2022年苏科版初中数学七年级上册 6.2 角 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·神木期末）若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
2．（2021七上·顺德期末）关于角的描述不正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC可以用∠O表示
C．∠AOC＝∠AOB+∠BOC D．∠β表示∠BOC
3．（2021七上·灌阳期末）下列各角中，为锐角的是（ ）
A． 平角 B． 周角 C． 直角 D． 周角
4．（2020七上·仁寿期末）在灯塔P处观测到轮船A位于北偏西55°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（ ）
A．100° B．105° C．125° D．140°
5．（2021七上·西区期末）如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列等式不成立的是（ ）
A．∠AOC=∠BOD B．∠COD= ∠AOB
C．∠AOC= ∠AOD D．∠BOD= ∠BOC
6．（2021七上·海曙期末）已知 ， 比较这两个角的大小， 结果为∠1 ∠2.
7．（2021七上·东坡期末）计算：35.1°＋40.5°＝ ．（结果用度表示）
8．（2022七上·宝安期末）钟表上显示8：30，时针与分针的夹角为 。
9．（2021七上·建水期末）已知∠AOB=3∠BOC，射线OD平分∠AOC，若∠BOD=30°，则∠BOC的度数为 .
10．（2022七上·巴中期末）如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数.
11．（2022七上·城固期末）如图，∠AOB是平角， ， ，OM、ON外别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数.
12．（2022七上·江州期末）如图，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线.
（1）如图①，若∠COE为直角，且∠AOD＝70°，求∠BOE的度数；
（2）如图②，若∠DOE：∠BOD＝2：5，且∠COE＝80°，求∠BOE的度数.
二、能力提优
13．（2021七上·顺义期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022七上·巴中期末）如图，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
15．（2021七上·齐齐哈尔期末）已知∠AOB＝100°，过点O作射线OC、OM，使∠AOC＝20°，OM是∠BOC的平分线，则∠BOM的度数为（ ）
A．60° B．60°或40° C．120°或80° D．40°
16．（2021七上·白银期末）如图， ，射线OM、ON分别平分 与 ， 是直角，则 的度数为（ ）
A．70° B．62° C．60° D．58°
17．（2021七上·无为期末）用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．（2021七上·蓬江期末）如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．（2021七上·普宁期末）将一副三角板如图①的位置摆放，其中30°直角三角板的直角边与等腰直角三角板的斜边重合，30°直角三角板直角顶点与等腰直角三角板的锐角顶点重合（为点O）．现将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，此时为25°，则（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
20．（2021七上·扶风期末）计算：18°29′+39°47′＝ .
21．（2021七上·余姚期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 度，15分钟后时针与分针的夹角是 度.
22．（2021七上·巴彦期末）已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 ．
23．（2021七上·曲靖期末）已知∠AOB=40°，其平分线是OD，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3则∠COD= ．
24．（2022七上·句容期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上， ， ，设 ，则用x的代数式表示 的度数为 .
25．（2021七上·靖西期末）如图， 是 内的两条射线， 平分 ， ，若 ， ，求 的度数.
26．（2022七上·毕节期末）如图，点O为直线AB上一点， ，OD平分 .
（1）求 的度数：
（2）作射线OE，使 ，求 的度数.
27．（2021七上·封开期末）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．
（1）如图①，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图②，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图③，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
三、延伸拓展
28．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
29．（2021七上·白银期末）（问题回顾）
我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线 上， ， 分别平分 ， ，可求得 .（不用求解）
（问题改编）
点O在直线 上， ，OE平分 .
（1）如图2，若 ，求 的度数；
（2）将图2中的 按图3所示的位置进行放置，写出 与 度数间的等量关系，并写明理由.
30．（2021七上·海珠期末）如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数；
（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT＝∠NOT或者∠NOT＝∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：∠α=5.12°=5°+0.12×60′=5°+7′+0.2×60″=5°7′12″.
故答案为：B.
【分析】由于1°＝60′，1′=60″，故保留整数度，用小数部分的度数乘以60分，计算结果保留整数分，再将小数部分的分数乘以60秒即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算
【解析】【解答】解：A．与表示同一个角，不符合题意．
B．由于顶点O处，共有3个角，所以不可以用来表示，符合题意．
C．由图可知，不符合题意．
D．由图可知与表示同一个角，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据角的定义及角的表示方法逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算
【解析】【解答】解：A. 平角=90°，不符合题意；
B. 周角=72°，符合题意；
C. 直角=135°，不符合题意；
D. 周角=180°，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平角、周角、直角分别计算出各选项中角的度数，再根据大于0°且小于90°的角为锐角，据此逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
由题意得：∠1＝55°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣55°＝35°，
∠AOB＝35°+90°+15°＝140°，
故答案为：D.
【分析】由图形根据∠AOB的构成可求解.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、∵OC平分∠AOD，∴∠COA=∠COD.
∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOD，∴∠AOC=∠BOD，故本选项正确；
B、∵OD平分∠BOC，∴∠COD= ∠BOC，故本选项错误；
C、∵OC平分∠AOD，∴∠AOC= ∠AOD，故本选项正确；
D、∵OD平分∠BOC，∴∠BOD= ∠BOC，故本选项正确.
故答案为：B.
【分析】由角平分线的定义并结合已知和角的构成可求解.
6．【答案】＜
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：＜
【分析】利用角度单位转化，得出结果。
7．【答案】75.6°
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：35.1°＋40.5°＝75.6°.
故答案为：75.6°.
【分析】单位相同的两个量相加，直接根据有理数的加法法则进行计算，最后带上单位即可.
8．【答案】75°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解： 8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，
所以时针与分针所成的角等于2×30°+
×30°=75°．
故答案为：75°.
【分析】由于钟面被分成12大格，每格为30°，而8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，则它们所夹的角为2×30°+
×30°，即可得出答案.
9．【答案】15°或30°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】如图1，当∠BOC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=x，
∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=2x，
∵∠BOD=30°，
∴2x=30°，
∴x=15°，
即∠BOC=15°；
如图2，当∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=2x，
∴∠BOD=∠DOC-∠BOC=x，
∵∠BOD=30°，
∴x=30°，
即∠BOC=30°．
∴∠BOC的度数为：15°或30°．
故答案为15°或30°．
【分析】分两种情况：①当∠BOC在∠AOB内部时，②当∠BOC在∠AOB外部时，再分别画出图形，再利用角的运算求解即可。
10．【答案】解：∵∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，
∴设∠AOC=5x，∠BOC=2x，则∠AOB=7x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD= ∠AOB= x，
∵∠COD=∠BOD－∠BOC，又∠COD=15°，
∴ x－2x=15°，
解得：x=10°，
∴∠AOB=7×10°=70°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】由题意可设∠AOC=5x，∠BOC=2x，则∠AOB=7x，根据角平分线的概念可得∠BOD= ∠AOB=x，然后根据∠COD=∠BOD-∠BOC=15°可得x的值，进而可得∠AOB的度数.
11．【答案】解：∵∠AOB是平角，
∴
∵OM、ON外别是∠AOC、∠BOD的平分线，且∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，
∴ ， ，
∴∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON＝180°-40°-15°＝125°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平角的概念可得∠AOB=180°，根据角平分线的概念可得∠AOM=40°，∠BON=15°，然后根据∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON进行计算.
12．【答案】（1）解：∵OC是∠AOD的平分线，∠AOD＝70°，
∴∠AOC=∠DOC= ，
∵∠COE为直角，
∴∠COE=90°，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-35°-90°=55°；
（2）解：设∠COD=x°，∠DOE=y°，
∴x+y=80①，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠COD=2x°，
∵∠DOE：∠BOD＝2：5，
∴∠BOD= ，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴②，
∴②-①×2得y=40，
∴x=80-40=40，
∴∠AOD=2x°=80°，
∴∠BOD=180°-80°=100°
∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=100°-40°=60°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠AOC=∠DOC=35°，然后根据∠BOE=180°-∠AOC-∠COE进行计算；
（2）设∠COD=x°，∠DOE=y°，则x+y=80，根据角平分线的概念可得∠AOD=2∠COD=2x°，结合已知条件可得∠BOD= y°，根据平角的概念可得2x+y=180，联立求解可得x、y，进而得到∠AOD的度数，由邻补角的概念可得∠BOD的度数，然后根据∠BOE=∠BOD-∠DOE进行计算.
13．【答案】A
【知识点】角的概念
【解析】【解答】A选项中，可用，，三种方法表示同一个角；
B选项中，能用表示，不能用表示；
C选项中，点A、O、B在一条直线上，
∴能用表示，不能用表示；
D选项中，能用表示，不能用表示；
故答案为：A．
【分析】根据角的定义逐项判断即可。
14．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解： OE平分∠BOC，OF平分∠AOC
又
解得∠EOF=60°
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的概念可得∠BOC=2∠COE，∠AOC=2∠COF，则∠AOB=2∠EOF，然后根据∠AOB=∠BOF+∠AOE-∠EOF进行计算.
15．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝80°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝40°；
如图，当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝120°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝60°；
综上所述：∠BOM的度数为40°或60°，
故答案为：B．
【分析】分两种情况：当OC在∠AOB内部时和当OC在∠AOB外部时，根据角平分线的定义及角的和差关系分别解答即可.
16．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD
∴∠BOM＝ ∠AOB＝x°
∠CON＝ ∠COD＝2x°
∵∠MON＝90°
∴∠CON＋∠BOC＋∠BOM＝90°
∴2x＋3x＋x＝90
解得：x＝15
∴∠COD=4x =15°×4＝60°.
故答案为：C.
【分析】设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，根据角平分线的概念可得∠BOM=x°，∠CON＝2x°，然后根据∠MON＝90°可得x，进而求出∠COD的度数.
17．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°，
A、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故A项不符合题意；
B、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故B项不符合题意；
C、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故C项不符合题意；
D、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出，故D项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用角的运算求出所有可能的角度即可。
18．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：OF平分∠BOC，则∠BOF=∠COF，
OG平分∠BOD，则∠BOG=∠DOG，
∵∠COD=∠COB+∠BOD=90°，
∴（∠COB+∠BOD）=45°，
∴∠FOB+∠BOG=∠FOG=45°，故①符合题意；
OE平分∠AOC，则∠AOE=∠EOC，
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°，
∴（∠AOC+∠COB）=90°，
∴∠AOE+∠FOB=90°，故②符合题意；
∵∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°，
∴∠AOC-∠BOD=180°-∠COB-∠BOD=180°-（∠COB+∠BOD）=90°，
故④符合题意；
∠AOC-∠BOD=90°，则（∠AOC-∠BOD）=45°，
∴∠EOC-∠GOD=45°，∠EOC=∠GOD+45°，
∵∠EOG=∠EOC+∠COG=∠GOD+45°+∠COG=∠COD+45°=135°，
故③不符合题意；
综上所述①②④符合题意，
故答案为： B．
【分析】根据角平分线的定义、平角、直角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可。
19．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图②，
∵将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，
∴∠2＋∠1＋∠AOC＝90°，
∴∠2＋25°＋（180° 45° 90°）＝90°，
∴∠2＝20°，
故答案为：B．
【分析】利用角的和差关系进行求解。
20．【答案】58°16′
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：18°29′+39°47′＝57°76′＝58°16′.
故答案为：58°16′.
【分析】根据度分秒的换算关系计算即得结果.
21．【答案】45；127.5
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：根据题意：钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 ；
15分钟后时针与分针的夹角是 .
故答案为：45，127.5.
【分析】根据时钟上一大格是30°，结合4时30分，时针在4和5中间位置，分针在指向6，列式计算时针与分针的夹角；15分钟后，分针指向9，时针和5之间的夹角为(30+15)×0.5°，依此列式计算即可.
22．【答案】或
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当在的外部时，
平分，且，
，
同理可得：，
则；
②如图，当在的内部时，
同理可得：，，
则；
综上，的度数是或，
故答案为：或．
【分析】分两种情况：①当在的外部时，②当在的内部时，分别画出图形，再利用角的运算可得答案。
23．【答案】4°或100°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设OD是∠AOB的平分线，分两种情况：
①若OC在∠AOB内部，如图所示：
∵∠AOC：∠COB=2：3，
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴2x+3x=40°．
解得x=8．
∴∠AOC=2x=2×8°=16°．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=20°．
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．
②若OC在∠AOB外部，如图所示：
∵∠AOC：∠COB=2：3，
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x-2x=40°，
解得x=40°．
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
故答案为：4°或100°．
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
24．【答案】45°-x
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠FDG=90°，∠EDC=45°，∠EDF=x，
∴∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG
=180°-45°-x-90°
=45°-x.
故答案为：45°-x.
【分析】根据平角的概念可得∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG，据此计算.
25．【答案】解：设∠BOE=x°，则∠DOB＝55°﹣x°，
由∠BOE＝ ∠EOC可得∠EOC＝2x°，
由OD平分∠AOB，
得∠AOB＝2∠DOB，
故有2x+x+2（55﹣x）＝150，
解方程得x＝40，
故∠EOC＝2x＝80°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】 设∠BOE=x°，则∠DOB＝55°﹣x°，∠EOC＝2x°， 由角平分线的定义可得 ∠AOB＝2∠DOB=2（55°﹣x°），根据∠DOE=∠EOC+∠BOE+∠AOB=150°列出方程并解之即可.
26．【答案】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠BOE+∠COE＝∠BOC，
∴ ∠COE+∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣ ∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，然后根据角平分线的概念进行计算；
（2）①当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，根据∠BOE+∠COE＝∠BOC可得∠COE的度数；②当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，根据∠COE-∠BOE＝∠BOC可得∠COE的度数.
27．【答案】（1）解：∵OC⊥OE，∠COA＝34°，
∴∠BOE=180°-90°-34°=56°；
（2）解：∵∠BOE＝130°，
∴∠AOE=180°-∠BOE＝50°
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOE=25°=∠AOF
∵OC⊥OE．
∴∠COF=90°-∠EOF=65°；
（3）解：∵OC⊥OE，
∴∠AOC=90°-∠AOE=40°
设∠BOM的度数为x
∴∠COM=∠AOC+∠AOM=40°+180°-x=220°-x，∠FOM=∠AOM-∠AOF=180°-x-25°=155°-x
∵∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，
∴220°-x+×50°=2x+155°-x
解得x=75°
∴∠BOM的度数为75°．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念求得 ∠COA＝34°， 再根据角的和差列式计算即可；
（2）根据邻补角的概念求得 ∠AOE 的度数，从而利用角的和差列式求解即可；
（3） 设∠BOM的度数为x ，再根据角的和差及倍数关系列方程求解即可。
28．【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
29．【答案】（1）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∴ .
（2）解：设 .
则 .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ ，
∴
∴按图3所示的位置放置时， 与 度数间的等量关系为： .
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平角的概念结合已知条件可得∠AOC+∠BOD=90°，根据∠AOC的度数可得∠BOD的度数，根据∠COB=∠COD+∠BOD可得∠COB的度数，根据角平分线的概念可得∠COE的度数，然后根据∠DOE=∠COD-∠COE进行计算；
（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°-α，根据角平分线的概念可得∠BOE=∠BOC=90°-α，则∠BOD=∠COD-∠BOC=α-90°，然后根据∠DOE=∠DOB+∠BOE进行解答.
30．【答案】（1）解：∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°
（2）解：设∠AOD＝x，则∠BOC＝x，
∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD，∠BOD＝∠COD ∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB＋∠COD ∠BOC，
∵∠AOB＝90°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝150° ∠BOC，
∴x＝150 x，
解得：x＝140°，
∴∠AOD的度数为140°．
（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝90° ∠BOP＝90° 12t，∠QOP＝90° ∠AOQ ∠BOP＝90° 21t，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝∠AOP（因为此时∠AOP大于∠QOP），
∴90° 21t＝（90° 12t），
解得：t＝3；
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝90° ∠BOP＝90° 12t，∠QOP＝∠BOP ∠BOQ＝∠BOP （90° ∠AOQ）＝21t 90°，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝∠AOP或∠AOP＝∠QOP，
∴21t 90°＝（90° 12t）或90° 12t＝（21t 90），
解得：t＝5或t＝6；
当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，
同理可得∠BOP=12t，∠AOQ=9t，
∴∠AOP=12t-90°，∠QOP=∠AOQ+∠QOP=21t-90°，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠AOP＝∠QOP（因为∠QOP大于∠AOP），
∴12t-90°＝（21t 90°），
解得：t＝30，不符合题意；
∴此时射线OP不可能为两条射线OA和OQ的“和谐线”；
当射线OP与射线OQ均在∠AOB的外部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝12t 90°，∠QOP＝360° ∠AOP ∠AOQ＝450° 21t，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠AOP＝∠QOP，
∴12t 90°＝（450° 21t），
解得：t＝14．
综上所述，在0＜t＜15时，当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值为3或5或6或14．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得 ∠COD＝∠AOC＝∠AOD=60°，利用∠BOC=∠AOB-∠AOC计算即得；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOC＝x， 易求 ∠AOD＝150° ∠BOC， 据此建立关于x方程，解之即可；
（3） 分四种情况：①当射线OP与射线OQ未相遇之前，②当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，③当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，④当射线OP与射线OQ均在∠AOB的外部时，如图， 据此分别解答即可.
1 / 12022年苏科版初中数学七年级上册 6.2 角 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·神木期末）若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）
A．5°12′ B．5°7′12″ C．5°7′2″ D．5°10′2″
【答案】B
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：∠α=5.12°=5°+0.12×60′=5°+7′+0.2×60″=5°7′12″.
故答案为：B.
【分析】由于1°＝60′，1′=60″，故保留整数度，用小数部分的度数乘以60分，计算结果保留整数分，再将小数部分的分数乘以60秒即可得出答案.
2．（2021七上·顺德期末）关于角的描述不正确的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC可以用∠O表示
C．∠AOC＝∠AOB+∠BOC D．∠β表示∠BOC
【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算
【解析】【解答】解：A．与表示同一个角，不符合题意．
B．由于顶点O处，共有3个角，所以不可以用来表示，符合题意．
C．由图可知，不符合题意．
D．由图可知与表示同一个角，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据角的定义及角的表示方法逐项判断即可。
3．（2021七上·灌阳期末）下列各角中，为锐角的是（ ）
A． 平角 B． 周角 C． 直角 D． 周角
【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算
【解析】【解答】解：A. 平角=90°，不符合题意；
B. 周角=72°，符合题意；
C. 直角=135°，不符合题意；
D. 周角=180°，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平角、周角、直角分别计算出各选项中角的度数，再根据大于0°且小于90°的角为锐角，据此逐一判断即可.
4．（2020七上·仁寿期末）在灯塔P处观测到轮船A位于北偏西55°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（ ）
A．100° B．105° C．125° D．140°
【答案】D
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
由题意得：∠1＝55°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣55°＝35°，
∠AOB＝35°+90°+15°＝140°，
故答案为：D.
【分析】由图形根据∠AOB的构成可求解.
5．（2021七上·西区期末）如图，OC平分∠AOD，OD平分∠BOC，下列等式不成立的是（ ）
A．∠AOC=∠BOD B．∠COD= ∠AOB
C．∠AOC= ∠AOD D．∠BOD= ∠BOC
【答案】B
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、∵OC平分∠AOD，∴∠COA=∠COD.
∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOD，∴∠AOC=∠BOD，故本选项正确；
B、∵OD平分∠BOC，∴∠COD= ∠BOC，故本选项错误；
C、∵OC平分∠AOD，∴∠AOC= ∠AOD，故本选项正确；
D、∵OD平分∠BOC，∴∠BOD= ∠BOC，故本选项正确.
故答案为：B.
【分析】由角平分线的定义并结合已知和角的构成可求解.
6．（2021七上·海曙期末）已知 ， 比较这两个角的大小， 结果为∠1 ∠2.
【答案】＜
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：＜
【分析】利用角度单位转化，得出结果。
7．（2021七上·东坡期末）计算：35.1°＋40.5°＝ ．（结果用度表示）
【答案】75.6°
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：35.1°＋40.5°＝75.6°.
故答案为：75.6°.
【分析】单位相同的两个量相加，直接根据有理数的加法法则进行计算，最后带上单位即可.
8．（2022七上·宝安期末）钟表上显示8：30，时针与分针的夹角为 。
【答案】75°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解： 8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，
所以时针与分针所成的角等于2×30°+
×30°=75°．
故答案为：75°.
【分析】由于钟面被分成12大格，每格为30°，而8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的中间，分针指向数字6，则它们所夹的角为2×30°+
×30°，即可得出答案.
9．（2021七上·建水期末）已知∠AOB=3∠BOC，射线OD平分∠AOC，若∠BOD=30°，则∠BOC的度数为 .
【答案】15°或30°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】如图1，当∠BOC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=x，
∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=2x，
∵∠BOD=30°，
∴2x=30°，
∴x=15°，
即∠BOC=15°；
如图2，当∠BOC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=3∠BOC，
∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC=∠AOC=2x，
∴∠BOD=∠DOC-∠BOC=x，
∵∠BOD=30°，
∴x=30°，
即∠BOC=30°．
∴∠BOC的度数为：15°或30°．
故答案为15°或30°．
【分析】分两种情况：①当∠BOC在∠AOB内部时，②当∠BOC在∠AOB外部时，再分别画出图形，再利用角的运算求解即可。
10．（2022七上·巴中期末）如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数.
【答案】解：∵∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，
∴设∠AOC=5x，∠BOC=2x，则∠AOB=7x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD= ∠AOB= x，
∵∠COD=∠BOD－∠BOC，又∠COD=15°，
∴ x－2x=15°，
解得：x=10°，
∴∠AOB=7×10°=70°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】由题意可设∠AOC=5x，∠BOC=2x，则∠AOB=7x，根据角平分线的概念可得∠BOD= ∠AOB=x，然后根据∠COD=∠BOD-∠BOC=15°可得x的值，进而可得∠AOB的度数.
11．（2022七上·城固期末）如图，∠AOB是平角， ， ，OM、ON外别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数.
【答案】解：∵∠AOB是平角，
∴
∵OM、ON外别是∠AOC、∠BOD的平分线，且∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，
∴ ， ，
∴∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON＝180°-40°-15°＝125°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平角的概念可得∠AOB=180°，根据角平分线的概念可得∠AOM=40°，∠BON=15°，然后根据∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON进行计算.
12．（2022七上·江州期末）如图，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线.
（1）如图①，若∠COE为直角，且∠AOD＝70°，求∠BOE的度数；
（2）如图②，若∠DOE：∠BOD＝2：5，且∠COE＝80°，求∠BOE的度数.
【答案】（1）解：∵OC是∠AOD的平分线，∠AOD＝70°，
∴∠AOC=∠DOC= ，
∵∠COE为直角，
∴∠COE=90°，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-35°-90°=55°；
（2）解：设∠COD=x°，∠DOE=y°，
∴x+y=80①，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠COD=2x°，
∵∠DOE：∠BOD＝2：5，
∴∠BOD= ，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴②，
∴②-①×2得y=40，
∴x=80-40=40，
∴∠AOD=2x°=80°，
∴∠BOD=180°-80°=100°
∴∠BOE=∠BOD-∠DOE=100°-40°=60°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠AOC=∠DOC=35°，然后根据∠BOE=180°-∠AOC-∠COE进行计算；
（2）设∠COD=x°，∠DOE=y°，则x+y=80，根据角平分线的概念可得∠AOD=2∠COD=2x°，结合已知条件可得∠BOD= y°，根据平角的概念可得2x+y=180，联立求解可得x、y，进而得到∠AOD的度数，由邻补角的概念可得∠BOD的度数，然后根据∠BOE=∠BOD-∠DOE进行计算.
二、能力提优
13．（2021七上·顺义期末）下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的概念
【解析】【解答】A选项中，可用，，三种方法表示同一个角；
B选项中，能用表示，不能用表示；
C选项中，点A、O、B在一条直线上，
∴能用表示，不能用表示；
D选项中，能用表示，不能用表示；
故答案为：A．
【分析】根据角的定义逐项判断即可。
14．（2022七上·巴中期末）如图，∠AOE＝100°，∠BOF＝80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解： OE平分∠BOC，OF平分∠AOC
又
解得∠EOF=60°
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的概念可得∠BOC=2∠COE，∠AOC=2∠COF，则∠AOB=2∠EOF，然后根据∠AOB=∠BOF+∠AOE-∠EOF进行计算.
15．（2021七上·齐齐哈尔期末）已知∠AOB＝100°，过点O作射线OC、OM，使∠AOC＝20°，OM是∠BOC的平分线，则∠BOM的度数为（ ）
A．60° B．60°或40° C．120°或80° D．40°
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图1，当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝80°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝40°；
如图，当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB＝100°，∠AOC＝20°，
∴∠BOC＝120°，
∵OM是∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝60°；
综上所述：∠BOM的度数为40°或60°，
故答案为：B．
【分析】分两种情况：当OC在∠AOB内部时和当OC在∠AOB外部时，根据角平分线的定义及角的和差关系分别解答即可.
16．（2021七上·白银期末）如图， ，射线OM、ON分别平分 与 ， 是直角，则 的度数为（ ）
A．70° B．62° C．60° D．58°
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，
∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD
∴∠BOM＝ ∠AOB＝x°
∠CON＝ ∠COD＝2x°
∵∠MON＝90°
∴∠CON＋∠BOC＋∠BOM＝90°
∴2x＋3x＋x＝90
解得：x＝15
∴∠COD=4x =15°×4＝60°.
故答案为：C.
【分析】设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，根据角平分线的概念可得∠BOM=x°，∠CON＝2x°，然后根据∠MON＝90°可得x，进而求出∠COD的度数.
17．（2021七上·无为期末）用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：三角板的内角的度数分别为45°、90°、30°、60°，
A、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故A项不符合题意；
B、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故B项不符合题意；
C、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，可能画出，故C项不符合题意；
D、因为，所以用一副三角板（两块，可以组合）画角，不可能画出，故D项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用角的运算求出所有可能的角度即可。
18．（2021七上·蓬江期末）如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：OF平分∠BOC，则∠BOF=∠COF，
OG平分∠BOD，则∠BOG=∠DOG，
∵∠COD=∠COB+∠BOD=90°，
∴（∠COB+∠BOD）=45°，
∴∠FOB+∠BOG=∠FOG=45°，故①符合题意；
OE平分∠AOC，则∠AOE=∠EOC，
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°，
∴（∠AOC+∠COB）=90°，
∴∠AOE+∠FOB=90°，故②符合题意；
∵∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°，
∴∠AOC-∠BOD=180°-∠COB-∠BOD=180°-（∠COB+∠BOD）=90°，
故④符合题意；
∠AOC-∠BOD=90°，则（∠AOC-∠BOD）=45°，
∴∠EOC-∠GOD=45°，∠EOC=∠GOD+45°，
∵∠EOG=∠EOC+∠COG=∠GOD+45°+∠COG=∠COD+45°=135°，
故③不符合题意；
综上所述①②④符合题意，
故答案为： B．
【分析】根据角平分线的定义、平角、直角的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可。
19．（2021七上·普宁期末）将一副三角板如图①的位置摆放，其中30°直角三角板的直角边与等腰直角三角板的斜边重合，30°直角三角板直角顶点与等腰直角三角板的锐角顶点重合（为点O）．现将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，此时为25°，则（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图②，
∵将30°的直角三角板绕点O顺时针旋转至如图②的位置，
∴∠2＋∠1＋∠AOC＝90°，
∴∠2＋25°＋（180° 45° 90°）＝90°，
∴∠2＝20°，
故答案为：B．
【分析】利用角的和差关系进行求解。
20．（2021七上·扶风期末）计算：18°29′+39°47′＝ .
【答案】58°16′
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：18°29′+39°47′＝57°76′＝58°16′.
故答案为：58°16′.
【分析】根据度分秒的换算关系计算即得结果.
21．（2021七上·余姚期末）钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 度，15分钟后时针与分针的夹角是 度.
【答案】45；127.5
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：根据题意：钟面上4时30分，时针与分针的夹角是 ；
15分钟后时针与分针的夹角是 .
故答案为：45，127.5.
【分析】根据时钟上一大格是30°，结合4时30分，时针在4和5中间位置，分针在指向6，列式计算时针与分针的夹角；15分钟后，分针指向9，时针和5之间的夹角为(30+15)×0.5°，依此列式计算即可.
22．（2021七上·巴彦期末）已知，，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是 ．
【答案】或
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当在的外部时，
平分，且，
，
同理可得：，
则；
②如图，当在的内部时，
同理可得：，，
则；
综上，的度数是或，
故答案为：或．
【分析】分两种情况：①当在的外部时，②当在的内部时，分别画出图形，再利用角的运算可得答案。
23．（2021七上·曲靖期末）已知∠AOB=40°，其平分线是OD，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3则∠COD= ．
【答案】4°或100°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：设OD是∠AOB的平分线，分两种情况：
①若OC在∠AOB内部，如图所示：
∵∠AOC：∠COB=2：3，
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴2x+3x=40°．
解得x=8．
∴∠AOC=2x=2×8°=16°．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠AOB=20°．
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．
②若OC在∠AOB外部，如图所示：
∵∠AOC：∠COB=2：3，
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x-2x=40°，
解得x=40°．
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
故答案为：4°或100°．
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
24．（2022七上·句容期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上， ， ，设 ，则用x的代数式表示 的度数为 .
【答案】45°-x
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠FDG=90°，∠EDC=45°，∠EDF=x，
∴∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG
=180°-45°-x-90°
=45°-x.
故答案为：45°-x.
【分析】根据平角的概念可得∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG，据此计算.
25．（2021七上·靖西期末）如图， 是 内的两条射线， 平分 ， ，若 ， ，求 的度数.
【答案】解：设∠BOE=x°，则∠DOB＝55°﹣x°，
由∠BOE＝ ∠EOC可得∠EOC＝2x°，
由OD平分∠AOB，
得∠AOB＝2∠DOB，
故有2x+x+2（55﹣x）＝150，
解方程得x＝40，
故∠EOC＝2x＝80°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】 设∠BOE=x°，则∠DOB＝55°﹣x°，∠EOC＝2x°， 由角平分线的定义可得 ∠AOB＝2∠DOB=2（55°﹣x°），根据∠DOE=∠EOC+∠BOE+∠AOB=150°列出方程并解之即可.
26．（2022七上·毕节期末）如图，点O为直线AB上一点， ，OD平分 .
（1）求 的度数：
（2）作射线OE，使 ，求 的度数.
【答案】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝ ∠AOC＝70°；
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠BOE+∠COE＝∠BOC，
∴ ∠COE+∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝ ∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣ ∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，然后根据角平分线的概念进行计算；
（2）①当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，根据∠BOE+∠COE＝∠BOC可得∠COE的度数；②当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，根据∠COE-∠BOE＝∠BOC可得∠COE的度数.
27．（2021七上·封开期末）已知，O是直线AB上的一点，OC⊥OE．
（1）如图①，若∠COA＝34°，求∠BOE的度数．
（2）如图②，当射线OC在直线AB下方时，OF平分∠AOE，∠BOE＝130°，求∠COF的度数．
（3）在（2）的条件下，如图③，在∠BOE内部作射线OM，使∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，求∠BOM的度数．
【答案】（1）解：∵OC⊥OE，∠COA＝34°，
∴∠BOE=180°-90°-34°=56°；
（2）解：∵∠BOE＝130°，
∴∠AOE=180°-∠BOE＝50°
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOE=25°=∠AOF
∵OC⊥OE．
∴∠COF=90°-∠EOF=65°；
（3）解：∵OC⊥OE，
∴∠AOC=90°-∠AOE=40°
设∠BOM的度数为x
∴∠COM=∠AOC+∠AOM=40°+180°-x=220°-x，∠FOM=∠AOM-∠AOF=180°-x-25°=155°-x
∵∠COM+∠AOE＝2∠BOM+∠FOM，
∴220°-x+×50°=2x+155°-x
解得x=75°
∴∠BOM的度数为75°．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念求得 ∠COA＝34°， 再根据角的和差列式计算即可；
（2）根据邻补角的概念求得 ∠AOE 的度数，从而利用角的和差列式求解即可；
（3） 设∠BOM的度数为x ，再根据角的和差及倍数关系列方程求解即可。
三、延伸拓展
28．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
29．（2021七上·白银期末）（问题回顾）
我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线 上， ， 分别平分 ， ，可求得 .（不用求解）
（问题改编）
点O在直线 上， ，OE平分 .
（1）如图2，若 ，求 的度数；
（2）将图2中的 按图3所示的位置进行放置，写出 与 度数间的等量关系，并写明理由.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ 平分 ，
∴ .
∴ .
（2）解：设 .
则 .
∵ 平分 ，
∴ .
∵ ，
∴
∴按图3所示的位置放置时， 与 度数间的等量关系为： .
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平角的概念结合已知条件可得∠AOC+∠BOD=90°，根据∠AOC的度数可得∠BOD的度数，根据∠COB=∠COD+∠BOD可得∠COB的度数，根据角平分线的概念可得∠COE的度数，然后根据∠DOE=∠COD-∠COE进行计算；
（2）设∠AOC=α，则∠BOC=180°-α，根据角平分线的概念可得∠BOE=∠BOC=90°-α，则∠BOD=∠COD-∠BOC=α-90°，然后根据∠DOE=∠DOB+∠BOE进行解答.
30．（2021七上·海珠期末）如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数；
（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT＝∠NOT或者∠NOT＝∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．
【答案】（1）解：∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°
（2）解：设∠AOD＝x，则∠BOC＝x，
∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD，∠BOD＝∠COD ∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB＋∠COD ∠BOC，
∵∠AOB＝90°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝150° ∠BOC，
∴x＝150 x，
解得：x＝140°，
∴∠AOD的度数为140°．
（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝90° ∠BOP＝90° 12t，∠QOP＝90° ∠AOQ ∠BOP＝90° 21t，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝∠AOP（因为此时∠AOP大于∠QOP），
∴90° 21t＝（90° 12t），
解得：t＝3；
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝90° ∠BOP＝90° 12t，∠QOP＝∠BOP ∠BOQ＝∠BOP （90° ∠AOQ）＝21t 90°，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝∠AOP或∠AOP＝∠QOP，
∴21t 90°＝（90° 12t）或90° 12t＝（21t 90），
解得：t＝5或t＝6；
当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，
同理可得∠BOP=12t，∠AOQ=9t，
∴∠AOP=12t-90°，∠QOP=∠AOQ+∠QOP=21t-90°，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠AOP＝∠QOP（因为∠QOP大于∠AOP），
∴12t-90°＝（21t 90°），
解得：t＝30，不符合题意；
∴此时射线OP不可能为两条射线OA和OQ的“和谐线”；
当射线OP与射线OQ均在∠AOB的外部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝12t 90°，∠QOP＝360° ∠AOP ∠AOQ＝450° 21t，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠AOP＝∠QOP，
∴12t 90°＝（450° 21t），
解得：t＝14．
综上所述，在0＜t＜15时，当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值为3或5或6或14．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得 ∠COD＝∠AOC＝∠AOD=60°，利用∠BOC=∠AOB-∠AOC计算即得；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOC＝x， 易求 ∠AOD＝150° ∠BOC， 据此建立关于x方程，解之即可；
（3） 分四种情况：①当射线OP与射线OQ未相遇之前，②当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，③当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，④当射线OP与射线OQ均在∠AOB的外部时，如图， 据此分别解答即可.
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