2022年苏科版初中数学七年级上册 6.5 垂直 同步练习

2022年苏科版初中数学七年级上册 6.5 垂直 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·朝阳月考）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项求解即可。
2．（2021七上·密山期末）点P是直线外一点，为直线上三点，，则点P到直线的距离是（　　）
A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，且，
∴点到直线的距离不大于，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义及垂线段最短的性质可得答案。
3．（2021七上·沭阳期末）下列说法错误的是（　　）
A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．对顶角相等
【答案】A
【知识点】垂线段最短；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项说法错误.
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法正确.
C、两点之间的所有连线中，线段最短，故本选项说法正确.
D、对顶角相等故本选项说法正确.
故答案为：A.
【分析】根据平行公理可判断A的正误；根据垂直公理可判断B的正误；根据线段的性质可判断C的正误；根据对顶角的性质可判断D的正误.
4．（2021七上·普陀期末）如图所示， ，垂足分别为A、D，已知 ，则点A到线段 的距离是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4.8
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，AD=4.8.
∴点A到线段BC的距离就是垂线段AD的长即4.8.
故答案为：D.
【分析】利用点到直线的距离就是这点到这条线段的垂线段的长度，由此可得答案.
5．（2021七上·江阴期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D.给出下列结论：①∠1是∠ACD的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠DCF；④与∠ADC互补的角共有3个.其中正确结论有（　　）
A．① B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】∵AC⊥BF，
∴ ，即 .
故∠1是∠ACD的余角，①正确；
∵CD⊥BE，AC⊥BF，
∴ ， ，
∴ ， ， ， .
故一共有4对互余的角，②错误；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
故与 互补的角有 和 ，③错误.
∵AC⊥BF， CD⊥BE，
∴与 互补的角有： 、 、 ，④正确.
所以正确的结论为①④.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得∠ACB=∠ACF=90°，，利用补角的定义可判断④；从而得出， ， ， ，据此判断①②；根据同角的余角相等得出，由，，可得出，据此判断③.
6．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．
【分析】根据直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短，得到D点.
7．（2021七上·长春期末）如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 　 　米．（填具体数值）
【答案】3.15
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
故答案为：3.15．
【分析】先求出小明的跳远成绩应该为PN的长度，再求解即可。
8．（2021七上·丹徒期末）如图，直线AB与CD相交于点O， ，若 ，则 =　 　°．
【答案】35
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOM=90°，
∵ ，
∴∠BOD=90°-55°=35°，
∴∠AOC=∠BOD=35°，
故答案为：35．
【分析】先根据垂直的定义和角的和差求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等的性质解答即可．
9．（2021七上·昆山期末）已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为　 　．(单位用度表示)
【答案】64.8°
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得∠BOD=
∵
∴∠EOD=90°
∴.
故答案为：64.8°．
【分析】由对顶角相等得∠BOD的度数，由垂直的定义得∠EOD的度数，由∠BOE=∠EOD-∠BOD即可求出结论.
10．（2020七上·碑林期末）如图，在 的正方形网格中，点 都在格点上，连接 中任意两点得到的所有线段中，与线段 垂直的线段是　 　.
【答案】DE
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线
【解析】【解答】解：画出C、D、E、F中任意两点所在直线，如图所示，则与线段 垂直的线段是DE，
故答案为：DE.
【分析】分别画出C、D、E、F中任意两点所在直线，结合图形根据垂直的定义即可求解.
11．如图，CO⊥AB，垂足为O，∠COE﹣∠BOD=4°，∠AOE+∠COD=116°，则∠AOD=　 　 ．
【答案】150 °
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠AOE=90°﹣∠EOC，
∠COD=90°﹣∠BOD，
∵∠AOE+∠COD=116°，
∴90°﹣∠EOC+90°﹣∠BOD=116°，
∴∠EOC+∠BOD=64°，
∵∠COE﹣∠BOD=4°，
∴，
解得： ，
∴∠AOD=150°，
故答案为：150．
【分析】根据垂直可得∠AOC=∠BOC=90°，从而可得∠AOE=90°﹣∠EOC，∠COD=90°﹣∠BOD，再代入∠AOE+∠COD=116°可得∠EOC+∠BOD=64°，再和∠COE﹣∠BOD=4°组成方程组，再解可得∠BOD的度数，进而可得∠AOD的度数．
12．（2020七上·洛宁期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，且∠BON=55°，求∠BOD的度数.
【答案】解：∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵∠BON=55°，
∴∠AOM=180°-90°-55°=35°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOM=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】首先根据垂线的定义和已知条件求出∠AOM的度数，根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等的性质即可得出所求.
13．（2021七上·邗江期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数.
【答案】（1）解：∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，
∴∠BOD＝90° 38°＝52°，
∴∠AOC＝52°
（2）解：由（1）知：∠BOD＝52°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=26°，
此时∠GOE=∠BOF=38°，
分两种情况：
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；
综上：∠FOG的度数为26°或102°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】 (1)本题先由 OF⊥CD，∠BOF＝38°，根据余角的定义即可进步 求出∠AOC的度数，和为90°的两个角互为余角.
(2)本题过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，此时注意分类讨论，进步求出∠FOG的度数.
14．（2021七上·长兴期末）已知，如图直线 与 相交于点O， ，过点O作射线 ， ， .
（1）求 度数；
（2）求 的度数；
（3）直接写出图中所有与 互补的角.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ =60°；
（2）解：∵ =60°，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
，
∴与 互补的角为： 、 、 .
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得，根据对顶角相等可得 ，利用=∠AOB-∠BOC计算即可结论；
（2） 利用平角的定义可得，据此即可求出答案 ；
（3）根据补角的定义进行解答即可.
二、能力提优
15．（2021七上·丰泽期末）下列各项正确的是（　　）
A．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离
D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
【答案】D
【知识点】垂线；点到直线的距离；平面中直线位置关系；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故此选项错误，不合题意；
B、在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不合题意；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不合题意；
D、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别利用对顶角的定义、垂线、平行公理以及点到直线的距离分别分析得出即可.
16．（2020七上·通州期末）如图， 是直线 外一点，从点 向直线 引 ， ， ， 几条线段，其中只有 与 垂直，这几条线段中长度最短的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：直线外一点 P 与直线上各点连接的所有线段中，最短的是 PB ，依据是垂线段最短．
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短的性质可得答案。
17．（2021七上·净月期末）如图，点A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B．在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝AB，点P在线段BC上，连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝AB，P在线段BC上连接AP．
∵AB＝3，
∴AC＝5，
∴3≤AP≤5，
故AP不可能是5.5，
故答案为：D．
【分析】先求出AC的长，再根据图形即可得到3≤AP≤5，再判断即可。
18．（2021七上·镇海期末）下列说法正确的个数是（　　）
①射线 与射线 是同一条射线；②点 到点 的距离是线段 ；③画一条长为 的直线；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；垂线
【解析】【解答】解：①射线MN与射线 不是同一条射线，因为端点不一样，故错误；
②点 到点 的距离是线段 的长度，故错误；
③因为直线是无法度量的，所以不能说画一条长为3cm的直线，故错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确；
∴正确的个数只有④一个；
故答案为：B.
【分析】利用射线有一个端点，是向一方延伸，可对①作出判断；利用两点之间的距离（抓住距离是指线段的长），可对②作出判断；再根据直线不能度量，可对③作出判断；然后根据垂线的性质，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
19．（2021七上·成华期末）如图，E是直线 上一点， ，射线 平分 ， .则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠CEF=140°，
∵射线 平分 ，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵ ，∴∠GEF=90°，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】先根据射线 平分 ，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据 ，结合∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案.
20．（2020七上·绿园期末）如图， ， ，已知 ， ， ，则点 到直线 的距离是　 　．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵
∴AB是点A到l1的距离，
∵AB=4，BC=3，AC=5
∴A到l1的距离为4，
故答案为：4
【分析】根据点到直线的距离可以知道：A到l1的距离为AB的长。
21．（2020七上·无锡期末）如图，已知 .若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵ .，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据题意，由 ，即可求出 的度数.
22．（2020七上·房山期末）如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD几条线段，其中只有PA与l垂直. 这几条线段中，最短的是　 　，依据是　 　．
【答案】PA；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
故答案是PA，依据是：垂线段最短.
【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，即可选出答案
23．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3,2）的点共有　 　个．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
24．（2020七上·通州期末）如图，点 在直线 上，点 在直线 上，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，线段 的长度为 ，通过测量等方法可以判断在 ， ， 三个数据中，最大的是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】过点A作AD垂直于 垂足为D，过点B作BH垂直于 垂足为H，连接AB，
由题意得：AD=a， BH=b，AB=c；
根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH
∴c＞a，c＞b；
∴c最大
故答案：c
【分析】根据垂线段最短的性质，即可得到ACAB，进而得出a25．已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠AOF=25°，求∠BOC与∠EOF的度数．
【答案】解：∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°．
∴∠AOD=∠AOF+∠FOD=25°+90°=115°．
∴∠BOC=115°．
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°．
∴∠EOF=90°﹣25°=65°．
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】由OF⊥CD，∠FOD=90°，从而可求得∠AOD的度数，然后由对顶角的性质可知∠COB的度数，由∠FOE=∠AOE﹣∠AOF．
26．（2021七上·诸暨期末）如图，直线AB和直线CD交于O点，EO⊥AB，
（1）若2∠EOC＝∠COB，求∠AOD的度数．
（2）作OF⊥CD，证明：∠EOF＝∠COB．
【答案】（1）解：∵EO⊥AB ∴∠EOB=∠EOC+∠COB=90°
∵2∠EOC=∠COB ∴3∠EOC=90°
∴∠EOC=30°∠COB=∠AOD=60°
（2）证明：∵EO⊥AB ， FO⊥CD
∴∠EOC+∠COB=∠EOF+∠EOC=90°
∴∠COB=∠EOF
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠EOC+∠COB=90°，再根据2∠EOC＝∠COB得出 ∠COB=60°，根据对顶角相等得出∠AOD=∠COB=60°，即可得出答案；
（2）根据垂直的定义得出∠EOC+∠COB=∠EOF+∠EOC=90°，即可得出∠COB=∠EOF.
27．（2021七上·南浔期末）如图，已知直线 与 相交于点 为 的角平分线.
（1）求 的度数；
（2）求 的度数.
【答案】（1）解： ，
∴ ，
∵ ，
；
（2）解：∵直线 与 相交于点O，
，
∴ ，
为 的角平分线，
，
.
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 根据垂直的定义及对顶角相等，得出， ，利用 即可求出结论；
（2）由邻补角的定义得∠AD的度数，由角平分线的定义得∠FOD的度数，由∠EOF=∠EOD+∠FOD即可求出结论.
三、延伸拓展
28．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
【答案】解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
29．（2019七上·北碚期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：如图1,
或如图2,
故∠EOF的度数是 或
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【分析】（1）根据平角的定义，由 即可算出答案；
（2）由 ∠BOD：∠BOC＝1：5 ， ∠COD=∠BOD+∠BOC=180°，即可算出∠AOC的度数，∠BOD的度数，进而根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可算出答案；
（3）分类讨论： 如图1, 算出答案； 如图2, 算出答案。
30．（2021七上·长兴期末）已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE=　 　；
（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE=　 　；∠BOE与∠COF的数量关系为　 　.
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：仍然成立，理由如下，
设∠COF=x°
∵∠COE=90°，∴∠EOF=（90-x）°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2（90-x）°
∴∠BOE=160°-2（90-x）°=（2x-20）°
即∠BOE=2∠COF-20°仍然成立。
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角 ， ∠COF=32°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=58°
∴∠AOE=2∠EOF=116°
∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°
故答案为：44°
（2）①∵∠COE是直角 ， ∠COF=m°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-m°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=90°-m°
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°
②∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-(180°-2m°)= （2m-20）°
∵当 ∠COF=m° 时，∠ BOE=（2m-20）°
∴∠BOE=2∠COF-20°
故答案为：1、（2m-20）°；2、∠BOE=2∠COF-20°。
【分析】（1）利用直角求出∠EOF以及利用角平分线的定义求出∠AOE，结合图形，运用角的和差进行求解；
（2）这道题目在第一问的基础上，将∠COF的度数换成m°，结合上一问的步骤进行化简可求出∠BOE ；
（3）根据第（2）问，可设 ∠COF=x° ，并用 ∠COF表示出∠BOE ，从而得出 ∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立 。
1 / 12022年苏科版初中数学七年级上册 6.5 垂直 同步练习
一、夯实基础
1．（2021七上·朝阳月考）下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021七上·密山期末）点P是直线外一点，为直线上三点，，则点P到直线的距离是（　　）
A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm
3．（2021七上·沭阳期末）下列说法错误的是（　　）
A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．对顶角相等
4．（2021七上·普陀期末）如图所示， ，垂足分别为A、D，已知 ，则点A到线段 的距离是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4.8
5．（2021七上·江阴期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D.给出下列结论：①∠1是∠ACD的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠DCF；④与∠ADC互补的角共有3个.其中正确结论有（　　）
A．① B．①②③ C．①④ D．②③④
6．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是　 　．
7．（2021七上·长春期末）如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 　 　米．（填具体数值）
8．（2021七上·丹徒期末）如图，直线AB与CD相交于点O， ，若 ，则 =　 　°．
9．（2021七上·昆山期末）已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为　 　．(单位用度表示)
10．（2020七上·碑林期末）如图，在 的正方形网格中，点 都在格点上，连接 中任意两点得到的所有线段中，与线段 垂直的线段是　 　.
11．如图，CO⊥AB，垂足为O，∠COE﹣∠BOD=4°，∠AOE+∠COD=116°，则∠AOD=　 　 ．
12．（2020七上·洛宁期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，且∠BON=55°，求∠BOD的度数.
13．（2021七上·邗江期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数.
14．（2021七上·长兴期末）已知，如图直线 与 相交于点O， ，过点O作射线 ， ， .
（1）求 度数；
（2）求 的度数；
（3）直接写出图中所有与 互补的角.
二、能力提优
15．（2021七上·丰泽期末）下列各项正确的是（　　）
A．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离
D．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
16．（2020七上·通州期末）如图， 是直线 外一点，从点 向直线 引 ， ， ， 几条线段，其中只有 与 垂直，这几条线段中长度最短的是（　　）
A． B． C． D．
17．（2021七上·净月期末）如图，点A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B．在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝AB，点P在线段BC上，连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．5.5
18．（2021七上·镇海期末）下列说法正确的个数是（　　）
①射线 与射线 是同一条射线；②点 到点 的距离是线段 ；③画一条长为 的直线；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
19．（2021七上·成华期末）如图，E是直线 上一点， ，射线 平分 ， .则 （　　）
A． B． C． D．
20．（2020七上·绿园期末）如图， ， ，已知 ， ， ，则点 到直线 的距离是　 　．
21．（2020七上·无锡期末）如图，已知 .若 ，则 　 　．
22．（2020七上·房山期末）如图，P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD几条线段，其中只有PA与l垂直. 这几条线段中，最短的是　 　，依据是　 　．
23．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3,2）的点共有　 　个．
24．（2020七上·通州期末）如图，点 在直线 上，点 在直线 上，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，线段 的长度为 ，通过测量等方法可以判断在 ， ， 三个数据中，最大的是　 　．
25．已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠AOF=25°，求∠BOC与∠EOF的度数．
26．（2021七上·诸暨期末）如图，直线AB和直线CD交于O点，EO⊥AB，
（1）若2∠EOC＝∠COB，求∠AOD的度数．
（2）作OF⊥CD，证明：∠EOF＝∠COB．
27．（2021七上·南浔期末）如图，已知直线 与 相交于点 为 的角平分线.
（1）求 的度数；
（2）求 的度数.
三、延伸拓展
28．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
29．（2019七上·北碚期末）已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，过点O作OF⊥AB，请直接写出∠EOF的度数．
30．（2021七上·长兴期末）已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE=　 　；
（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE=　 　；∠BOE与∠COF的数量关系为　 　.
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意得PQ⊥a，
P到a的距离是PQ垂线段的长，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项求解即可。
2．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，且，
∴点到直线的距离不大于，
故答案为：C．
【分析】根据点到直线的距离的定义及垂线段最短的性质可得答案。
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项说法错误.
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法正确.
C、两点之间的所有连线中，线段最短，故本选项说法正确.
D、对顶角相等故本选项说法正确.
故答案为：A.
【分析】根据平行公理可判断A的正误；根据垂直公理可判断B的正误；根据线段的性质可判断C的正误；根据对顶角的性质可判断D的正误.
4．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，AD=4.8.
∴点A到线段BC的距离就是垂线段AD的长即4.8.
故答案为：D.
【分析】利用点到直线的距离就是这点到这条线段的垂线段的长度，由此可得答案.
5．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】∵AC⊥BF，
∴ ，即 .
故∠1是∠ACD的余角，①正确；
∵CD⊥BE，AC⊥BF，
∴ ， ，
∴ ， ， ， .
故一共有4对互余的角，②错误；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
故与 互补的角有 和 ，③错误.
∵AC⊥BF， CD⊥BE，
∴与 互补的角有： 、 、 ，④正确.
所以正确的结论为①④.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得∠ACB=∠ACF=90°，，利用补角的定义可判断④；从而得出， ， ， ，据此判断①②；根据同角的余角相等得出，由，，可得出，据此判断③.
6．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．
【分析】根据直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短，得到D点.
7．【答案】3.15
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
故答案为：3.15．
【分析】先求出小明的跳远成绩应该为PN的长度，再求解即可。
8．【答案】35
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOM=90°，
∵ ，
∴∠BOD=90°-55°=35°，
∴∠AOC=∠BOD=35°，
故答案为：35．
【分析】先根据垂直的定义和角的和差求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等的性质解答即可．
9．【答案】64.8°
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得∠BOD=
∵
∴∠EOD=90°
∴.
故答案为：64.8°．
【分析】由对顶角相等得∠BOD的度数，由垂直的定义得∠EOD的度数，由∠BOE=∠EOD-∠BOD即可求出结论.
10．【答案】DE
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线
【解析】【解答】解：画出C、D、E、F中任意两点所在直线，如图所示，则与线段 垂直的线段是DE，
故答案为：DE.
【分析】分别画出C、D、E、F中任意两点所在直线，结合图形根据垂直的定义即可求解.
11．【答案】150 °
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠AOE=90°﹣∠EOC，
∠COD=90°﹣∠BOD，
∵∠AOE+∠COD=116°，
∴90°﹣∠EOC+90°﹣∠BOD=116°，
∴∠EOC+∠BOD=64°，
∵∠COE﹣∠BOD=4°，
∴，
解得： ，
∴∠AOD=150°，
故答案为：150．
【分析】根据垂直可得∠AOC=∠BOC=90°，从而可得∠AOE=90°﹣∠EOC，∠COD=90°﹣∠BOD，再代入∠AOE+∠COD=116°可得∠EOC+∠BOD=64°，再和∠COE﹣∠BOD=4°组成方程组，再解可得∠BOD的度数，进而可得∠AOD的度数．
12．【答案】解：∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵∠BON=55°，
∴∠AOM=180°-90°-55°=35°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOM=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】首先根据垂线的定义和已知条件求出∠AOM的度数，根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等的性质即可得出所求.
13．【答案】（1）解：∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，
∴∠BOD＝90° 38°＝52°，
∴∠AOC＝52°
（2）解：由（1）知：∠BOD＝52°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=26°，
此时∠GOE=∠BOF=38°，
分两种情况：
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；
如图：
此时∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；
综上：∠FOG的度数为26°或102°.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】 (1)本题先由 OF⊥CD，∠BOF＝38°，根据余角的定义即可进步 求出∠AOC的度数，和为90°的两个角互为余角.
(2)本题过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，此时注意分类讨论，进步求出∠FOG的度数.
14．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ =60°；
（2）解：∵ =60°，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
，
∴与 互补的角为： 、 、 .
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得，根据对顶角相等可得 ，利用=∠AOB-∠BOC计算即可结论；
（2） 利用平角的定义可得，据此即可求出答案 ；
（3）根据补角的定义进行解答即可.
15．【答案】D
【知识点】垂线；点到直线的距离；平面中直线位置关系；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故此选项错误，不合题意；
B、在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不合题意；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不合题意；
D、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别利用对顶角的定义、垂线、平行公理以及点到直线的距离分别分析得出即可.
16．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：直线外一点 P 与直线上各点连接的所有线段中，最短的是 PB ，依据是垂线段最短．
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短的性质可得答案。
17．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连接AC，使AC＝AB，P在线段BC上连接AP．
∵AB＝3，
∴AC＝5，
∴3≤AP≤5，
故AP不可能是5.5，
故答案为：D．
【分析】先求出AC的长，再根据图形即可得到3≤AP≤5，再判断即可。
18．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段；两点间的距离；垂线
【解析】【解答】解：①射线MN与射线 不是同一条射线，因为端点不一样，故错误；
②点 到点 的距离是线段 的长度，故错误；
③因为直线是无法度量的，所以不能说画一条长为3cm的直线，故错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，正确；
∴正确的个数只有④一个；
故答案为：B.
【分析】利用射线有一个端点，是向一方延伸，可对①作出判断；利用两点之间的距离（抓住距离是指线段的长），可对②作出判断；再根据直线不能度量，可对③作出判断；然后根据垂线的性质，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
19．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠CEF=140°，
∵射线 平分 ，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵ ，∴∠GEF=90°，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°.
故答案为：B.
【分析】先根据射线 平分 ，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据 ，结合∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案.
20．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵
∴AB是点A到l1的距离，
∵AB=4，BC=3，AC=5
∴A到l1的距离为4，
故答案为：4
【分析】根据点到直线的距离可以知道：A到l1的距离为AB的长。
21．【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵ .，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据题意，由 ，即可求出 的度数.
22．【答案】PA；垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
故答案是PA，依据是：垂线段最短.
【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，即可选出答案
23．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
24．【答案】
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】过点A作AD垂直于 垂足为D，过点B作BH垂直于 垂足为H，连接AB，
由题意得：AD=a， BH=b，AB=c；
根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH
∴c＞a，c＞b；
∴c最大
故答案：c
【分析】根据垂线段最短的性质，即可得到ACAB，进而得出a25．【答案】解：∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°．
∴∠AOD=∠AOF+∠FOD=25°+90°=115°．
∴∠BOC=115°．
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°．
∴∠EOF=90°﹣25°=65°．
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】由OF⊥CD，∠FOD=90°，从而可求得∠AOD的度数，然后由对顶角的性质可知∠COB的度数，由∠FOE=∠AOE﹣∠AOF．
26．【答案】（1）解：∵EO⊥AB ∴∠EOB=∠EOC+∠COB=90°
∵2∠EOC=∠COB ∴3∠EOC=90°
∴∠EOC=30°∠COB=∠AOD=60°
（2）证明：∵EO⊥AB ， FO⊥CD
∴∠EOC+∠COB=∠EOF+∠EOC=90°
∴∠COB=∠EOF
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠EOC+∠COB=90°，再根据2∠EOC＝∠COB得出 ∠COB=60°，根据对顶角相等得出∠AOD=∠COB=60°，即可得出答案；
（2）根据垂直的定义得出∠EOC+∠COB=∠EOF+∠EOC=90°，即可得出∠COB=∠EOF.
27．【答案】（1）解： ，
∴ ，
∵ ，
；
（2）解：∵直线 与 相交于点O，
，
∴ ，
为 的角平分线，
，
.
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1） 根据垂直的定义及对顶角相等，得出， ，利用 即可求出结论；
（2）由邻补角的定义得∠AD的度数，由角平分线的定义得∠FOD的度数，由∠EOF=∠EOD+∠FOD即可求出结论.
28．【答案】解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
29．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：如图1,
或如图2,
故∠EOF的度数是 或
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【分析】（1）根据平角的定义，由 即可算出答案；
（2）由 ∠BOD：∠BOC＝1：5 ， ∠COD=∠BOD+∠BOC=180°，即可算出∠AOC的度数，∠BOD的度数，进而根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可算出答案；
（3）分类讨论： 如图1, 算出答案； 如图2, 算出答案。
30．【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：仍然成立，理由如下，
设∠COF=x°
∵∠COE=90°，∴∠EOF=（90-x）°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2（90-x）°
∴∠BOE=160°-2（90-x）°=（2x-20）°
即∠BOE=2∠COF-20°仍然成立。
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角 ， ∠COF=32°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=58°
∴∠AOE=2∠EOF=116°
∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°
故答案为：44°
（2）①∵∠COE是直角 ， ∠COF=m°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-m°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=90°-m°
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°
②∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-(180°-2m°)= （2m-20）°
∵当 ∠COF=m° 时，∠ BOE=（2m-20）°
∴∠BOE=2∠COF-20°
故答案为：1、（2m-20）°；2、∠BOE=2∠COF-20°。
【分析】（1）利用直角求出∠EOF以及利用角平分线的定义求出∠AOE，结合图形，运用角的和差进行求解；
（2）这道题目在第一问的基础上，将∠COF的度数换成m°，结合上一问的步骤进行化简可求出∠BOE ；
（3）根据第（2）问，可设 ∠COF=x° ，并用 ∠COF表示出∠BOE ，从而得出 ∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立 。
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