4.4 探索三角形相似的条件 课件（61张PPT）

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北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
精品教学课件
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、熟练掌握利用两角分别相等的两个三角形相似；
2、熟练掌握利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、掌握三边成比例的两个三角形相似；
导入新课
温故知新
相似多边形
定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1
思考：什么叫相似三角形呢？
观察教师的一个三角板(有30°，60°的角)，这两个三角板的外围的三角形的三个内角有什么关系 这些三角形相似吗
讲授新课
知识点一 相似三角形的判定定理1
定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
三角形ABC ∽三角形A1B1C1
A
B
C
A1
B1
C1
相似三角形的概念
思考：两个三角形至少满足什么条件就相似呢？类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个相似的条件？
A
B
C
A1
B1
C1
判定方法 全等三角形
相似三角形
角边角
ASA
角角边
AAS
边边边
SSS
边角边
SAS
HL
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？
直角边、斜边
思考：如果两个三角形只有一个角相等，它们相似吗？
A
B
C
A1
B1
C1
不一定
那如果两个三角形有两个角相等，它们相似吗？
60°
60°
操作：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45 °,再画△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形形状相同吗？
A
B
C
A′
B′
C′
请问∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？
这两三角形是相似的
猜想：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B’
A’
D
E
C’
B
A
C
证明：两角分别相等的两个三角形相似
典例精析
证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分
别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.
∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，
∴△A′DE≌△ABC,
∴∠A′DE=∠B，
又∵∠B′=∠B，
∴∠A′DE=∠B′，
∴DE∥B′C′，
B’
A’
D
E
C’
B
A
C
【例1】已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
过D连接DF// A′C′
∵ DF// A′C′ ,DE∥B′C′
∴四边形EDFC′是平行四边形
∴DE=FC′，
∵
∴△A′DE∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
F
两角分别相等的两个三角形相似.
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形的判定定理：
注意：对应点写在对应的位置.
1.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
解: ∵ DE∥BC，EF∥AB.
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个三角形相似．）
练一练
知识点二 相似三角形的判定定理2
问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗
3
3
5
5
不相似
问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？
3
3
5
5
相似
①任意画△ABC;
②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且
③量出B′C′及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？
④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？∠C′=∠C吗？
⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？
我发现这两个三角形是相似的
画一画
猜想：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A= ∠A′，
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,
∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B’
A’
D
E
C’
两边成比例夹角相等的两个三角形相似.
典例精析
∵A′D=AB，
∴A′E=AC.
又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
【例2】已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A= ∠A′，
求证：△A′B′C′∽△ABC.
如果△ABC与△A'B'C'两边成比例，且其中一边
所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
知识拓展
3
3
C
C
60°
)
4
A
B
)
C′
1.5
B′
2
60°
A′
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
探究相似三角形的条件
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'，
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
练一练
解：∵AE=1.5，AC=2，
∴
∵ ∴
又∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴ ∴BC=3. ∴DE=
1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.
A
C
B
E
D
2.如图，在 △ABC 中，CD是边AB上的高，且 　　　　　　　求证：∠ACB=90°．
A
B
C
D
解： ∵ CD是边AB上的高,
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ABC∽△DEF.
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
知识点三 三角形相似的判定3
思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形相似的方法吗？
两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？
A
B
C
A1
B1
C1
操作：画△ ABC 与△A1B1C1，使
(1)比较∠A与∠A1的大小， △ ABC 与△A1B1C1相似吗？
A
B
C
A1
B1
C1
(2)改变k值的大小， △ ABC 与△A1B1C1还相似吗？
猜想：三边成比例的两个三角形相似
A
B
C
A1
B1
C1
求证：三边成比例的两个三角形相似
已知：在△ ABC 与△A1B1C1中，
求证：△ ABC ∽ △A1B1C1
典例精析
证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取 A1D=AB,
过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E.
∵ DE∥B1C1 ，
∴△ADE∽△A1B1C1.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
【例3】已知：在△ ABC 与△A1B1C1中，
求证：△ ABC ∽ △A1B1C1
∴
又
∴
∴
∴
（SSS）
∵
∴
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
三边成比例的两个三角形相似
相似三角形的判定定理3：
用数学符号表示：
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
∵
A
B
C
A1
B1
C1
判定三角形相似的方法：
如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应
（注意：大对大，小对小，中对中）
总结归纳
练一练
1.如图,小方格的边长为1 ，△ ABC与△ A′B′C′相似吗
C
B
A
A′
B′
C′
解： △ ABC∽△ A′B′C′
小结：先求边，然后排序，最后作比.
2.如图，在△ABC和△ADE中， ∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
解：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
A
B
C
D
E
知识点四 黄金分割
如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC
如果
AC
AB
AC
BC
=
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割
点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点
AC 与 AB 的比叫做黄金比.
C
A
B
(AC2=AB BC)
AC
BC
AC
AB
=
(
)
计算黄金比.
解：由 ，得AC2 = AB·BC.
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1= x2=
黄金比
≈
0.618 : 1
AC
AB
AC
BC
=

C
A
B
2.如图，已知线段AB按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗
A
B
D
E
C
黄金分割点的画法
AC
AB
AC
BC
=
即求 = ：1
A
B
D
E
C
解：设BD = x ，AB = 2x，
在Rt △ABD中，由勾股定理，得
∴ AD = x
DE= x ， AE= x –x=
AC=
AC
AB
=
2x
=
练一练
1.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
，解得x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
当堂练习
课堂小结
利用两角判定三角形相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用
利用两边及夹角判定三角形相似
定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理2的运用
利用三边判定三角形相似
定理：三边对应成比例的两个三角形相似
相似三角形的判定定理3的运用
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 =
定义
谢谢
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