2022年苏科版初中数学七年级上册 6.3 余角 补角 对顶角 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·嵊州期末）下列图中是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知，
为对顶角的只有D，
故答案为：D.
【分析】利用两条直线相交，才能形成对顶角，可排除A，B，C选项，由此可得答案.
2．（2022七上·汇川期末）已知∠α＝125°19′，则∠α的补角等于（ ）
A．144°41′ B．144°81′ C．54°41′ D．54°81′
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： ∠α＝125°19′，
∠α的补角等于
故答案为：C
【分析】若两个的和等于180°，则这两个角互为补角，据此解答即可.
3．（2021七上·南充期末）如图，点O在直线上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=125°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=55°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=35°，
故选：C．
【分析】由邻补角的定义求出∠BOC=180°-∠AOC=55°，利用∠BOD=∠COD-∠BOC即可求解.
4．（2021七上·大连期末）下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角
C．直角和它的的补角相等 D．锐角和钝角互补
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、因为锐角的补角与锐角之和为180°，所以锐角的补角一定是钝角，所以本说法不符合题意；
B、当这个角为120°时，120°的补角是60°，所以本说法不符合题意；
C、根据直角的补角是直角．所以本说法符合题意；
D、锐角和钝角的度数不确定，不能确定锐角和钝角是否互补，所以本说法不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据补角的性质对每个选项一一判断即可。
5．（2021七上·西湖期末）如图，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，互补的角有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：互补的角有：∠AOD与∠BOD，∠AOD与∠COE，∠COE与∠BOD，∠AOC与∠BOC，∠AOE与∠BOE共5对，
故答案为：A.
【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角，据此解答即可.
6．（2022七上·贵港期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，
∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＋∠DOF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；
∴∠FOD＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠COE＋∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，据此判断①；根据平角的概念可得∠AOE＋∠BOF＝90°，据此判断③；易得∠FOD＝∠BOF，据此判断②；根据∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，可得∠COE＋∠AOE＝180°，据此判断④.
7．（2021七上·文山期末）如果∠A＝30°，那么∠A的余角为 °，∠A的补角为 °.
【答案】60；50
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∠A的余角等于90°-30°=60°；
∠A的补角等于180°-30°=150°，
故答案为60；150．
【分析】根据余角和补角的性质计算求解即可。
8．（2021七上·东城期末）若，，则与的关系是 ．（填“互余”或“互补”）
【答案】互余
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵+=+=90°，
∴与的关系是互余，
故答案为：互余．
【分析】根据余角以及补角的含义，判断得到答案即可。
9．（2021七上·台山期末）一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为 ．
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】设这个角为，则它的余角为，补角为
即这个角为
故答案为．
【分析】设这个角为，则它的余角为，补角为，根据题意列出方程，再求解即可。
10．（2021七上·西峰期末）已知∠1与∠2互余，若∠1=33°27′，则∠2的补角的度数是 .
【答案】123°27′
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∠1与∠2互余，且∠1==33°27′，
则∠2=90°-33°27′=56°33′，
∠2的补角的度数为180°-56°33′=123°27′.
故答案为：123°27′.
【分析】根据互余两个角之和为90°可得∠2=90°-33°27′，然后根据角单位之间的换算对其进行化简，由互为补角的两个角之和为180°可得∠2的补角为180°-56°33′，计算即可.
11．（2021七上·封开期末）已知一个角的补角是它余角的3倍，那么这个角等于 °．
【答案】45
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，则余角为90°-x，补角为180°-x，
由题意得，180°-x=3（90°-x），
解得：x=45，即这个角的度数为45°．
故答案为：45．
【分析】设这个角为x，则余角为90°-x，补角为180°-x，根据题意列出方程180°-x=3（90°-x）求解即可。
12．（2020七上·海伦期中）如图，直线AB，CD相交于点O， ，垂足为O， ，求 的度数．
【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°=55°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC与∠EOC互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC的度数；再由∠AOD与∠AOC互补，即可得出∠AOD的度数．
13．（2020七上·南沙期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD平分∠AOC，且∠DOE＝90°．求证：OE平分∠BOC．
【答案】证明：∵点A、O、B在同一条直线上，∠DOE＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由垂直的定义及平角的定义可得 ∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， 由角平分线的定义可得 ∠AOD＝∠DOC，即得∠AOD+∠COE＝90°， 根据余角的性质可得∠COE＝∠BOE，根据角平分线的定义即证.
14．（2021七上·长沙期末）如图， ， 是 的平分线， 是 的平分线.
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 与 互补，求 的度数.
【答案】（1）解： 是 的平分线， 是 的平分线，
，
；
（2）解： 是 的平分线， 是 的平分线，
，
设 ，
， ，
∵ 与 互补，
，
，
，
.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得 ，利用
即可求解 ；
（2）由（1）知，设 ，可得∠BOD=（40+x）°， ∠AOD=（80+x）°，根据与互补建立方程并解之即可.
二、能力提优
15．（2021七上·白云期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个锐角的补角大于这个角的余角
B．一对互补的角中，一定有一个角是锐角
C．锐角的余角一定是钝角
D．锐角的补角一定是锐角
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A：一个锐角的补角为钝角，它的余角为锐角，故其补角大于其余角，选项A符合题意；
B：一对互补的角中，也可以两个角是直角，故B不符合题意；
C：锐角的余角一定是锐角，故C不符合题意；
D：锐角的补角一定是钝角，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据余角的定义及补角的定义逐项判断即可。
16．（2021七上·遂宁期末）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．150°
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°.
故答案为：D.
【分析】根据∠1和∠2互为余角可得∠1+∠2=90°，根据∠2与∠3互补可得∠2+∠3=180°，然后结合∠1的度数进行计算即可.
17．（2021七上·桂林期末）若 ， ，则 与 的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α+∠β=45°-n°+45°+n°=90°，
∴∠α与∠β互余.
故答案为：B.
【分析】由∠α+∠β=90°可知∠α与∠β互余.
18．（2021七上·乌拉特前旗期末）∠α与∠β的度数分别是 2m 67和 68 m，且∠α与∠β都是∠γ 的补角，那么∠α与∠β的关系是（ ）
A．互余但不相等 B．相等但不互余
C．互为补角 D．互余且相等
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵∠α与∠β都是∠γ的补角，
∴∠α=∠β，即2m 67=68 m，解得m=45，
∴∠α=∠β=2m 67=68 m=23°，
即∠α与∠β相等但不互余.
故答案为：B．
【分析】根据补角的性质可得∠α=∠β，即2m 67=68 m，解得m=45，再将m的值代入计算即可。
19．（2021七上·澄海期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：图中相等的角有，共5对
故答案为：B．
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90度和等角的余角相等解答即可。
20．（2021七上·嘉兴期末）已知 与 满足 ，下列式子表示的角：① ：② ；③ ；④ 中，其中是 的余角的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：① 的余角的是 ，正确；
②∵ 的度数无法确定，∴ 的度数无法确定，错误；
③∵ ，∴= ，∴ 正确；
④ ，错误；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：B.
【分析】由 ，得出= ，但无法确定 与 的度数，然后根据余角的性质分别判断即可.
21．（2021七上·开远期末）已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的度数为 ．
【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β互余，且∠α＝40°，
∴∠β=90°-∠α=50°，
故答案为：50°．
【分析】根据余角的性质可得∠β=90°-∠α=50°。
22．（2021七上·巢湖期末）若一个角度数是115°6′，则这个角的补角是 ．
【答案】64°54'
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据补角的定义及角的单位换算求解即可。
23．（2021七上·黄埔期末）已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，则∠α＝ ，∠β＝ ．
【答案】80°；100°
【知识点】一元一次方程的其他应用；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α和∠β互为补角，
∴α=180°-β，
根据题意得，180°-β-β=30°，
解得β=100°，
α=180°-β=80°，
故答案为：80°，100°．
【分析】根据补角的定义可得α=180°-β，再根据“ ∠β的一半比∠α小30° ”列出方程并解之即可.
24．（2021七上·龙江期末）若与互余，且，则 ．
【答案】69°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：因为，
所以设∠α=2x，∠β=3x，
因为与互余，
所以2x+3x=90°，解得x=18°，
所以∠α=36°，∠β=54°，
所以；
故答案为69°．
【分析】根据，所以设∠α=2x，∠β=3x，再根据与互余，列出方程，得出x的值，推出∠α=36°，∠β=54°，即可得出答案。
25．（2021七上·苏州期末）如图，已知点 是射线 上一点，过 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ，给出下列结论：① 是 的余角；②图中互余的角共有3对；③ 的补角只有 ；④与 互补的角共有3个，其中正确结论有 （把你认为正确的结论的序号都填上）.
【答案】①④
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： CA⊥BE ，
∠1是∠B的余角，故①符合题意；
，
∴ ∠1与∠CAD互为余角，∠B与∠BAD互为余角，
CA⊥BE ，
∴ ∠CAD与∠BAD互为余角，
所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意；
∠1与∠ACF互补；
∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠1+∠DAE=180°，
∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意；
CA⊥BE ，AD⊥BF
所以与∠ADB互补的角有∠ADC、∠CAB、∠CAE共3个，故④符合题意；
所以正确的结论有：①④
故答案为：①④.
【分析】根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，根据互余关系可判断①、②，再根据互补的性质判断③、④即可.
26．（2021七上·庐阳期末）如图，OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB=40°，∠DOE=36°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE=30°，求∠AOB的度数．
【答案】（1）解：∵OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴，，
∴；
（2）解：∵OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴，．
∵∠AOD与∠BOD互补，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的运算可得∠BOD的度数；
（2）根据角平分线的定义可得，，再利用补角的性质可得，再利用等量代换可得，再求出即可。
27．（2021七上·巴彦期末）如图，．
（1）试说明∠AOD与∠BOC互补；
（2）如图2，当射线OA、OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE、OF，若射线OE是∠BOE的三等分线（），，求的度数：
（3）如图3，在（2）的条件下，，射线OM平分∠EOD，过点O作射线ON，使，求的度数．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴
∴∠AOD与∠BOC互补；
（2）解：设，
∵射线OE是∠BOE的三等分线（）
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（3）解：∵
∴
∴，
由（1）得：∠AOD与∠BOC互补，
∴
∴
∴
∴
∴
∵OM平分∠DOE
∴
∴
∴
∵
∴
①当射线ON在直线OF上方时，
②当射线ON在直线OF下方时，
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先求出，再利用角的运算，即可得到答案；
（2）设， ，则，，再根据可得，求出，即可得到；
（3）先求出∠AOF和∠FON的度数，再分两种情况：①当射线ON在直线OF上方时，②当射线ON在直线OF下方时，再利用角的运算求解即可。
28．（2020七上·齐齐哈尔期末）在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．
（1）当∠COD的位置如图1所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
（2）当∠COD的位置如图2所示时，作∠AOC的角平分线OF，求∠EOF的度数；
（3）当∠COD的位置如图3所示时，若∠AOC与∠BOD互补，请你过点O作射线OM，使得∠COM为∠AOC的余角，并求出∠MOE的度数．（题中的角都是小于平角的角）
【答案】（1）解： ∵∠COD＝90°，∠EOC＝35°，
∴∠EOD＝55°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠EOD＝110°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°；
（2）解： ∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
∵OF平分∠AOC，OE平分∠BOD，
∴∠COF＝ AOC，∠DOE＝ BOD，
∴∠COF+∠DOE＝60°，
∴∠EOF＝60°+90°＝150°；
（3）解： 设∠AOC＝α，
∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣α，∠BOC＝150°﹣α，
∵∠AOC与∠BOD互补，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴90°﹣α+150°﹣α＝180°，
∴α＝30°，
即∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝150°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE＝75°，
如图3，∵∠COM为∠AOC的余角，
∴∠COM＝60°，
∴∠DOM＝30°，
∴∠MOE＝∠MOD+∠DOE＝30°+75°＝105°，
如备用图，∵∠COM为∠AOC的余角，
∴∠COM＝60°，
∠BOM＝60°，
∴∠MOE＝∠BOM+∠BOE＝60°+75°＝135°；
综上所述，∠MOE的度数为105°或135°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得出结论；
（2） 根据角平分线的定义和角的和差即可得出结论；
（3）根据余角的性质和角平分线的定义即可得到结论。
三、延伸拓展
29．（2021七上·青山期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°，故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，
∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故答案为：B.
【分析】 易得∠EOD=90°-m°，而方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角 ，据此判断①；根据角平分线的概念得∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，然后根据互余两个角之和为90°可判断②；易得∠BOF=72°，∠BON=36°，据此可判断③；根据∠AOE+∠BOF=90°以及角平分线的概念可得∠MOE+∠NOF=45° ，则∠MON=135°，据此判断④.
30．（2021七上·长沙期末）如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的 少 .
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间.
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时， ，求x的值.
（注：本题中所涉及的角都是小于 的角）
【答案】（1）解：设 ，则它的余角为 ，它的补角为
由题意得：
（2）解：设旋转时间为x秒，
∵
①当射线OP在∠BOC的内部时，
即 ，解得：
②当射线OP在∠BOC的外部时，
即 ，
综上所述，当旋转时间为 或 时，
（3）解：∵OD为∠AOC的平分线，
∴∠COD＝ ∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝70°+20°＝90°
∵ ，
∴∠COE＝ ×90°＝20°，则∠DOE＝70°﹣20°＝50°，∠BOE＝20°+20°＝40°，
∴OP的旋转时间为
∴10x＝50，解得：x＝5.
【知识点】余角、补角及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 设 ，则它的余角为 ，它的补角为 ，根据“ ∠BOC的余角比它的补角的 少 ”列出方程并解之即可；
（2） 设旋转时间为t秒，分两种情况：①当射线OP在∠BOC的内部时，②当射线OP在∠BOC的外部时，由∠POC＝10°分别建立方程并解之即可；
（3）由角平分线的定义可得∠COD＝ ∠AOC＝70°，从而求出∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，结合 ，可得∠COE＝ ∠BOD=20°，继而求出 ∠DOE、∠BOE的度数， 即可求解.
1 / 12022年苏科版初中数学七年级上册 6.3 余角 补角 对顶角 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·嵊州期末）下列图中是对顶角的为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022七上·汇川期末）已知∠α＝125°19′，则∠α的补角等于（ ）
A．144°41′ B．144°81′ C．54°41′ D．54°81′
3．（2021七上·南充期末）如图，点O在直线上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021七上·大连期末）下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角
C．直角和它的的补角相等 D．锐角和钝角互补
5．（2021七上·西湖期末）如图，∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，互补的角有（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
6．（2022七上·贵港期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021七上·文山期末）如果∠A＝30°，那么∠A的余角为 °，∠A的补角为 °.
8．（2021七上·东城期末）若，，则与的关系是 ．（填“互余”或“互补”）
9．（2021七上·台山期末）一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为 ．
10．（2021七上·西峰期末）已知∠1与∠2互余，若∠1=33°27′，则∠2的补角的度数是 .
11．（2021七上·封开期末）已知一个角的补角是它余角的3倍，那么这个角等于 °．
12．（2020七上·海伦期中）如图，直线AB，CD相交于点O， ，垂足为O， ，求 的度数．
13．（2020七上·南沙期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD平分∠AOC，且∠DOE＝90°．求证：OE平分∠BOC．
14．（2021七上·长沙期末）如图， ， 是 的平分线， 是 的平分线.
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 与 互补，求 的度数.
二、能力提优
15．（2021七上·白云期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个锐角的补角大于这个角的余角
B．一对互补的角中，一定有一个角是锐角
C．锐角的余角一定是钝角
D．锐角的补角一定是锐角
16．（2021七上·遂宁期末）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．150°
17．（2021七上·桂林期末）若 ， ，则 与 的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角
18．（2021七上·乌拉特前旗期末）∠α与∠β的度数分别是 2m 67和 68 m，且∠α与∠β都是∠γ 的补角，那么∠α与∠β的关系是（ ）
A．互余但不相等 B．相等但不互余
C．互为补角 D．互余且相等
19．（2021七上·澄海期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB于点O，如果∠1与∠2互余，那么图中相等的角有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
20．（2021七上·嘉兴期末）已知 与 满足 ，下列式子表示的角：① ：② ；③ ；④ 中，其中是 的余角的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
21．（2021七上·开远期末）已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的度数为 ．
22．（2021七上·巢湖期末）若一个角度数是115°6′，则这个角的补角是 ．
23．（2021七上·黄埔期末）已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，则∠α＝ ，∠β＝ ．
24．（2021七上·龙江期末）若与互余，且，则 ．
25．（2021七上·苏州期末）如图，已知点 是射线 上一点，过 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ，给出下列结论：① 是 的余角；②图中互余的角共有3对；③ 的补角只有 ；④与 互补的角共有3个，其中正确结论有 （把你认为正确的结论的序号都填上）.
26．（2021七上·庐阳期末）如图，OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB=40°，∠DOE=36°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD与∠BOD互补，且∠DOE=30°，求∠AOB的度数．
27．（2021七上·巴彦期末）如图，．
（1）试说明∠AOD与∠BOC互补；
（2）如图2，当射线OA、OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE、OF，若射线OE是∠BOE的三等分线（），，求的度数：
（3）如图3，在（2）的条件下，，射线OM平分∠EOD，过点O作射线ON，使，求的度数．
28．（2020七上·齐齐哈尔期末）在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．
（1）当∠COD的位置如图1所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
（2）当∠COD的位置如图2所示时，作∠AOC的角平分线OF，求∠EOF的度数；
（3）当∠COD的位置如图3所示时，若∠AOC与∠BOD互补，请你过点O作射线OM，使得∠COM为∠AOC的余角，并求出∠MOE的度数．（题中的角都是小于平角的角）
三、延伸拓展
29．（2021七上·青山期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法：
①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若 ，则n的倒数是 ，其中正确有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
30．（2021七上·长沙期末）如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的 少 .
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间.
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时， ，求x的值.
（注：本题中所涉及的角都是小于 的角）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角的定义可知，
为对顶角的只有D，
故答案为：D.
【分析】利用两条直线相交，才能形成对顶角，可排除A，B，C选项，由此可得答案.
2．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： ∠α＝125°19′，
∠α的补角等于
故答案为：C
【分析】若两个的和等于180°，则这两个角互为补角，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=125°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=55°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=35°，
故选：C．
【分析】由邻补角的定义求出∠BOC=180°-∠AOC=55°，利用∠BOD=∠COD-∠BOC即可求解.
4．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、因为锐角的补角与锐角之和为180°，所以锐角的补角一定是钝角，所以本说法不符合题意；
B、当这个角为120°时，120°的补角是60°，所以本说法不符合题意；
C、根据直角的补角是直角．所以本说法符合题意；
D、锐角和钝角的度数不确定，不能确定锐角和钝角是否互补，所以本说法不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据补角的性质对每个选项一一判断即可。
5．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：互补的角有：∠AOD与∠BOD，∠AOD与∠COE，∠COE与∠BOD，∠AOC与∠BOC，∠AOE与∠BOE共5对，
故答案为：A.
【分析】若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角，据此解答即可.
6．【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，
∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＋∠DOF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；
∴∠FOD＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠COE＋∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，据此判断①；根据平角的概念可得∠AOE＋∠BOF＝90°，据此判断③；易得∠FOD＝∠BOF，据此判断②；根据∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，可得∠COE＋∠AOE＝180°，据此判断④.
7．【答案】60；50
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∠A的余角等于90°-30°=60°；
∠A的补角等于180°-30°=150°，
故答案为60；150．
【分析】根据余角和补角的性质计算求解即可。
8．【答案】互余
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵+=+=90°，
∴与的关系是互余，
故答案为：互余．
【分析】根据余角以及补角的含义，判断得到答案即可。
9．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】设这个角为，则它的余角为，补角为
即这个角为
故答案为．
【分析】设这个角为，则它的余角为，补角为，根据题意列出方程，再求解即可。
10．【答案】123°27′
【知识点】常用角的单位及换算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∠1与∠2互余，且∠1==33°27′，
则∠2=90°-33°27′=56°33′，
∠2的补角的度数为180°-56°33′=123°27′.
故答案为：123°27′.
【分析】根据互余两个角之和为90°可得∠2=90°-33°27′，然后根据角单位之间的换算对其进行化简，由互为补角的两个角之和为180°可得∠2的补角为180°-56°33′，计算即可.
11．【答案】45
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，则余角为90°-x，补角为180°-x，
由题意得，180°-x=3（90°-x），
解得：x=45，即这个角的度数为45°．
故答案为：45．
【分析】设这个角为x，则余角为90°-x，补角为180°-x，根据题意列出方程180°-x=3（90°-x）求解即可。
12．【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠EOC=35°，
∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°=55°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC与∠EOC互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC的度数；再由∠AOD与∠AOC互补，即可得出∠AOD的度数．
13．【答案】证明：∵点A、O、B在同一条直线上，∠DOE＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由垂直的定义及平角的定义可得 ∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， 由角平分线的定义可得 ∠AOD＝∠DOC，即得∠AOD+∠COE＝90°， 根据余角的性质可得∠COE＝∠BOE，根据角平分线的定义即证.
14．【答案】（1）解： 是 的平分线， 是 的平分线，
，
；
（2）解： 是 的平分线， 是 的平分线，
，
设 ，
， ，
∵ 与 互补，
，
，
，
.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得 ，利用
即可求解 ；
（2）由（1）知，设 ，可得∠BOD=（40+x）°， ∠AOD=（80+x）°，根据与互补建立方程并解之即可.
15．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A：一个锐角的补角为钝角，它的余角为锐角，故其补角大于其余角，选项A符合题意；
B：一对互补的角中，也可以两个角是直角，故B不符合题意；
C：锐角的余角一定是锐角，故C不符合题意；
D：锐角的补角一定是钝角，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据余角的定义及补角的定义逐项判断即可。
16．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°.
故答案为：D.
【分析】根据∠1和∠2互为余角可得∠1+∠2=90°，根据∠2与∠3互补可得∠2+∠3=180°，然后结合∠1的度数进行计算即可.
17．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α+∠β=45°-n°+45°+n°=90°，
∴∠α与∠β互余.
故答案为：B.
【分析】由∠α+∠β=90°可知∠α与∠β互余.
18．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵∠α与∠β都是∠γ的补角，
∴∠α=∠β，即2m 67=68 m，解得m=45，
∴∠α=∠β=2m 67=68 m=23°，
即∠α与∠β相等但不互余.
故答案为：B．
【分析】根据补角的性质可得∠α=∠β，即2m 67=68 m，解得m=45，再将m的值代入计算即可。
19．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：图中相等的角有，共5对
故答案为：B．
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90度和等角的余角相等解答即可。
20．【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：① 的余角的是 ，正确；
②∵ 的度数无法确定，∴ 的度数无法确定，错误；
③∵ ，∴= ，∴ 正确；
④ ，错误；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：B.
【分析】由 ，得出= ，但无法确定 与 的度数，然后根据余角的性质分别判断即可.
21．【答案】50°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α与∠β互余，且∠α＝40°，
∴∠β=90°-∠α=50°，
故答案为：50°．
【分析】根据余角的性质可得∠β=90°-∠α=50°。
22．【答案】64°54'
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据补角的定义及角的单位换算求解即可。
23．【答案】80°；100°
【知识点】一元一次方程的其他应用；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠α和∠β互为补角，
∴α=180°-β，
根据题意得，180°-β-β=30°，
解得β=100°，
α=180°-β=80°，
故答案为：80°，100°．
【分析】根据补角的定义可得α=180°-β，再根据“ ∠β的一半比∠α小30° ”列出方程并解之即可.
24．【答案】69°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：因为，
所以设∠α=2x，∠β=3x，
因为与互余，
所以2x+3x=90°，解得x=18°，
所以∠α=36°，∠β=54°，
所以；
故答案为69°．
【分析】根据，所以设∠α=2x，∠β=3x，再根据与互余，列出方程，得出x的值，推出∠α=36°，∠β=54°，即可得出答案。
25．【答案】①④
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： CA⊥BE ，
∠1是∠B的余角，故①符合题意；
，
∴ ∠1与∠CAD互为余角，∠B与∠BAD互为余角，
CA⊥BE ，
∴ ∠CAD与∠BAD互为余角，
所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意；
∠1与∠ACF互补；
∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠1+∠DAE=180°，
∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意；
CA⊥BE ，AD⊥BF
所以与∠ADB互补的角有∠ADC、∠CAB、∠CAE共3个，故④符合题意；
所以正确的结论有：①④
故答案为：①④.
【分析】根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，根据互余关系可判断①、②，再根据互补的性质判断③、④即可.
26．【答案】（1）解：∵OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴，，
∴；
（2）解：∵OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴，．
∵∠AOD与∠BOD互补，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用角的运算可得∠BOD的度数；
（2）根据角平分线的定义可得，，再利用补角的性质可得，再利用等量代换可得，再求出即可。
27．【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴
∴∠AOD与∠BOC互补；
（2）解：设，
∵射线OE是∠BOE的三等分线（）
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（3）解：∵
∴
∴，
由（1）得：∠AOD与∠BOC互补，
∴
∴
∴
∴
∴
∵OM平分∠DOE
∴
∴
∴
∵
∴
①当射线ON在直线OF上方时，
②当射线ON在直线OF下方时，
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先求出，再利用角的运算，即可得到答案；
（2）设， ，则，，再根据可得，求出，即可得到；
（3）先求出∠AOF和∠FON的度数，再分两种情况：①当射线ON在直线OF上方时，②当射线ON在直线OF下方时，再利用角的运算求解即可。
28．【答案】（1）解： ∵∠COD＝90°，∠EOC＝35°，
∴∠EOD＝55°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠EOD＝110°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°；
（2）解： ∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
∵OF平分∠AOC，OE平分∠BOD，
∴∠COF＝ AOC，∠DOE＝ BOD，
∴∠COF+∠DOE＝60°，
∴∠EOF＝60°+90°＝150°；
（3）解： 设∠AOC＝α，
∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣α，∠BOC＝150°﹣α，
∵∠AOC与∠BOD互补，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴90°﹣α+150°﹣α＝180°，
∴α＝30°，
即∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝150°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE＝75°，
如图3，∵∠COM为∠AOC的余角，
∴∠COM＝60°，
∴∠DOM＝30°，
∴∠MOE＝∠MOD+∠DOE＝30°+75°＝105°，
如备用图，∵∠COM为∠AOC的余角，
∴∠COM＝60°，
∠BOM＝60°，
∴∠MOE＝∠BOM+∠BOE＝60°+75°＝135°；
综上所述，∠MOE的度数为105°或135°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得出结论；
（2） 根据角平分线的定义和角的和差即可得出结论；
（3）根据余角的性质和角平分线的定义即可得到结论。
29．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOE＝m°，
∴∠EOD=90° m°，
∴点E位于点O的北偏西90° m°，故①错误；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°，
∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°，
∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，
∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，
∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°，
∴图中互余的角共有8对，故②错误；
∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠BOF=72°，
∴∠BON=36°，
∴∠DON=90° 36°=54°；故③正确；
∵∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠MOE+∠NOF= ，
∴ ，
∴ ，
∴n的倒数是 ，故④正确；
∴正确的选项有③④，共2个；
故答案为：B.
【分析】 易得∠EOD=90°-m°，而方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角 ，据此判断①；根据角平分线的概念得∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON，然后根据互余两个角之和为90°可判断②；易得∠BOF=72°，∠BON=36°，据此可判断③；根据∠AOE+∠BOF=90°以及角平分线的概念可得∠MOE+∠NOF=45° ，则∠MON=135°，据此判断④.
30．【答案】（1）解：设 ，则它的余角为 ，它的补角为
由题意得：
（2）解：设旋转时间为x秒，
∵
①当射线OP在∠BOC的内部时，
即 ，解得：
②当射线OP在∠BOC的外部时，
即 ，
综上所述，当旋转时间为 或 时，
（3）解：∵OD为∠AOC的平分线，
∴∠COD＝ ∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝70°+20°＝90°
∵ ，
∴∠COE＝ ×90°＝20°，则∠DOE＝70°﹣20°＝50°，∠BOE＝20°+20°＝40°，
∴OP的旋转时间为
∴10x＝50，解得：x＝5.
【知识点】余角、补角及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 设 ，则它的余角为 ，它的补角为 ，根据“ ∠BOC的余角比它的补角的 少 ”列出方程并解之即可；
（2） 设旋转时间为t秒，分两种情况：①当射线OP在∠BOC的内部时，②当射线OP在∠BOC的外部时，由∠POC＝10°分别建立方程并解之即可；
（3）由角平分线的定义可得∠COD＝ ∠AOC＝70°，从而求出∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，结合 ，可得∠COE＝ ∠BOD=20°，继而求出 ∠DOE、∠BOE的度数， 即可求解.
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