期末）如图，OB是∠AOC的平分线，∠COD＝∠BOD，∠COD＝17°，则∠AOD的度数是（ ）
A．70° B．83° C．68° D．85°
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COD=∠BOD，∠COD=17°，
∴∠BOC=2∠COD=2×17°=34°，
∵OB是∠AOC平分线，
∴∠AOC=2∠BOC=2×34°=68°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=68°+17°=85°，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件可得到∠BOC=2∠COD，由此求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得到∠AOC=2∠BOC，代入计算求出∠AOC的度数，然后根据∠AOD=∠AOC+∠COD，可求出∠AOD的度数.
2．（2021七上·余杭期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC= ∠AOB，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB内部时，
∵∠BOC= ∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC；
当OC在∠AOB外部时，
∵∠BOC= ∠AOB，即∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOC=3∠BOC；
综上，∠AOC=∠BOC或∠AOC=3∠BOC；
故答案为：D.
【分析】当OC在∠AOB内部时，根据已知条件可得∠AOB=2∠BOC，则∠AOC=∠BOC；当OC在∠AOB外部时，由已知条件可得∠AOB=2∠BOC，据此解答.
二、填空题
3．（2021七上·番禺期末）如图，若∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为 °．
【答案】160
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠COD=90°，∠AOD=20°，
∴∠AOC=∠DOC-∠AOD=90°-20°=70°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°．
故答案为160．
【分析】先求出∠AOC的度数，再列出算式∠BOC=∠AOB+∠AOC求解即可。
4．（2021七上·利通期末）如图，已知OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∠AOD＝20°，∠EOB＝40°.则∠AOB＝ .
【答案】120°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，
∴∠AOC=2∠AOD，∠COB=2∠EOB，
∵∠AOD＝20°，∠EOB＝40°.
∴∠AOC＝2×20°=40°，∠BOC＝2×40°=80°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=40°+80°=120°，
故答案为：120°.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠AOC=2∠AOD，∠COB=2∠EOB，代入计算求出∠AOC和∠BOC的度数，然后根据∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入计算求出∠AOB的度数.
5．（2022七上·江州期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°41′，∠2的大小是 .
【答案】57°41′
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°41′，
∴∠EAC＝∠BAC ∠1＝60° 27°41′＝32°19′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝∠EAD ∠EAC＝90° 32°19′＝57°41′.
故答案为：57°41′.
【分析】根据图形可得∠EAC＝∠BAC ∠1＝32°19′，然后根据∠2＝∠EAD ∠EAC进行计算.
6．（2021七上·长沙期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，
故答案为： .
【分析】由∠BOE= ∠BOC可得∠BOC=n∠BOE，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，即得∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，利用∠DOE=∠BOD-∠BOE即可求解.
三、解答题
7．（2021七上·丰台期末）补全解题过程．
已知：如图，∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，OD平分∠AOC．
求∠BOD的度数．
解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝ ▲ °．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠ ▲ （ ▲ ）（填写推理依据）．
∴∠AOD＝ ▲ °．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠ ▲ ．
∴∠BOD＝ ▲ °．
【答案】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝110°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC（ 角平分线的定义）．
∴∠AOD＝55°．
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB．
∴∠BOD＝15°．
故答案为：110，AOC，角平分线的定义，55，AOB，15
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义和性质即可得出∠BOD的度数。
8．（2021七上·怀柔期末）完成下列说理过程（括号中填写推理的依据）：
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，．求证：．
证明：，
．（ ▲ ）
，
．
直线AB，CD相交于点O，
．
．
＝ ▲ ．（ ▲ ）
直线相交于，
．
▲ ．（ ▲ ）
．
【答案】证明：，
．（①角平分线定义）
，
．
直线AB，CD相交于点O，
．
．
＝②．（③等角的余角相等）
直线相交于，
．
④．（⑤同角的补角相等）
．
故答案为：①角平分线定义；②；③等角的余角相等；④；⑤同角的补角相等
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据题目所提供的解析过程结合具体问题进行解答即可。
9．（2021七上·永定期末）如图，已知 平分 ，∠COD=20°，求 的度数.
【答案】解：∵ ，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∴∠AOB=3∠BOC，
∵ 平分 ，
∴∠AOB=2∠BOD，
∴ ，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD，
∴ ，
∵∠COD=20°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOB=120°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知条件可得∠AOB=3∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOB=2∠BOD，则∠BOC=∠BOD，∠COD=∠BOD，结合∠COD的度数可得∠BOD的度数，进而可得∠AOB的度数.
四、综合题
10．（2021七上·密山期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图（1），若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）如图（2），若∠COE=∠DOB，求∠AOC的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC=×140°=70°，
∵∠COD是直角，
∴∠COE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-70°=20°；
（2）解：∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠COE=∠BOD，
∴∠COE=∠BOE=∠DOB，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=∠BOE=×90°=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，根据角的和差即可得出答案。
11．（2021七上·河南期末）如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起.若三角尺AOB不动，将三角尺COD绕点O按顺时针方向转动α（0°<α<180°）.
（1）如图2，若∠BOC=55°，则∠AOD= ，∠AOC ∠BOD（填“>”、“<”或“=”）；
（2）如图3，∠BOC=55°，则∠AOD= ，∠AOC ∠BOD（填“>”、“<”或“=”）.
（3）三角尺COD在转动的过程中，若∠BOC=β，则∠AOD= （用含β的代数式表示），∠AOC ∠BOD（填“>”、“<”或“=”）.
（4）借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与∠AOC相等的角.
【答案】（1）125°；=
（2）125°；=
（3）180°-β；=
（4）解：如图所示， 即为所作的角.
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
又
∴
故答案为：125°，=；
（2）∵
∴
又
∴∠AOC=∠BOD
故答案为：125°，=；
（3）如图，
∵∠BOC=β，
∴∠AOD=
∴
∴
故答案为：180°-β，=；
【分析】（1）易得∠AOC=∠AOB-∠BOC=35°，∠AOD=∠AOC+∠COD=125°，根据∠BOD=∠COD-∠BOC计算出∠BOD的度数，然后进行比较即可；
（2）由周角得∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠BOC=125°，∠AOC=∠AOB+∠BOC=145°，∠BOD=∠BOC+∠COD=145°，据此进行比较；
（3）易得∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠BOC=180°-β，∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+β，∠BOD=∠BOC+∠COD=90°+β，据此进行比较；
（4）首先作OC⊥OB，OD⊥AO，则∠AOC=∠BOD.
12．（2021七上·密云期末）已知：∠AOB=120°，∠COD=90°，OE平分∠AOD．
（1）如图1，当∠COD的边OD在∠AOB内部时，若∠COE=40°，求∠BOD的度数；
（2）如图2，当∠COD的边OD在∠AOB外部，且0°<∠BOD<60°时，设∠COE=α，∠BOD=β，用等式表示α与β之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：∵∠COD=90°，∠COE=40°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-40°=50°，
∵ OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=100°，
∵∠AOB=120° ，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=120°-100°=20°；
（2）解：数量关系为：2α+β=60° ，理由如下：
∵∠COD=90°，∠COE=α，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-α，
∵ OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠DOE=2（90°-α）=180°-2α，
∵∠AOB=120°，
∴β=∠AOD-∠AOB=180°-2α-120°=60°-2α，
即：2α+β=60°．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）求出∠AOD=2∠DOE=100°，则可求出∠BOD的度数；
（2）由（1）∠AOD=2∠DOE=2（90°-α）=180°-2α，则可求出β=∠AOD-∠AOB=180°-2α-120°=60°-2α。
13．（2022七上·渠县期末）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数.
以下是小明的解答过程：
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝_____∠AOB＝_____°
因为∠BOD＝20°，
所以∠COD＝______°
小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”.
完成以下问题：
（1）请你将小明的解答过程补充完整；
（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时∠COD的度数为▲ °
【答案】（1）解：如图2，∵OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
∴∠BOC＝ ∠AOB＝40°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠COD＝∠BOC+∠BOD＝40°+20°＝60°.
故答案为 ，40，60.
（2）解：如图3
；20
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，
∴∠BOC＝ ∠AOB＝40°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣20°＝20°.
故答案为：20.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BOC＝∠AOB＝40°，然后根据∠COD＝∠BOC+∠BOD进行计算；
（2）根据角平分线的概念可得∠BOC＝∠AOB＝40°，然后根据∠COD＝∠BOC-∠BOD进行计算.
14．（2021七上·香洲期末）已知射线OB，OC在钝角的内部，且满足，射线OE，OF分别平分．
（1）如图1，当射线OC在射线OB的左侧时， ，
①若， ▲ ；
②若， ▲ ；
③若，计算的度数．
（2）当射线OC在射线OB的右侧时，设，请画出图形并计算的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）①70°；②70°
③与①同样的方法可求∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°-，
∴∠COE=∠BOF = ，
∵∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，
∴∠EOF=++=70°；
（2）解：依题意：画出图形
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOC．
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠COE=，
同理：∠BOF=，
∵∠EOF=∠COE+∠BOF-∠BOC ，
∴∠EOF=+-∠BOC，
∴∠EOF=．
∵∠AOB=∠COD=，
∴∠EOF==．
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵，
∴，
∴∠AOC=∠BOD，
∵射线OE，OF分别平分，
∴∠AOE=∠COE=∠AOC，∠BOF=∠DOF=∠BOD，
∴∠AOE=∠COE=∠BOF=∠DOF，
∵，，
∴∠AOC=70°-10°=60°，
∴∠COE=∠BOF =30°，
∵∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，
∴∠EOF=30°+10°+30°=70°，
故答案为：70°；
②与①同样的方法可求∠AOC=70°-20°=50°，
∴∠COE=∠BOF =25°，
∵∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，
∴∠EOF=25°+20°+25°=70°，
故答案为：70°；
【分析】（1）①先求出，再根据角平分线的性质计算求解即可；
②先求出∠COE=∠BOF =25°，再根据∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF，计算求解即可；
（2）先求出 ∠COE=∠BOF = ， 再根据 ∠EOF=∠COE+∠BOC+∠BOF， 求解即可；
（3）先作图，再根据角平分线的性质求解即可。
15．（2022七上·毕节期末）如图，点O为直线AB上一点， ，OD平分 .
（1）求 的度数：
（2）作射线OE，使 ，求 的度数.
【答案】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠BOE+∠COE＝∠BOC，
∴ ∠COE+∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣ ∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，然后根据角平分线的概念进行计算；
（2）①当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，根据∠BOE+∠COE＝∠BOC可得∠COE的度数；②当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，根据∠COE-∠BOE＝∠BOC可得∠COE的度数.
16．（2021七上·安吉期末）已知∠AOB＝160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF＝32°，则∠BOE＝ ；
（2）如图1，若∠COF＝m°，则∠BOE＝ ；∠BOE与∠COF的数量关系为 ；
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点O逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由.
【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立，
设 ，
∵∠COE是直角，
∴ ，
∵OF平分∠AOE，
∴ ，
∴ ，
即∠BOE=2∠COF-20°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝32°，
∴ ，
∵OF平分∠AOE，
∴ ，
∵∠AOB＝160°，
∴ ；
故答案为：44°；
（2）当∠COF＝m°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：（2m-20）°， ∠BOE=2∠COF-20° ；
【分析】（1）根据余角的性质得∠EOF的度数，根据角平分线的概念可得∠AOF=∠EOF，然后根据∠BOE=∠AOB-∠AOF-∠EOF进行计算；
（2）当∠COF＝m°时，∠EOF=90°-m°，∠AOE=180°-2m°，然后根据∠BOE=∠AOB-∠AOE进行计算；
（3）设∠COF＝n°，则∠EOF=90°-n°，∠AOE=180°-2n°，然后根据∠BOE=∠AOB-∠AOE进行计算.
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