4.7 相似三角形的性质 课件（43张PPT）

(共43张PPT)
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北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
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课堂小结
学习目标
1、掌握相似三角形中对应线段与相似比的关系，熟练找到相似三角形的相似比；
2、熟练运用相似三角形的性质解决实际问题；
导入新课
问题：若两个直角三角形相似(如图1)，分别由顶点A，A1向底边作垂线段AD，A1D1，判断AD与A1D1的比值是否等于相似比？对于锐角三角形和钝角三角形(如图①②)，是否也有这样的结论？
图 1
等于相似比，有．
讲授新课
知识点一 相似三角形对应高的比等于相似比
解:
∵△ A′B′C′∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ ∠AD′B =∠ADB =90°,
∴△A′B′D′∽△ABD
(两角对应相等的两个三角形相似).
从而
(相似三角形的对应边成比例).
问题：如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′．
求证：
由此得到：
相似三角形对应高的比等于相似比．
　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
典例精析
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
∴ ∠ADC=90°
∵四边形PQRS是正方形
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90°
∴ AE是ΔASR的高.
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
（2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解： ΔASR与ΔABC相似. 理由:
∵ SR∥BC
∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C
∴ ΔASR与ΔABC相似.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
（3）求正方形PQRS的边长.
是方程思想哦！
解：∵ ΔASR ∽ ΔABC
AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC
对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为 x cm,
则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm
∴ 解得：x=24
∴正方形PQRS的边长为24cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
知识点二 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都
等于相似比
问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′.
∴ ∠B′= ∠B, ．
又AD,AD′分别为对应边的中线.
∴ △ABD∽△A′B′D′.
由此得到：
相似三角形对应的中线的比也等于相似比．
同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比．
证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC．
又AD,AD′分别为对应角的平方线
∴ △ABD∽△A′B′D′.
例2：两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？
解：设较短的角平分线长为xcm，
则由相似性质有 .
解得x＝18.
较长的角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
1、△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应中线，已知 ，B'D'=4cm，求BD的长.
解：∵ △ABC∽△A'B'C′，
　　　BD和B'D'是它们的对应中线　　　
∴
（相似三角形对应中线的比等于相似比）
∴
∴
练一练
知识点三 相似三角形对应周长的比等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比.
分析：△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
问题：求证三角形对应周长的比等于相似比
A
B
C
A1
B1
C1
∴ △DEF∽△ABC，相似比为
∴△DEF的周长= △ABC的周长，
△DEF的周长=12.
例3.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，求△DEF的周长．
A
B
C
D
E
F
又 ∠D＝∠A
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
知识点4 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方
问题：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k1,它们对应高的比是多少？面积比是多少？
A
B
C
A′
B′
C′
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.
∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′.
D
D′
（相似三角形对应高的比等于相似比）.
∵△ABC∽△A′B′C′.
由此可得：
相似三角形面积比等于相似比的平方.
例：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且 　
求四边形BCDE的面积.
∴△ABC ∽△ADE .
∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9.
又∵△ABC的面积为100 cm2 ，
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
解：∵∠BAD=∠DAE，且
B
A
E
D
C
例：如图：将 ABC沿BC方向平移得到 DEF， ABC与 DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ABC的面积的一半。已知BC=2，求 ABC平移的距离。
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
练一练
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
∴
A
B
C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
当堂练习
课堂小结
1、相似三角形对应高的比等于相似比；
相似三角形的性质
2、相似三角形对应角平分线的比等于相似比；
3、相似三角形对应中线的比等于相似比；
4、相似三角形周长之比等于相似比；
5、相似三角形面积之比等于相似比的平方；
谢谢
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