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人教版八上数学第十四章14.3.2公式法 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·浠水月考）下列各式中，代数式（ ）是x3y+4x2y2+4xy3的一个因式.
A．x2y2 B．x+y C．x+2y D．x﹣y
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
∴是的一个因式.
故答案为：C.
【分析】先将原式利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可判断.
2．（2021八上·如皋月考）若多项式因式分解后的一个因式是的值是（ ）
A．-2 B．0 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），
∴当x+1=0，即x=-1时，x2+bx+c=0，即1-b+c=0，
∴b-c=1，
故答案为：D.
【分析】设x2+bx+c=0，利用已知多项式分解后的一个因式是（x+1），由x+1=0可求出x的值，再将x=-1代入可求出b-c的值.
3．（2021八上·德阳月考）若一个等腰三角形的两边m，n满足9m2-n2=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．16 D．11或16
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵9m2-n2=-13，
∴（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，
∵3m+n=13，
∴3m-n=-1，
∴m=2，n=7，
∴当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，
当m为腰，n为底时，不能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为16.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，由3m+n=13得出3m-n=-1，从而得出m=2，n=7，分两种情况讨论：当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，当m为腰，n为底时，不能构成三角形，即可得出答案.
4．（2021八上·临淄期中）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： （n+1）2﹣（n﹣3）2
n为自然数
所以（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8整除，
故答案为：D
【分析】先利用平方差公式因式分解，再根据结果可得答案。
5．（2021八上·内江开学考）若a﹣b ，则a2﹣b2﹣b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2﹣b=（a+b）（a-b）-b
∴原式=.
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式将代数式转化为（a+b）（a-b）-b，整体代入后化简可得到；再整体代入可求出结果.
6．（2021八上·古蔺期末）若 ，则 的值为（ ）
A．13 B．18 C．5 D．1
【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵
∴原式
故答案为：A.
【分析】将代数式中含字母的部分先提取公因式2，再利用完全平方公式继续分解因式，进而整体代入即可算出答案.
7．（2021八上·内江期末）已知x，y，z是正整数，x y，且 ，则 等于（ ）
A． B．1或23 C．1 D． 或
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： 可化为： ，
∵ ，
∴ ，
又∵23是质数，只有1和23两个因式，
则 等于1或23，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为：B.
【分析】将 化为 ，根据 ，23是质数得 等于1或23，据此求解即可.
8．（2021八上·内江期末）已知 ， ， ，则代数式 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴
故答案为：D.
【分析】通过已知条件可求得a-b，b-c，a-c的值，将代数式适当变形，将a-b，b-c，a-c的值代入即可求解.
二、填空题
9．（2021八上·陵城月考）分解因式 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先将代数式变形为，再利用完全平方公式因式分解即可。
三、计算题
10．（2021八上·东平月考）请将下列各式因式分解．
（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）；
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2．
（3）2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）．
【答案】（1）解：3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）
＝3a（x﹣y）+5b（x﹣y）
＝（x﹣y）（3a+5b）
（2）解：x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2
＝x2（a﹣b）2﹣y2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（x2﹣y2）
＝（a﹣b）2（x -y）（x +y）
（3）解：2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn
＝
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提取公因式（x-y）即可得到答案；
（2）先提取公因式（a﹣b）2，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）提取公因式即可得到答案。
11．（2021八上·东平月考）因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
（7）解：
（8）解：
（9）解：
（10）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】利用提公因式法、平方差公式、十字相乘法和完全平方公式因式分解即可。
四、解答题
12．（2020八上·西丰期末）阅读例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2+4x+m＝（x+1）（x+n），则
x2+4x+m＝x2+（n+1）x+n，
∴ ，
解得 ，
∴另一个因式（x+3），m的值为3．
问题：已知二次三项式2x2+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．
【答案】解：设另一个因式为（x+p），得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3），
则2x2+x+k＝2x2+（2p﹣3）x﹣3p，
∴ ，
解得 ，
∴另一个因式为（x+2），k的值为﹣6．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】设另一个因式为（x+p），得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3），则2x2+x+k＝2x2+（2p﹣3）x﹣3p，继而求出p、k的值及另一个因式。
13．（2021八上·南阳期末）已知 是多项式 的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解.
【答案】解：设 ，
则 ，
所以 ， ， ，
解得 ， ， .
所以 .
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好.由题意可假设多项式 ，则将其展开、合并同类项，并与 式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定.
五、综合题
14．（2021八上·陵城月考）下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）解：∵，∴因式分解不彻底．
（3）解：设，则原式
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）∵，∴运用了两数和的完全平方公式．
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式的特征即可得到答案；
（2）根据因式分解的定义及计算要求求解即可；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
15．（2021八上·丰泽期末）已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用和的完全平方公式展开，代入后变形计算即可；
（2）巧用因式分解法的提取公因式法，把被求代数式用给出的代数式表示，后代入求值即可.
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人教版八上数学第十四章14.3.2公式法 课时易错题三刷（第二刷）
一、单选题
1．（2021八上·浠水月考）下列各式中，代数式（ ）是x3y+4x2y2+4xy3的一个因式.
A．x2y2 B．x+y C．x+2y D．x﹣y
2．（2021八上·如皋月考）若多项式因式分解后的一个因式是的值是（ ）
A．-2 B．0 C．-1 D．1
3．（2021八上·德阳月考）若一个等腰三角形的两边m，n满足9m2-n2=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．16 D．11或16
4．（2021八上·临淄期中）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
5．（2021八上·内江开学考）若a﹣b ，则a2﹣b2﹣b的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2021八上·古蔺期末）若 ，则 的值为（ ）
A．13 B．18 C．5 D．1
7．（2021八上·内江期末）已知x，y，z是正整数，x y，且 ，则 等于（ ）
A． B．1或23 C．1 D． 或
8．（2021八上·内江期末）已知 ， ， ，则代数式 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．（2021八上·陵城月考）分解因式 ．
三、计算题
10．（2021八上·东平月考）请将下列各式因式分解．
（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）；
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2．
（3）2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）．
11．（2021八上·东平月考）因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
四、解答题
12．（2020八上·西丰期末）阅读例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2+4x+m＝（x+1）（x+n），则
x2+4x+m＝x2+（n+1）x+n，
∴ ，
解得 ，
∴另一个因式（x+3），m的值为3．
问题：已知二次三项式2x2+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．
13．（2021八上·南阳期末）已知 是多项式 的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解.
五、综合题
14．（2021八上·陵城月考）下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
15．（2021八上·丰泽期末）已知 ， .求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
∴是的一个因式.
故答案为：C.
【分析】先将原式利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可判断.
2．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是（x+1），
∴当x+1=0，即x=-1时，x2+bx+c=0，即1-b+c=0，
∴b-c=1，
故答案为：D.
【分析】设x2+bx+c=0，利用已知多项式分解后的一个因式是（x+1），由x+1=0可求出x的值，再将x=-1代入可求出b-c的值.
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵9m2-n2=-13，
∴（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，
∵3m+n=13，
∴3m-n=-1，
∴m=2，n=7，
∴当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，
当m为腰，n为底时，不能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为16.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，由3m+n=13得出3m-n=-1，从而得出m=2，n=7，分两种情况讨论：当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，当m为腰，n为底时，不能构成三角形，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： （n+1）2﹣（n﹣3）2
n为自然数
所以（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8整除，
故答案为：D
【分析】先利用平方差公式因式分解，再根据结果可得答案。
5．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2﹣b=（a+b）（a-b）-b
∴原式=.
故答案为：B.
【分析】利用平方差公式将代数式转化为（a+b）（a-b）-b，整体代入后化简可得到；再整体代入可求出结果.
6．【答案】A
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵
∴原式
故答案为：A.
【分析】将代数式中含字母的部分先提取公因式2，再利用完全平方公式继续分解因式，进而整体代入即可算出答案.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： 可化为： ，
∵ ，
∴ ，
又∵23是质数，只有1和23两个因式，
则 等于1或23，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为：B.
【分析】将 化为 ，根据 ，23是质数得 等于1或23，据此求解即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴
故答案为：D.
【分析】通过已知条件可求得a-b，b-c，a-c的值，将代数式适当变形，将a-b，b-c，a-c的值代入即可求解.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先将代数式变形为，再利用完全平方公式因式分解即可。
10．【答案】（1）解：3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）
＝3a（x﹣y）+5b（x﹣y）
＝（x﹣y）（3a+5b）
（2）解：x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2
＝x2（a﹣b）2﹣y2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（x2﹣y2）
＝（a﹣b）2（x -y）（x +y）
（3）解：2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn
＝
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提取公因式（x-y）即可得到答案；
（2）先提取公因式（a﹣b）2，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）提取公因式即可得到答案。
11．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：
（6）解：
（7）解：
（8）解：
（9）解：
（10）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】利用提公因式法、平方差公式、十字相乘法和完全平方公式因式分解即可。
12．【答案】解：设另一个因式为（x+p），得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3），
则2x2+x+k＝2x2+（2p﹣3）x﹣3p，
∴ ，
解得 ，
∴另一个因式为（x+2），k的值为﹣6．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】设另一个因式为（x+p），得2x2+x+k＝（x+p）（2x﹣3），则2x2+x+k＝2x2+（2p﹣3）x﹣3p，继而求出p、k的值及另一个因式。
13．【答案】解：设 ，
则 ，
所以 ， ， ，
解得 ， ， .
所以 .
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好.由题意可假设多项式 ，则将其展开、合并同类项，并与 式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定.
14．【答案】（1）C
（2）解：∵，∴因式分解不彻底．
（3）解：设，则原式
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）∵，∴运用了两数和的完全平方公式．
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式的特征即可得到答案；
（2）根据因式分解的定义及计算要求求解即可；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
15．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）利用和的完全平方公式展开，代入后变形计算即可；
（2）巧用因式分解法的提取公因式法，把被求代数式用给出的代数式表示，后代入求值即可.
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