华师大版数学九年级上册 22.2 一元二次方程的解法 教案(5课时)

22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】?
理解并掌握直接开平方法，并能灵活运用直接开平方法解一元二次方程.?
【过程与方法】?
经历直接开平方法的探究过程，使学生能探究并归纳出直接开平方法.?
【情感态度】?
学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强与他人的交流能力.?
【教学重点】?
理解并掌握直接开平方法，并能灵活运用直接开平方法解一元二次方程.?
【教学难点】?
直接开平方法的适当选用.
※教学过程※
一、情境导入?
为了丰富学生的学习生活，某校决定举办一次学生才艺大比拼活动.现决定在操场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个舞台的各边边长将会是多少米呢？（组织学生进行自主探究和交流活动）.
二、探索新知?
1.你能想到什么方法来解方程=144？?
对于=144意味着x是144的平方根.?
所以x=±，即x=±12.?
这里得到了方程的两个根，通常也表示成：?
=12,=-12.?
结合实际问题这里应将=-12舍去.所以这个舞台的各边边长应是12米.??
2.直接开平方法?
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.一般地，对于形如=n(n≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得=,=-.?
?
【例1】 用直接开平方法解下列方程：?
解：（1）移项，得=2.?
直接开平方，得
所以原方程的解是
(2)由
直接开平方，得
所以原方程的解是
(3)移项，得
直接开平方，得
所以原方程的解是?
三、巩固练习?
解下列方程：?
答案：
四、应用拓展?
【例2】 用直接开平方法解下列方程：?
分析：（1）中把(2x-1)看作一个整体；（2）中把（2y-5）、（3y-1）均看作一个整体.?
解：（1）整理，得
直接开平方，得
即
所以原方程式解是
(2)直接开平方，得
所以
解这两个方程，得原方程的解为
五、归纳小结?
1.形如的形式的方程，可以利用直接开平方法解.??
2.利用直接开平方法的注意事项：?
（1）必须把方程化成等号左边是一个含未知数的一次多项式的平方，右边是一个非负数的形式才能解.?
（2）一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
※课后作业※?
教材第25页练习（1）、（2）、（3）、（4）题.
第2课时 用因式分解法解一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】?
理解并掌握因式分解法，并能灵活运用因式分解法解一元二次方程.?
【过程与方法】?
经历因式分解法的探究过程，使学生能探究并归纳出因式分解法.?
【情感态度】?
学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强与他人交流的能力.?
【教学重点】?
理解并掌握因式分解法，并能灵活运用因式分解法解一元二次方程.?
【教学难点】?
因式分解法的适当选用.
※教学过程※
一、复习引入?
试用两种方法解方程
方法一：先移项,得再直接开平方,得
所以原方程的解是
方法二：将方程左边用平方差公式分解因式,得
必有
解这两个一元一次方程,得
所以原方程的解是
二、探索新知?
1.解一元二次方程的基本思想就是通过降次将二次方程转化为一次方程来解.对于下列方程：不用直接开平方法，你能把它们转化为两个一次方程，进而求出它们的解吗？?
解：（1）将方程左边用平方差公式分解因式,得
所以
所以
将方程左边用平方差公式分解因式,得
所以
所以?
2.因式分解法?
当一元二次方程的一边为零，而另一边能分解成两个一次因式乘积的形式时，可令每个因式分别为零，通过解这两个一元一次方程的方法来求此一元二次方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.?
【例1】 用因式分解法解下列方程：?
分析：提公因式法是因式分解法的常用方法之一.?
解：（1）方程左边分解因式,得
所以
(2)移项，得
方程左边分解因式,得?
所以?
【例2】 用因式分解法解下列方程：?
分析：运用公式法是因式分解法的基本方法之一，其中(1)、（2）运用平方差公式，（3）运用完全平方公式.?
解：（1）将方程左边运用平方差公式分解因式,得
所以
(2)将方程左边运用平方差公式分解因式,得
整理,得
所以
(3)将方程左边运用完全平方公式分解因式,得
三、巩固练习?
用因式分解法解下列方程:?
答案：
四、应用拓展?
【例3】 解下列方程：?
分析：（1）可变形后用直接开平方法求解,（2）可用因式分解法求解.?
解：（1）变形,得
直接开平方,得?
所以
(2)将方程左边分解因式,得
即
所以
【例4】 小张和小林一起解方程
小张将方程左边分解因式，得
小林的解法是这样的：移项，得方程两边都除以
小林说：“我的方法多简便！”可另一个根哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？?
解：小林的解法不对.原因在于等式左右两边都除以时，没有考虑的值是否为0,当时，解得x=6;而当时，左边=右边，此时在用因式分解法解方程时，通常把等式的一边化为0后，再进行求解.?
五、归纳小结?
1.因式分解法把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想.?
2.因式分解法解一元二次方程的理论依据是两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零，即
3.因式分解法的关键是掌握分解因式的两种基本方法：提公因式法和运用公式法.
※课后作业※?
教材第25页练习（1）、（2）、（3）、（4）题.
2.配方法
※教学目标※
【知识与技能】?
理解配方法，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程.?
【过程与方法】?
1.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会转化的数学思想.?
2.在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程，培养学生用转化的数学思想解决问题的能力.?
【情感态度】?
启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径，提高他们分析问题，解决问题的能力.?
【教学重点】?
理解并掌握配方法，能够运用配方法解一元二次方程.?
【教学难点】?
用配方法解一元二次方程的过程.
※教学过程※
一、复习引入?
1.回顾完全平方公式.?
2.填空：将左边的多项式配成完全平方式?
(学生做，然后交流；你是如何进行配方的？)??
结论：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
二、探索新知?
1.探究?
【例1】 解方程：
分析：这个方程显然不能用直接开平方法解，也不便于用因式分解法求解.能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式，即的形式？那么，怎么实现呢？?
解：原方程两边都加上1，得?
直接开平方,得
所以
即?
2.配方法?
通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.?
【例2】 用配方法解方程：?
解：（1）移项，得
配方，得
即
直接开平方，得?
所以
(2)移项，得
两边同除以4，得
配方，得
即
直接开平方，得
所以
三、巩固练习?
1.填空，将左边的多项式配成完全平方式：?
?
2.用配方法解下列方程:?
答案：
四、归纳小结?
用配方法解一元二次方程的一般步骤：?
（1）化1：方程两边同除以二次项的系数，将二次项系数化为“1”；?
（2）移项：把常数项移到方程的右边；?
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；??
（4）开方：如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则原方程无实数根；?
（5）求解：解一元一次方程；?
（6）定解：写出原方程的解.
※课后作业※?
1.教材第27页练习第2题.?
2.习题22.2第4题（6）、（7）.
3.公式法
※教学目标※
【知识与技能】?
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.?
2.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.?
【过程与方法】?
经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯.?
【情感态度】?
通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心.?
【教学重点】?
掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程.?
【教学难点】?
一元二次方程求根公式的推导过程.
※教学过程※
一、复习引入?
1.教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的一般步骤.?
2.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
二、探索新知?
1.一元二次方程求根公式的推导过程：?
解一般形式的一元二次方程：
解：系数化为1，得
移项，得
配方，得
即
因为时，直接开平方，得?
所以
即
2.一元二次方程的求根公式：?
将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.??
【例1】 解下列方程：?
分析：对于（2）、（4）首先要把方程化成一般形式；注意a、b、c的符号；先计算的值，再代入公式求解较简便.?
解：
所以
即
(2)将方程化为一般形式，得
因为
所以
即
(3)因为
所以
即
(4)整理,得
因为
所以
即
注意：此方程的解不能写成,不要误认为只有一个实数根，而是有两个相等的实数根.??
【例2】 解方程：
解：因为
所以方程无实数解.?
说明：当时，不用代入求根公式，直接写出方程无实数根即可.?
三、巩固练习?
用公式法解下列方程：?
答案：

四、归纳小结?
1.用公式法解一元二次方程的两个前提条件：?一是
2.当时，方程有两个相等的实数根，不要误认为只有一个实数根.?
3.当时，直接写此方程无实数根即可.?
※课后作业※?
教材习题22.2第3题（2），第4题（1）、（2）、（3）、（6）.
4.一元二次方程根的判别式
※教学目标※
【知识与技能】?
理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.??
【过程与方法】?
1.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程根的判别式.?
2.能运用一元二次方程根的判别式的知识在不解方程的情况下判断出一元二次方程根的情况，并能根据方程根的情况，探究所需的条件.?
【情感态度】?
学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强自主探究以及与他人交流的能力.?
【教学重点】?
理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.??
【教学难点】?
一元二次方程根的判别式的探究与归纳.
※教学过程※
一、复习引入?
1.用公式法解下列方程：?
答案：(3)无解.??
2.探究一元二次方程的根.??
（1）当时，方程有两个不相等的实数根：??
(2)当时，方程有两个相等的实数根:;?
(3)当时，方程没有实数根.?
二、探索新知?
这里的叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号?“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况：??
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；?
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；?
当Δ<0时，方程没有实数根.?
【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：?
解：（1）原方程可变形为?
因为
所以方程有两个不相等的实数根.?
（2）因为
所以方程有两个相等的实数根.?
（3）原方程可变形为?
因为
所以方程没有实数根.
三、巩固练习?
不解方程，判断下列方程的根的情况：?
答案：（1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程没有实数根 （3）方程有两个相等的实数根 （4）方程没有实数根?
四、应用拓展?
【例2】 已知关于x的方程?
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？??
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？?
(3)当k取何值时，方程没有实数根？?
分析：已知一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：??
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，
当一元二次方程有两个相等的实数根时，
当一元二次方程没有实数根时，
解：因为
所以
(1)若方程有两个不相等的实数根，则Δ>0,?
即??
(2)若方程有两个相等的实数根，则Δ=0,?
即
(3)若方程没有实数根，则Δ<0,?
即?
综上所述：当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根.?
五、归纳小结?
利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤:?
1.将方程化成的形式；?
2.判断a的值是否为零；?
3.若a≠0,则再考虑的取值.?
※课后作业※?
教材第36页习题22.2的第7、8、9题.
?*5.一元二次方程的根与系数的关系
※教学目标※
【知识与技能】?
了解一元二次方程的根与系数的关系，能初步利用根与系数的关系解决一些简单的问题.?
【过程与方法】?
1.经历一元二次方程的根与系数的关系的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程的根与系数的关系.??
2.能利用根与系数的关系解决一些简单的问题.?
【情感态度】?
学生能过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步加强自主探究以及与他人交流的能力.?
【教学重点】?
一元二次方程的根与系数的关系的探究与归纳.
※教学过程※
一、情境导入?
同学们，老师这里有一手绝活，你只要给出两个数，我立即就能说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们若不信，咱们就试一试！?
（此情境可以有效地调起学生的胃口，激发起学生的好奇心和求知欲，从而有效地引领学生展开探究活动.）?
举例如下：（1）两根为的一元二次方程为
（2）两根为的一元二次方程为
（3）两根为的一元二次方程为
二、探索新知?
观察、计算的值与相应方程中的系数a、b、c之间的关系，你能发现什么规律？??
1.一元二次方程的根与系数的关系：?
若一元二次方程的两根为
?
2.结论证明：?
当时，由公式法可得一元二次方程的两根分别为?
则?
说明:这个性质称为韦达定理，利用这个性质可以不解一元二次方程直接求出方程的两根之和与两根之积.使用这个定理时需要注意两点：一是方程必须是一元二次方程；二是方程必须有两个实数根.?
【例1】 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：?
解：（1）设两根为,由一元二次方程的根与系数的关系，可得
(2)设两根为,由一元二次方程的根与系数的关系，可得?
【例2】 已知方程的一个根为-1，求另一个根以及m的值.?
分析：由于方程中的二次项系数和一次项系数已知，并且知道了方程的一个根，故可利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根，进而再求出m.?
解：设另一个根为,由根与系数的关系，可得?
所以,另一个根为4,m的值为-4.?
三、巩固练习?
1.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，求出方程的两根之和与两根之积：?
2.试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：?
?(1)已知关于x的方程的两个根是1和-3，求m和n的值；?
（2）已知关于x的方程的一个根是-4，求它的另一个根和m的值.??
答案：1.（1）方程有两个不相等的实数根. (2)方程没有实数根. 2. (2)另一个根为5，m=-1.?

四、应用拓展?
【例3】 若方程的两根分别为,试求下列代数式的值：?
?
分析：本题若采用先求出的值再代入求值的话，其运算就比较繁琐，故可采用一元二次方程的根与系数的关系来做.?
解：由一元二次方程的根与系数的关系，可得?
?
【点拨】 把作为整体，想办法将代数式转化成用去表示，是解决这类问题的基本方法.
?
五、归纳小结?
利用一元二次方程的根与系数的关系的注意点：?
1.方程要化成一般式的形式；?
2.方程要有两个实数根；?
3.正确确定a、b、c的值并注意符号.?
※课后作业※?
教材第35页练习第2题（2）、（4）.?
教材习题22.2第10、11题.