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人教版八上数学第十四章14.3.2公式法 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·南充期末）设 （ 的自然数），如果 是整数，n的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
，
，
是整数， 的自然数， 应是12的约数，即 可以为3，4，6，12，
因此n的值可以为2，3，5，11，满足条件的n的值一共有4个.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式可将M中的各个因数分解因式，再进行计算可求出M，然后代入 ，根据是整数，可得到符合题意的n的值.
2．（2021八上·芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意；
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意；
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意；
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法和公式法分解因式即可。
3．（2021八上·如皋月考）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）.
∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0.
∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0.
∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0.
∵a≠b.
∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=-bc
∵a2（b+c）＝2021.
∴a（ab+ac）＝2021.
∴a（﹣bc）＝2021.
∴﹣abc＝2021.
∴abc＝﹣2021.
∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020
＝﹣abc﹣2020
＝2021﹣2020
＝1.
故答案为：B.
【分析】利用因式分解法将等式a2（b+c）＝b2（a+c）转化为（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，根据a，b，c是互不相等，可得到a≠b，可推出ab+ac+bc=0，再根据a2（b+c）＝2021，可得到a（ab+ac）＝2021，即可求出-abc的值；然后将代数式转化为﹣abc﹣2020，代入计算可求出结果.
4．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
二、填空题
5．（2021八上·遂宁期末）因式分解：－ x +xy－ y = .
【答案】
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式.
6．（2021八上·莱州期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入多项式进行因式分解即可。
三、计算题
7．（2021八上·遂宁期末）分解因式： .
【答案】解：原式
.
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】将（x2+1）看成整体，先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式.
8．（2021八上·川汇期末）
（1）运用乘法公式计算：；
（2）分解因式：.
【答案】（1）解：
=
=；
（2）解：
=
=.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】（1）观察两个多项式可得：x是完全相同的项，3y和2是互为相反的项，符合平方差公式的特征，于是原式=[x+(3y-2)][x-(3y-2)]=x2-(3y-2)2，再由完全平方公式计算即可求解；
（2）观察多项式可知：将中间两项结合可得原式=（a-b）2-10(a-b)+52，符合完全平方公式的特征，根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”计算即可求解.
9．（2021八上·龙凤期末）因式分解：（x2+9）2﹣36x2．
【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可。
10．（2021八上·虎林期末）
（1）20032-1999×2001（公式法）
（2）16（a-b）2-9（a+b）2 （分解因式）
【答案】（1）解：20032-1999×2001
=（2000+3）2-（2000-1）（2000+1）
=20002+2×2000×3+9-（20002-12）
=20002+2×2000×3+9-20002+12
=12010
（2）解：16（a-b）2-9（a+b）2
=
=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为 20032-1999×2001=（2000+3）2-（2000-1）（2000+1） ，再利用完全平方公式和平方差公式求解即可；
（2）先利用平方差公式因式分解化简，再合并同类项即可。
11．（2021八上·江油期末）因式分解
（1）﹣12xy+x2+36y2
（2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）
（3）﹣4x3+20x2﹣24x
【答案】（1）解：﹣12xy+x2+36y2
＝36y2﹣12xy+x2
＝（x﹣6y）2；
（2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）．
＝mn（m﹣n）+m（m﹣n）
＝m（m﹣n）（n+1）；
（3）﹣4x3+20x2﹣24x
＝﹣4x（x2﹣5x+6）
＝﹣4x（x﹣2）（x﹣3）．
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】(1)先整理原式，利用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)利用提取公因式法分解因式即可；
(3)先提取公因式-4x，再利用十字交叉法进行因式分解即可.
12．（2021八上·陵城月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3－24a3b；
（2）x4－8x2＋16；
（3）a2（x＋y）－b2（y＋x）
（4）4m2n2－（m2＋n2）2
【答案】（1）解：原式＝6ab（b2－4a2）＝6ab（b＋2a）（b－2a）．
（2）解：原式＝（x2－4）2＝（x－2）2（x＋2）2.
（3）解：原式＝（x＋y）（a2－b2）＝（x＋y）（a＋b）（a－b）．
（4）解：原式＝（2mn＋m2＋n2）（2mn－m2－n2）＝－（m＋n）2（m－n）2.
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）先提取公因式6ab，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用完全平方公式化简，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）先提取公因式（x+y），再利用平方差公式因式分解即可；
（4）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式化简即可。
13．（2021八上·泰安期中）分解因式：
（1）-3a2+6ab-3b2；
（2）x(x-y)-y(y-x) ；
（3）3(x-1)2-18(x-1)+27．
（4）20202-2021×4040+20212
【答案】（1）解： ＝﹣3（a﹣b）2
（2）解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
（3）解： ＝3（x﹣4）2
（4）解：20202﹣2021×4040+20212＝（2020﹣2021）2＝1
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）先提公因式-3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案；
（2）利用提公因式法进行因式分解，即可得出答案；
（3）先提公因式3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案；
（4）利用完全平方公式进行因式分解，然后再进行计算，即可得出答案.
四、解答题
14．（2021八上·中山期末）在的运算结果中，的系数为-4，x的系数为-7，求a，b的值并对式子进行因式分解．
【答案】解：∵
∴，
解得：，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】先计算多项式乘多项式，结合的系数为-4，x的系数为-7，建立a、b的方程，从而求出a、b的值，最后将a、b 值代入式子中进行分解因式即可.
15．（2021八上·东平月考）求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
【答案】解：
=24（n+1），
∴能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2-（n-5）2因式分解可以得到（n+7）2-（n-5）2=24（n+1），即可得到答案。
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人教版八上数学第十四章14.3.2公式法 课时易错题三刷（第一刷）
一、单选题
1．（2021八上·南充期末）设 （ 的自然数），如果 是整数，n的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2021八上·芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·如皋月考）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
4．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
二、填空题
5．（2021八上·遂宁期末）因式分解：－ x +xy－ y = .
6．（2021八上·莱州期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
三、计算题
7．（2021八上·遂宁期末）分解因式： .
8．（2021八上·川汇期末）
（1）运用乘法公式计算：；
（2）分解因式：.
9．（2021八上·龙凤期末）因式分解：（x2+9）2﹣36x2．
10．（2021八上·虎林期末）
（1）20032-1999×2001（公式法）
（2）16（a-b）2-9（a+b）2 （分解因式）
11．（2021八上·江油期末）因式分解
（1）﹣12xy+x2+36y2
（2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）
（3）﹣4x3+20x2﹣24x
12．（2021八上·陵城月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3－24a3b；
（2）x4－8x2＋16；
（3）a2（x＋y）－b2（y＋x）
（4）4m2n2－（m2＋n2）2
13．（2021八上·泰安期中）分解因式：
（1）-3a2+6ab-3b2；
（2）x(x-y)-y(y-x) ；
（3）3(x-1)2-18(x-1)+27．
（4）20202-2021×4040+20212
四、解答题
14．（2021八上·中山期末）在的运算结果中，的系数为-4，x的系数为-7，求a，b的值并对式子进行因式分解．
15．（2021八上·东平月考）求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
，
，
是整数， 的自然数， 应是12的约数，即 可以为3，4，6，12，
因此n的值可以为2，3，5，11，满足条件的n的值一共有4个.
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式可将M中的各个因数分解因式，再进行计算可求出M，然后代入 ，根据是整数，可得到符合题意的n的值.
2．【答案】C
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意；
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意；
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意；
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法和公式法分解因式即可。
3．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）.
∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0.
∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0.
∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0.
∵a≠b.
∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=-bc
∵a2（b+c）＝2021.
∴a（ab+ac）＝2021.
∴a（﹣bc）＝2021.
∴﹣abc＝2021.
∴abc＝﹣2021.
∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020
＝﹣abc﹣2020
＝2021﹣2020
＝1.
故答案为：B.
【分析】利用因式分解法将等式a2（b+c）＝b2（a+c）转化为（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，根据a，b，c是互不相等，可得到a≠b，可推出ab+ac+bc=0，再根据a2（b+c）＝2021，可得到a（ab+ac）＝2021，即可求出-abc的值；然后将代数式转化为﹣abc﹣2020，代入计算可求出结果.
4．【答案】C
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
5．【答案】
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为： .
【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式分解因式.
6．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入多项式进行因式分解即可。
7．【答案】解：原式
.
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】将（x2+1）看成整体，先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式.
8．【答案】（1）解：
=
=；
（2）解：
=
=.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】（1）观察两个多项式可得：x是完全相同的项，3y和2是互为相反的项，符合平方差公式的特征，于是原式=[x+(3y-2)][x-(3y-2)]=x2-(3y-2)2，再由完全平方公式计算即可求解；
（2）观察多项式可知：将中间两项结合可得原式=（a-b）2-10(a-b)+52，符合完全平方公式的特征，根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”计算即可求解.
9．【答案】解：
．
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可。
10．【答案】（1）解：20032-1999×2001
=（2000+3）2-（2000-1）（2000+1）
=20002+2×2000×3+9-（20002-12）
=20002+2×2000×3+9-20002+12
=12010
（2）解：16（a-b）2-9（a+b）2
=
=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为 20032-1999×2001=（2000+3）2-（2000-1）（2000+1） ，再利用完全平方公式和平方差公式求解即可；
（2）先利用平方差公式因式分解化简，再合并同类项即可。
11．【答案】（1）解：﹣12xy+x2+36y2
＝36y2﹣12xy+x2
＝（x﹣6y）2；
（2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）．
＝mn（m﹣n）+m（m﹣n）
＝m（m﹣n）（n+1）；
（3）﹣4x3+20x2﹣24x
＝﹣4x（x2﹣5x+6）
＝﹣4x（x﹣2）（x﹣3）．
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】(1)先整理原式，利用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)利用提取公因式法分解因式即可；
(3)先提取公因式-4x，再利用十字交叉法进行因式分解即可.
12．【答案】（1）解：原式＝6ab（b2－4a2）＝6ab（b＋2a）（b－2a）．
（2）解：原式＝（x2－4）2＝（x－2）2（x＋2）2.
（3）解：原式＝（x＋y）（a2－b2）＝（x＋y）（a＋b）（a－b）．
（4）解：原式＝（2mn＋m2＋n2）（2mn－m2－n2）＝－（m＋n）2（m－n）2.
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）先提取公因式6ab，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用完全平方公式化简，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）先提取公因式（x+y），再利用平方差公式因式分解即可；
（4）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式化简即可。
13．【答案】（1）解： ＝﹣3（a﹣b）2
（2）解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
（3）解： ＝3（x﹣4）2
（4）解：20202﹣2021×4040+20212＝（2020﹣2021）2＝1
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）先提公因式-3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案；
（2）利用提公因式法进行因式分解，即可得出答案；
（3）先提公因式3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案；
（4）利用完全平方公式进行因式分解，然后再进行计算，即可得出答案.
14．【答案】解：∵
∴，
解得：，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】先计算多项式乘多项式，结合的系数为-4，x的系数为-7，建立a、b的方程，从而求出a、b的值，最后将a、b 值代入式子中进行分解因式即可.
15．【答案】解：
=24（n+1），
∴能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2-（n-5）2因式分解可以得到（n+7）2-（n-5）2=24（n+1），即可得到答案。
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