登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版七上数学第十四章14.3.2公式法 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·东平月考）已知n是正整数，则下列数中一定能整除 的是
A．6 B．3 C．4 D．5
2．（2020八上·沂源期末）下列因式分解结果正确的有（ ）
①﹣4m3+12m2=﹣m2（4m﹣12）②x4﹣1=（x2+1）（x2﹣1）③x2+2x+4=（x+2）2④（a2+b2）2﹣4a2b2=（a+b）2（a﹣b）2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021八上·台州期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．32 B．25 C．10 D．64
4．（2020八上·霍林郭勒月考）若 ，则 的值是（ ）
A．-15 B．-8 C．15 D．8
二、填空题
5．（2020八上·喀喇沁旗期末）分解因式：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)＝ ．
6．（2021八上·沙坪坝期末）分解因式：x2（a﹣b）﹣a+b＝ .
7．（2020八上·龙口期末）分解因式： = .
8．（2020八上·文登期末）甲乙两人完成因式分解 时，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
9．（2020八上·河北期末）若 ，则 的值为
三、计算题
10．（2021八上·广安期末）分解因式： .
11．（2021八上·商州期末）因式分解： .
12．（2021八上·曾都期末）因式分解
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
13．（2020八上·射洪期中）
14．（2020八上·隆昌期中）已知 ，求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3）a-b的值.
15．（2020八上·红安月考）计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
四、解答题
16．（2021八上·沈丘期末）如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
17．（2021八上·安居期末）已知 ，求代数式 的值.
五、综合题
18．（2020八上·大余期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
， ，
解得 ， ，
∴另一个因式为 ，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（2）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
19．（2020八上·石城期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
例题一：分解因式：（a+b）2-2（a+b）+1
解：将“a+b”看成整体，设M=a+b，则原式=M2-2M+1=（M-1）2，再将“M”还原，得原式=（a+b-1）2．上述解题用到的是“整体思想”；
例题一：分解因式：x2-4y2-2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
过程为： ．这种方法叫分组分解法．利用上述数学思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：（3a+2b）2-（2a+3b）2；
（2）分解因式：xy2-2xy+4-2y；
（3）分解因式：（a+b）（a+b-4）-c2+4．
20．（2020八上·朔城月考）综合与实践
下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程：
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了________．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式 D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 ．
（3）请你模仿上述方法，对多项式 进行因式分解．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：（2n+3）2-25
=[（2n+3）+5][（2n+3）-5]
=（2n+8）（2n-2）
=4（n+4）（n-1），
∴（2n+3）2-25一定能被4整除，
故答案为：C.
【分析】先化简代数式求出（2n+3）2-25=4（n+4）（n-1），再求解即可。
2．【答案】A
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：①-4m3+12m2=-4m2（m-3），故不符合题意；
②x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x+1）（x-1）（x2+1），故不符合题意；
③x2+2x+4不能进行因式分解，故不符合题意；
④（a2+b2）2-4a2b2=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a+b）2（a-b）2，故符合题意．
故答案为：A．
【分析】
①利用提公因式进行分解即可；
②利用平方差公式进行分解即可；
③不能进行因式分解；
④利用平方差公式及完全平方公式进行分解即可。
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
原式 .
故答案为：B.
【分析】对所求的式子进行变形处理，得到含 的式子，再代入 即可.
4．【答案】A
【知识点】因式分解的应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】∵
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据偶次幂的非负性，可得x+y=-3，x-y=+5,利用平方差公式将原式分解为x2+y2=(x+y)(x-y)，然后整体代入计算即可.
5．【答案】(x＋y)3
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)
=（x+y）（x2+2xy+y2）
=（x+y）（x+y）2
=（x+y）3，
故答案为：（x+y）3．
【分析】先提取公因式（x+y），再根据完全平方更多进行二次分解即可。
6．【答案】(a-b)(x+1)(x-1)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：x （a-b）-a+b
=x （a-b）-（a-b）
=（a-b）（x -1）
=(a-b)(x+1)(x-1)，
故答案为：(a-b)(x+1)(x-1).
【分析】利用添括号法则，将后面两项放到一个带负号的括号内，再对整个多项式提取公因式a-b，最后利用平方差公式进行第二次分解即可.
7．【答案】xm+1(x+1)(x-1)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】 = xm+1(x2-1)= xm+1(x+1)(x-1)，
故答案为xm+1(x+1)(x-1).
【分析】先提取公因式m+1，再利用平方差公式因式分解即可。
8．【答案】(x+2)(x-6)
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ =x2+x-12，
∴b=-12；
∵ =x2-4x-21，
∴a=-4，
∴
=
=(x+2)(x-6)．
故答案为：(x+2)(x-6)．
【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，再代入分解即可。
9．【答案】
【知识点】因式分解的应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴（m+n）2+（n-3）2=0，
∴m+n=0且n-3=0，
∴m=-3，n=3，
∴ ，
故答案为- .
【分析】将原等式变形为m2+2mn+2n2-6n+9=（m+n）2+（n-3）2=0，利用偶次幂的非负性求出m、n的值，再代入计算即可.
10．【答案】解：原式
.
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】首先提取公因式(m-n)可得原式=(m-n)(4a2-b2)，然后利用平方差公式分解即可.
11．【答案】解：原式=
=
=
=
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】原式可变形为m2-(4n2-4n+1)，然后利用完全平方公式对括号中的式子进行变形，再利用平方差公式分解即可.
12．【答案】解：①原式 ；
②原式 ；
③原式 ；
④原式 ；
⑤原式 ；
⑥原式 ；
⑦原式 ；
⑧原式 .
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）首先对该式提取公因式 即可解答；（2）首先对该式提取公因式 即可解答；（3）利用平方差公式进行分解即可；（4）首先提取公因式a，然后再利用平方差公式进行解答即可；（5）首先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行解答即可；（6）利用完全平方公式进行解答即可；（7）首先对该式进行变形，然后再利用平方差公式进行解答即可；（8）利用完全平方公式进行解答即可.
13．【答案】解：原式=
=
=
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】
【分析】根据题意，运用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，求出答案即可。
14．【答案】（1）解：∵ ，
∴
（2）解：
（3）解：
故 .
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将原式a2b+ab2变形为ab(a+b)，然后整体代入计算即可；
（2）利用完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，然后整体代入计算即可；
（3）利用(a-b)2=a2+b2-2ab，先求出(a-b)2的值，然后求出a-b即可.
15．【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行分解即可；
（2）将8转化为
16．【答案】证明：∵3n+2-2n+2+3n-2n
=3n 32-2n 22+3n-2n
=3n(32+1)-2n(22+1)
=10 3n-10 2n-1
=10(3n-2n-1).
∴3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将代数式变形，再利用分组分解法分解因式，从而得出含有10的因数，据此即可解决问题.
17．【答案】解：
，
又 ，
所以：原式 .
.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意将所求代数式变形得原式=m3+m2+2m2+2020=m(m2+m)+2m2+2020，再整体代换即可求解.
18．【答案】（1）-4
（2）-1
（3）解：设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，
∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，
解得n＝5，k＝5，
∴另一个因式为x+5，k的值为5．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝x2+（a﹣1）x﹣a＝ ，
∴a﹣1＝﹣5，
解得：a＝﹣4；
故答案是：﹣4
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，
∴b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】（1）将展开，根据所给的二次三项式即可求出a的值；
（2） 展开，可得出一次项的系数，捷克人求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n、k的值及另一个因式。
19．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行计算求解即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可作答；
（3）利用公式法分解因式即可作答。
20．【答案】（1）D
（2）不彻底；
（3）解：设 ，
原式
．
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：（1）第二步到第三步的过程运用了两数和的完全平方公式，
答案为：D；（2） 仍可进行因式分解，故分解不彻底；
答案为：不彻底； ；
【分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；（2）分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；（3）仿照题中方法将原式分解即可.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版七上数学第十四章14.3.2公式法 课时易错题三刷（第三刷）
一、单选题
1．（2021八上·东平月考）已知n是正整数，则下列数中一定能整除 的是
A．6 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：（2n+3）2-25
=[（2n+3）+5][（2n+3）-5]
=（2n+8）（2n-2）
=4（n+4）（n-1），
∴（2n+3）2-25一定能被4整除，
故答案为：C.
【分析】先化简代数式求出（2n+3）2-25=4（n+4）（n-1），再求解即可。
2．（2020八上·沂源期末）下列因式分解结果正确的有（ ）
①﹣4m3+12m2=﹣m2（4m﹣12）②x4﹣1=（x2+1）（x2﹣1）③x2+2x+4=（x+2）2④（a2+b2）2﹣4a2b2=（a+b）2（a﹣b）2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：①-4m3+12m2=-4m2（m-3），故不符合题意；
②x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x+1）（x-1）（x2+1），故不符合题意；
③x2+2x+4不能进行因式分解，故不符合题意；
④（a2+b2）2-4a2b2=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a+b）2（a-b）2，故符合题意．
故答案为：A．
【分析】
①利用提公因式进行分解即可；
②利用平方差公式进行分解即可；
③不能进行因式分解；
④利用平方差公式及完全平方公式进行分解即可。
3．（2021八上·台州期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．32 B．25 C．10 D．64
【答案】B
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解： ，
，
，
原式 .
故答案为：B.
【分析】对所求的式子进行变形处理，得到含 的式子，再代入 即可.
4．（2020八上·霍林郭勒月考）若 ，则 的值是（ ）
A．-15 B．-8 C．15 D．8
【答案】A
【知识点】因式分解的应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】∵
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据偶次幂的非负性，可得x+y=-3，x-y=+5,利用平方差公式将原式分解为x2+y2=(x+y)(x-y)，然后整体代入计算即可.
二、填空题
5．（2020八上·喀喇沁旗期末）分解因式：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)＝ ．
【答案】(x＋y)3
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：x2(x＋y)＋2xy(x＋y)＋y2 (x＋y)
=（x+y）（x2+2xy+y2）
=（x+y）（x+y）2
=（x+y）3，
故答案为：（x+y）3．
【分析】先提取公因式（x+y），再根据完全平方更多进行二次分解即可。
6．（2021八上·沙坪坝期末）分解因式：x2（a﹣b）﹣a+b＝ .
【答案】(a-b)(x+1)(x-1)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：x （a-b）-a+b
=x （a-b）-（a-b）
=（a-b）（x -1）
=(a-b)(x+1)(x-1)，
故答案为：(a-b)(x+1)(x-1).
【分析】利用添括号法则，将后面两项放到一个带负号的括号内，再对整个多项式提取公因式a-b，最后利用平方差公式进行第二次分解即可.
7．（2020八上·龙口期末）分解因式： = .
【答案】xm+1(x+1)(x-1)
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】 = xm+1(x2-1)= xm+1(x+1)(x-1)，
故答案为xm+1(x+1)(x-1).
【分析】先提取公因式m+1，再利用平方差公式因式分解即可。
8．（2020八上·文登期末）甲乙两人完成因式分解 时，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为 ．
【答案】(x+2)(x-6)
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ =x2+x-12，
∴b=-12；
∵ =x2-4x-21，
∴a=-4，
∴
=
=(x+2)(x-6)．
故答案为：(x+2)(x-6)．
【分析】根据甲分解的结果求出b，根据乙分解的结果求出a，再代入分解即可。
9．（2020八上·河北期末）若 ，则 的值为
【答案】
【知识点】因式分解的应用；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0
∴（m+n）2+（n-3）2=0，
∴m+n=0且n-3=0，
∴m=-3，n=3，
∴ ，
故答案为- .
【分析】将原等式变形为m2+2mn+2n2-6n+9=（m+n）2+（n-3）2=0，利用偶次幂的非负性求出m、n的值，再代入计算即可.
三、计算题
10．（2021八上·广安期末）分解因式： .
【答案】解：原式
.
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】首先提取公因式(m-n)可得原式=(m-n)(4a2-b2)，然后利用平方差公式分解即可.
11．（2021八上·商州期末）因式分解： .
【答案】解：原式=
=
=
=
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】原式可变形为m2-(4n2-4n+1)，然后利用完全平方公式对括号中的式子进行变形，再利用平方差公式分解即可.
12．（2021八上·曾都期末）因式分解
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
【答案】解：①原式 ；
②原式 ；
③原式 ；
④原式 ；
⑤原式 ；
⑥原式 ；
⑦原式 ；
⑧原式 .
【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法；提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）首先对该式提取公因式 即可解答；（2）首先对该式提取公因式 即可解答；（3）利用平方差公式进行分解即可；（4）首先提取公因式a，然后再利用平方差公式进行解答即可；（5）首先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行解答即可；（6）利用完全平方公式进行解答即可；（7）首先对该式进行变形，然后再利用平方差公式进行解答即可；（8）利用完全平方公式进行解答即可.
13．（2020八上·射洪期中）
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】
【分析】根据题意，运用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，求出答案即可。
14．（2020八上·隆昌期中）已知 ，求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3）a-b的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴
（2）解：
（3）解：
故 .
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）将原式a2b+ab2变形为ab(a+b)，然后整体代入计算即可；
（2）利用完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，然后整体代入计算即可；
（3）利用(a-b)2=a2+b2-2ab，先求出(a-b)2的值，然后求出a-b即可.
15．（2020八上·红安月考）计算题：
（1）因式分解：（x2+y2）2-4x2y2；
（2）计算：8（1+72）（1+74）（1+78）（1+716）.
【答案】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：∵ ，
∴原式=
=
=
=
=
= ；
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行分解即可；
（2）将8转化为
四、解答题
16．（2021八上·沈丘期末）如果n是正整数，求证：3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【答案】证明：∵3n+2-2n+2+3n-2n
=3n 32-2n 22+3n-2n
=3n(32+1)-2n(22+1)
=10 3n-10 2n-1
=10(3n-2n-1).
∴3n+2-2n+2+3n-2n能被10整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将代数式变形，再利用分组分解法分解因式，从而得出含有10的因数，据此即可解决问题.
17．（2021八上·安居期末）已知 ，求代数式 的值.
【答案】解：
，
又 ，
所以：原式 .
.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】由题意将所求代数式变形得原式=m3+m2+2m2+2020=m(m2+m)+2m2+2020，再整体代换即可求解.
五、综合题
18．（2020八上·大余期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
， ，
解得 ， ，
∴另一个因式为 ，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（2）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）-4
（2）-1
（3）解：设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，
∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，
解得n＝5，k＝5，
∴另一个因式为x+5，k的值为5．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝x2+（a﹣1）x﹣a＝ ，
∴a﹣1＝﹣5，
解得：a＝﹣4；
故答案是：﹣4
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，
∴b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】（1）将展开，根据所给的二次三项式即可求出a的值；
（2） 展开，可得出一次项的系数，捷克人求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n、k的值及另一个因式。
19．（2020八上·石城期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
例题一：分解因式：（a+b）2-2（a+b）+1
解：将“a+b”看成整体，设M=a+b，则原式=M2-2M+1=（M-1）2，再将“M”还原，得原式=（a+b-1）2．上述解题用到的是“整体思想”；
例题一：分解因式：x2-4y2-2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
过程为： ．这种方法叫分组分解法．利用上述数学思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：（3a+2b）2-（2a+3b）2；
（2）分解因式：xy2-2xy+4-2y；
（3）分解因式：（a+b）（a+b-4）-c2+4．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行计算求解即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可作答；
（3）利用公式法分解因式即可作答。
20．（2020八上·朔城月考）综合与实践
下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程：
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了________．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式 D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 ．
（3）请你模仿上述方法，对多项式 进行因式分解．
【答案】（1）D
（2）不彻底；
（3）解：设 ，
原式
．
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：（1）第二步到第三步的过程运用了两数和的完全平方公式，
答案为：D；（2） 仍可进行因式分解，故分解不彻底；
答案为：不彻底； ；
【分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；（2）分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；（3）仿照题中方法将原式分解即可.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
