人教版七上数学第四章4.3.3余角和补角 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021七上·洪山期末）如图，货轮在O处观测到岛屿B在北偏东45°的方向，岛屿C在南偏东60°的方向，则∠BOC的大小是（ ）
A．75° B．80° C．100° D．105°
2．（2021七上·长沙期末）如图，甲从A处出发沿北偏东60°方向走向B处，乙从A处出发沿南偏西30°方向走到C处，则∠BAC的度数是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2021七上·前进期末）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
4．（2021七上·虎林期末）若与互为余角，与互为补角，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
5．（2021七上·陇县期末）已知∠A的补角是142°，则∠A的余角的度数是 .
6．（2021七上·永定期末）如果一个角余角的度数为42°51′，那么这个角补角的度数 .
7．（2021七上·大兴期末）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOC＝20°，则∠BOD＝ ．
8．（2021七上·大石桥期末）若一个角的补角与这个角的余角之和为190°，则这个角的度数为 度．
9．（2021七上·龙江期末）若与互余，且，则 ．
三、综合题
10．（2021七上·肇庆期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE 是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE 的度数；
（3）试判断 OF是否平分∠AOC，请说明理由．
11．（2021七上·吉林期末）如图①，将一副常规直角三角尺的直角顶点叠放在一起，，．解答下列问题．
（1）若∠DCE＝35°24'，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝115°，则∠DCE＝ ；
（2）当∠DCE＝α时，求∠ACB的度数，并直接写出∠DCE与∠ACB的关系；
（3）在图①的基础上作射线BC，射线EC，射线DC，如图②，则与∠ECB互补的角有 个．
12．（2021七上·永吉期末）已知：锐角∠AOB．
（1）若∠AOB=65°，则∠AOB的余角的度数为 度．
（2）若∠AOB=53°17 ，则∠AOB的补角的度数为 ．
（3）若∠AOB=31°12 ，计算：∠AOB= ．
（4）若∠AOB=20°21 ，计算：3∠AOB．
13．（2021七上·下城期末）已知 与 互补，射线 平分 ，设 ， ．
（1）如图1， 在 的内部，
①当 时，求 的值．
②当 时，求 的度数．
（2）如图2， 在 的外部， ，求 与 满足的等量关系．
14．（2020七上·禅城期末）数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题：
（1）如图1：射线 是 的平分线，这时有数量关系： ．
（2）如图2： 被射线 分成了两部分，这时有数量关系： ．
（3）如图3：直线 上有一点 ，射线 从射线 开始绕着点 顺时针旋转，直到与射线 重合才停止．
①请直接回答 与 是如何变化的？
② 与 之间有什么关系？请说明理由．
15．（2021七上·宝鸡期末）如图，直线 与 相交于点 ， ， ， ， 平分 .
（1）求 的度数；
（2）求 的度数.
16．（2021七上·大东期中）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系 ；
（2）若射线OC的位值保持不变，且∠COE＝140°
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意t的取值 ，若不存在，请说明理由；
②在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时，如图3，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值 ．
17．（2021七上·成都期末）如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点.
（1）求∠COD的度数；
（2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数.
18．（2021七上·溧水期末）如图①，已知：射线OC⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，OM平分∠BOD.
（1）∠BOE与∠COD的关系是 ，理由是： ；
（2）探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由；
（3）如图②，在上述条件下，将∠DOE旋转至直线AB的下方，请继续探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：在正北和正南方向上分别确定一点A、D，如下图所示：
由题意可知： ， ，
.
故答案为：A.
【分析】在正北和正南方向上分别确定一点A、D，由题意可得∠AOB=45°，∠COD=60°，然后根据平角的概念进行计算.
2．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：由方向角的意义可知，∠NAB=60°，∠SAC=30°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAS+∠SAC
=30°+90°+30°
=150°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BAE=90°-∠BAN=30°，再利用∠BAC=∠BAE+∠EAS+∠SAC即可求解.
3．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为 ，则它的补角为 ，根据题意得：
，
解得： ．
故答案为：A
【分析】设这个角为 ，则它的补角为 ，根据题意列出方程，求出x的值即可。
4．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2），
∴（2） （1）得，∠3 ∠2＝90°，
∴①符合题意．
（1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270° 2∠1，
∴②符合题意．
（2） （1）×2得，∠3 ∠1＝2∠2，
∴③符合题意．
由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°，
得，∠3＝180° ∠1＝2∠1＋2∠2 ∠1＝∠1＋2∠2，
∴∠3＞∠1＋∠2，
∴④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 与互为余角，与互为补角， 对每个结论一一判断求解即可。
5．【答案】52°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠A的补角为142°，
∴∠A=180°-142°=38°，
∴∠A的余角为90°-∠A=90°-38°=52°.
故答案为：52°.
【分析】利用∠A的补角=180°-∠A，可求出∠A的度数，再利用∠A的余角=90°-∠A，代入计算可求出结果.
6．【答案】132°51′
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵一个角的余角的度数是42°51′，
∴这个角为90°-42°51′=47°9′，
∴这个角的补角的度数是180°-47°9′=132°51′.
故答案为：132°51′.
【分析】根据互余两角之和为90°可得这个角为90°-42°51′，利用角度之间的换算求出该角的度数，然后根据互补两角之和为180°进行计算.
7．【答案】20°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知， ∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角， 根据同角的余角相等可得
∠BOD=∠AOC=20.
故答案为：20.
【分析】先求出∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角， 再根据 ∠AOC＝20°， 求解即可。
8．【答案】40
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x°，则它的补角为（180-x）°，它的余角为（90-x）°，由题意得：
(180-x)+(90-x)=190，
解得：x=40，
故答案为： 40．
【分析】设这个角为x°，则它的补角为（180-x）°，它的余角为（90-x）°，根据题意列出方程(180-x)+(90-x)=190，求解即可。
9．【答案】69°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：因为，
所以设∠α=2x，∠β=3x，
因为与互余，
所以2x+3x=90°，解得x=18°，
所以∠α=36°，∠β=54°，
所以；
故答案为69°．
【分析】根据，所以设∠α=2x，∠β=3x，再根据与互余，列出方程，得出x的值，推出∠α=36°，∠β=54°，即可得出答案。
10．【答案】（1）∠AOE或∠DOE
（2）解：∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）解：OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°，
∵∠BOE＋∠EOC＋∠COF＋∠FOA＝180°，
∴∠COE＋∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
【分析】（1）根据∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，求解即可；
（2）先求出 ∠COF＝60°，∠COE＝30°，再根据角平分线计算求解即可；
（3）先求出∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°， 再求出 ∠FOA＝∠COF， 最后作答即可。
11．【答案】（1）；
（2）解：，
，
；
，即与互补；
（3）5
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】(1)解：，
. ，
，
，
，
故答案为：；；
（3）解：由图可知，
，
与互补的角有5个；
故答案为：5．
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求出答案；
（2）方法同（1）即可得出结论；
（3）利用直角的意义互补的定义即可得出答案。
12．【答案】（1）25
（2）126°43
（3）15°36
（4）解：3∠AOB=3×20°21 =60°63 =61°3
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）∠AOB的余角的度数为
（2） ；
（3） ；
【分析】（1）根据余角的性质，再利用角的运算法则计算即可；
（2）根据补角的性质，再利用角的运算法则计算即可；
（3）利用角的运算法则计算即可；
（4）利用角的运算法则计算即可。
13．【答案】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据互补角的性质以及已知条件可得∠AOB的度数，进而可得α+β的度数；
②设∠COD=2x，根据角平分线的概念可表示出∠COE、∠DOE，然后根据∠AOB+∠COD=180°以及α=3β可得到4(x+β)的度数，进而求得∠BOE的度数；
（2）根据角度之间的和差关系可推出∠COD=2β-90°，然后结合∠BOC=90°-β可表示出∠AOB，接下来根据∠AOB+∠COD=180°进行计算即可.
14．【答案】（1） （或 ）
（2）
（3）解：① 逐渐增大， 逐渐减小；
② ．
证明：∵ ， ，
∴ ．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵射线 是 的平分线，
∴ ，
故答案为： （或 ）；
（2）由图可知， ，
故答案为： ；
【分析】（1）由角平分线的定义得出，据此填空即可；
（2）利用角的和差求解即可；
（3）①由题意可知 逐渐增大， 逐渐减小；②根据补角的定义解答即可.
15．【答案】（1）解：∵∠AOF= ，∠COE= ，
∴∠DOE= ，∠FOB= ，
∵∠DOF= ，
∴∠DOB=∠FOB-∠FOD= ，
∴∠BOE=∠DOE-∠DOB=
（2）解：∵OH平分∠BOE，∠BOE= ，
∴∠BOH=∠EOH= ，
∴∠AOH= .
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠AOF= ，∠COE= 可得∠DOE= ，∠FOB=从而得出∠DOB=∠FOB-∠FOD=30°，利用∠BOE=∠DOE-∠DOB即可求出结论；
（2）根据角平分线的定义，得出∠BOH=∠EOH= ，进而由∠AOH= 即可求出结论.
16．【答案】（1）∠BOC=∠BOE
（2）存在， ∵∠COE=140°， ∴∠COD=40°， 当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC=20°，则10t=20°，∴t=2； 当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠DOC，则10t－40°=40°，∴t=8； 当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠DOC，则360°－10t=40°，∴t=32， 综上，所有满足题意的t的取值为2、8和32， 故答案为：2、8和32；50°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵OA平分∠COD，
∴∠AOD=∠AOC，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOD =90°，∠BOC+∠AOC =90°，
∴∠BOC=∠BOE，
故答案为：∠BOC=∠BOE；
（2）②∵∠COE=140°，
∴∠AOC=∠COE－∠AOE=140°－∠AOE，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=90°－∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE=（140°－∠AOE）－（90°－∠AOE）=50°，
故答案为：50°．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOC，由∠BOE+∠AOD =90°，∠BOC+∠AOC =90°，利用余角的性质即得∠BOC=∠BOE；
（2）① 分三种情况：当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC；当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠DOC；当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠DOC ，据此分别列出关于t的方程，解之即可；
②利用角的和差关系可求出∠AOC=∠COE－∠AOE=140°－∠AOE，∠BOE=90°－∠AOE，然后求出∠AOC﹣∠BOE的值即可.
17．【答案】（1）解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC=120°，∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，点D在射线ON的反向延长线上，
∴∠BOD=90°
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=30°；
（2）解：由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，
∴当 时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，而 ，
∴OC不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2，
∴若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠COD时，则有 ，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠BON=40°；
当∠COD=2∠AOD时，则有 ，
∴∠BON=∠AOD=20°；
若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠AOC时，则有 ，
∴ ，（不符合题意，舍去），
当∠AOC=2∠AOD时，则有∠AOD=30°，
∴ ，
∴∠BON=∠AOD=30°；
综上所述：若三条射线OA、OC、OD，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，∠BON的度数为40°或20°或30°.
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较
【解析】【分析】（1）由题意易得∠AOC+∠BOC=180°，则有∠BOC=120°，∠AOC=60°，然后找出∠BOD=90°，进而根据 ∠COD=∠BOC-∠BOD 即可求解；
（2）由题意分①当 时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，不符合题意，②若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，③若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，进而根据角的和差关系进行分类求解即可.
18．【答案】（1）相等；同角的余角相等
（2）解：∠AOD＝2∠COM，理由如下：
∵OM平分∠BOD
∴∠BOD＝2∠BOM
∴∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－2∠BOM＝2(90°－∠BOM)
又∵OC⊥AB
∴∠COM＝90°－∠BOM
∴∠AOD＝2∠COM ；
（3）解：∠AOD＋2∠COM＝360°，理由如下：
∵∠DOE＝90°，OC⊥AB ，
∴∠COE＝∠AOD ，
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM，
∴∠COM＝∠EOM ，
∵∠COE+∠EOM+∠COM＝360°，
∴∠AOD+2∠COM＝360°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠COE=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠BOE=∠COD（同角的余角相等），
故答案为：相等，同角的余角相等；
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到结论；
（2）由角平分线的定义得∠BOD＝2∠BOM，结合∠AOD＝2(90°－∠BOM)与∠COM＝90°－∠BOM，即可得到结论；
（3）先推出∠COE＝∠AOD，由角平分线的定义得∠BOM＝∠DOM，进而得∠COM＝∠EOM，进而即可得到结论.
1 / 1人教版七上数学第四章4.3.3余角和补角 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021七上·洪山期末）如图，货轮在O处观测到岛屿B在北偏东45°的方向，岛屿C在南偏东60°的方向，则∠BOC的大小是（ ）
A．75° B．80° C．100° D．105°
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：在正北和正南方向上分别确定一点A、D，如下图所示：
由题意可知： ， ，
.
故答案为：A.
【分析】在正北和正南方向上分别确定一点A、D，由题意可得∠AOB=45°，∠COD=60°，然后根据平角的概念进行计算.
2．（2021七上·长沙期末）如图，甲从A处出发沿北偏东60°方向走向B处，乙从A处出发沿南偏西30°方向走到C处，则∠BAC的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：由方向角的意义可知，∠NAB=60°，∠SAC=30°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAS+∠SAC
=30°+90°+30°
=150°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BAE=90°-∠BAN=30°，再利用∠BAC=∠BAE+∠EAS+∠SAC即可求解.
3．（2021七上·前进期末）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为 ，则它的补角为 ，根据题意得：
，
解得： ．
故答案为：A
【分析】设这个角为 ，则它的补角为 ，根据题意列出方程，求出x的值即可。
4．（2021七上·虎林期末）若与互为余角，与互为补角，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2），
∴（2） （1）得，∠3 ∠2＝90°，
∴①符合题意．
（1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270° 2∠1，
∴②符合题意．
（2） （1）×2得，∠3 ∠1＝2∠2，
∴③符合题意．
由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°，
得，∠3＝180° ∠1＝2∠1＋2∠2 ∠1＝∠1＋2∠2，
∴∠3＞∠1＋∠2，
∴④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 与互为余角，与互为补角， 对每个结论一一判断求解即可。
二、填空题
5．（2021七上·陇县期末）已知∠A的补角是142°，则∠A的余角的度数是 .
【答案】52°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠A的补角为142°，
∴∠A=180°-142°=38°，
∴∠A的余角为90°-∠A=90°-38°=52°.
故答案为：52°.
【分析】利用∠A的补角=180°-∠A，可求出∠A的度数，再利用∠A的余角=90°-∠A，代入计算可求出结果.
6．（2021七上·永定期末）如果一个角余角的度数为42°51′，那么这个角补角的度数 .
【答案】132°51′
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵一个角的余角的度数是42°51′，
∴这个角为90°-42°51′=47°9′，
∴这个角的补角的度数是180°-47°9′=132°51′.
故答案为：132°51′.
【分析】根据互余两角之和为90°可得这个角为90°-42°51′，利用角度之间的换算求出该角的度数，然后根据互补两角之和为180°进行计算.
7．（2021七上·大兴期末）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOC＝20°，则∠BOD＝ ．
【答案】20°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知， ∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角， 根据同角的余角相等可得
∠BOD=∠AOC=20.
故答案为：20.
【分析】先求出∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角， 再根据 ∠AOC＝20°， 求解即可。
8．（2021七上·大石桥期末）若一个角的补角与这个角的余角之和为190°，则这个角的度数为 度．
【答案】40
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x°，则它的补角为（180-x）°，它的余角为（90-x）°，由题意得：
(180-x)+(90-x)=190，
解得：x=40，
故答案为： 40．
【分析】设这个角为x°，则它的补角为（180-x）°，它的余角为（90-x）°，根据题意列出方程(180-x)+(90-x)=190，求解即可。
9．（2021七上·龙江期末）若与互余，且，则 ．
【答案】69°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：因为，
所以设∠α=2x，∠β=3x，
因为与互余，
所以2x+3x=90°，解得x=18°，
所以∠α=36°，∠β=54°，
所以；
故答案为69°．
【分析】根据，所以设∠α=2x，∠β=3x，再根据与互余，列出方程，得出x的值，推出∠α=36°，∠β=54°，即可得出答案。
三、综合题
10．（2021七上·肇庆期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE 是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE 的度数；
（3）试判断 OF是否平分∠AOC，请说明理由．
【答案】（1）∠AOE或∠DOE
（2）解：∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）解：OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°，
∵∠BOE＋∠EOC＋∠COF＋∠FOA＝180°，
∴∠COE＋∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
【分析】（1）根据∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，求解即可；
（2）先求出 ∠COF＝60°，∠COE＝30°，再根据角平分线计算求解即可；
（3）先求出∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°， 再求出 ∠FOA＝∠COF， 最后作答即可。
11．（2021七上·吉林期末）如图①，将一副常规直角三角尺的直角顶点叠放在一起，，．解答下列问题．
（1）若∠DCE＝35°24'，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝115°，则∠DCE＝ ；
（2）当∠DCE＝α时，求∠ACB的度数，并直接写出∠DCE与∠ACB的关系；
（3）在图①的基础上作射线BC，射线EC，射线DC，如图②，则与∠ECB互补的角有 个．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
；
，即与互补；
（3）5
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】(1)解：，
. ，
，
，
，
故答案为：；；
（3）解：由图可知，
，
与互补的角有5个；
故答案为：5．
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求出答案；
（2）方法同（1）即可得出结论；
（3）利用直角的意义互补的定义即可得出答案。
12．（2021七上·永吉期末）已知：锐角∠AOB．
（1）若∠AOB=65°，则∠AOB的余角的度数为 度．
（2）若∠AOB=53°17 ，则∠AOB的补角的度数为 ．
（3）若∠AOB=31°12 ，计算：∠AOB= ．
（4）若∠AOB=20°21 ，计算：3∠AOB．
【答案】（1）25
（2）126°43
（3）15°36
（4）解：3∠AOB=3×20°21 =60°63 =61°3
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）∠AOB的余角的度数为
（2） ；
（3） ；
【分析】（1）根据余角的性质，再利用角的运算法则计算即可；
（2）根据补角的性质，再利用角的运算法则计算即可；
（3）利用角的运算法则计算即可；
（4）利用角的运算法则计算即可。
13．（2021七上·下城期末）已知 与 互补，射线 平分 ，设 ， ．
（1）如图1， 在 的内部，
①当 时，求 的值．
②当 时，求 的度数．
（2）如图2， 在 的外部， ，求 与 满足的等量关系．
【答案】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
②设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据互补角的性质以及已知条件可得∠AOB的度数，进而可得α+β的度数；
②设∠COD=2x，根据角平分线的概念可表示出∠COE、∠DOE，然后根据∠AOB+∠COD=180°以及α=3β可得到4(x+β)的度数，进而求得∠BOE的度数；
（2）根据角度之间的和差关系可推出∠COD=2β-90°，然后结合∠BOC=90°-β可表示出∠AOB，接下来根据∠AOB+∠COD=180°进行计算即可.
14．（2020七上·禅城期末）数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题：
（1）如图1：射线 是 的平分线，这时有数量关系： ．
（2）如图2： 被射线 分成了两部分，这时有数量关系： ．
（3）如图3：直线 上有一点 ，射线 从射线 开始绕着点 顺时针旋转，直到与射线 重合才停止．
①请直接回答 与 是如何变化的？
② 与 之间有什么关系？请说明理由．
【答案】（1） （或 ）
（2）
（3）解：① 逐渐增大， 逐渐减小；
② ．
证明：∵ ， ，
∴ ．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵射线 是 的平分线，
∴ ，
故答案为： （或 ）；
（2）由图可知， ，
故答案为： ；
【分析】（1）由角平分线的定义得出，据此填空即可；
（2）利用角的和差求解即可；
（3）①由题意可知 逐渐增大， 逐渐减小；②根据补角的定义解答即可.
15．（2021七上·宝鸡期末）如图，直线 与 相交于点 ， ， ， ， 平分 .
（1）求 的度数；
（2）求 的度数.
【答案】（1）解：∵∠AOF= ，∠COE= ，
∴∠DOE= ，∠FOB= ，
∵∠DOF= ，
∴∠DOB=∠FOB-∠FOD= ，
∴∠BOE=∠DOE-∠DOB=
（2）解：∵OH平分∠BOE，∠BOE= ，
∴∠BOH=∠EOH= ，
∴∠AOH= .
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠AOF= ，∠COE= 可得∠DOE= ，∠FOB=从而得出∠DOB=∠FOB-∠FOD=30°，利用∠BOE=∠DOE-∠DOB即可求出结论；
（2）根据角平分线的定义，得出∠BOH=∠EOH= ，进而由∠AOH= 即可求出结论.
16．（2021七上·大东期中）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系 ；
（2）若射线OC的位值保持不变，且∠COE＝140°
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意t的取值 ，若不存在，请说明理由；
②在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时，如图3，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值 ．
【答案】（1）∠BOC=∠BOE
（2）存在， ∵∠COE=140°， ∴∠COD=40°， 当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC=20°，则10t=20°，∴t=2； 当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠DOC，则10t－40°=40°，∴t=8； 当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠DOC，则360°－10t=40°，∴t=32， 综上，所有满足题意的t的取值为2、8和32， 故答案为：2、8和32；50°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵OA平分∠COD，
∴∠AOD=∠AOC，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOD =90°，∠BOC+∠AOC =90°，
∴∠BOC=∠BOE，
故答案为：∠BOC=∠BOE；
（2）②∵∠COE=140°，
∴∠AOC=∠COE－∠AOE=140°－∠AOE，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=90°－∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE=（140°－∠AOE）－（90°－∠AOE）=50°，
故答案为：50°．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOC，由∠BOE+∠AOD =90°，∠BOC+∠AOC =90°，利用余角的性质即得∠BOC=∠BOE；
（2）① 分三种情况：当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC；当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠DOC；当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠DOC ，据此分别列出关于t的方程，解之即可；
②利用角的和差关系可求出∠AOC=∠COE－∠AOE=140°－∠AOE，∠BOE=90°－∠AOE，然后求出∠AOC﹣∠BOE的值即可.
17．（2021七上·成都期末）如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点.
（1）求∠COD的度数；
（2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数.
【答案】（1）解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC=120°，∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，点D在射线ON的反向延长线上，
∴∠BOD=90°
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=30°；
（2）解：由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，
∴当 时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，而 ，
∴OC不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2，
∴若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠COD时，则有 ，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠BON=40°；
当∠COD=2∠AOD时，则有 ，
∴∠BON=∠AOD=20°；
若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠AOC时，则有 ，
∴ ，（不符合题意，舍去），
当∠AOC=2∠AOD时，则有∠AOD=30°，
∴ ，
∴∠BON=∠AOD=30°；
综上所述：若三条射线OA、OC、OD，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，∠BON的度数为40°或20°或30°.
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较
【解析】【分析】（1）由题意易得∠AOC+∠BOC=180°，则有∠BOC=120°，∠AOC=60°，然后找出∠BOD=90°，进而根据 ∠COD=∠BOC-∠BOD 即可求解；
（2）由题意分①当 时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，不符合题意，②若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，③若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，进而根据角的和差关系进行分类求解即可.
18．（2021七上·溧水期末）如图①，已知：射线OC⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，OM平分∠BOD.
（1）∠BOE与∠COD的关系是 ，理由是： ；
（2）探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由；
（3）如图②，在上述条件下，将∠DOE旋转至直线AB的下方，请继续探索∠AOD与∠COM的关系，并说明理由.
【答案】（1）相等；同角的余角相等
（2）解：∠AOD＝2∠COM，理由如下：
∵OM平分∠BOD
∴∠BOD＝2∠BOM
∴∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－2∠BOM＝2(90°－∠BOM)
又∵OC⊥AB
∴∠COM＝90°－∠BOM
∴∠AOD＝2∠COM ；
（3）解：∠AOD＋2∠COM＝360°，理由如下：
∵∠DOE＝90°，OC⊥AB ，
∴∠COE＝∠AOD ，
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM，
∴∠COM＝∠EOM ，
∵∠COE+∠EOM+∠COM＝360°，
∴∠AOD+2∠COM＝360°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠COE=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠BOE=∠COD（同角的余角相等），
故答案为：相等，同角的余角相等；
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得到结论；
（2）由角平分线的定义得∠BOD＝2∠BOM，结合∠AOD＝2(90°－∠BOM)与∠COM＝90°－∠BOM，即可得到结论；
（3）先推出∠COE＝∠AOD，由角平分线的定义得∠BOM＝∠DOM，进而得∠COM＝∠EOM，进而即可得到结论.
1 / 1
