沪科版数学2022~2023学年年度九年级（上）期中考试模拟卷（B卷）
一、单选题
1．（2022九上·晋安月考）把抛物线y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣2）2+7 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+7 D．y＝﹣2（x+2）2+1
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位得到y＝﹣2（x+2）2+4，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝﹣2（x+2）2+4的图象向上平移3个单位可得到函数y＝﹣2（x+2）2+4+3，即y＝﹣2（x+2）2+7.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
2．（2022九上·广水月考）对于抛物线的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（1，2）
C．抛物线的对称轴是直线 x＝1 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+2中，a＝﹣＜0，开口向下；顶点坐标为（1，2）；对称轴为x＝1；当x＞1时，y随着x的增大而减小．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数y=a（x-h）2+k的性质：当a＜0时，抛物线开口向下，可对A作出判断；顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，可对C，B作出判断；再利用二次函数的增减性，可对D作出判断.
3．（2022九上·淇滨开学考）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、虽有两组边对应成比例，但相等的角不是它们的夹角，所以不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】有两组角对应相等的两个三角形相似，据此判断A、C；有两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此判断D.
4．（2022·黔东南）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一，三象限，选项C符合题意.
故答案为：C
【分析】观察二次函数的图象开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，左同右异，可得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得到c＜0，由此可得到直线y=ax+b所经过的象限，同时可得到 反比例函数 的两个分支所在的象限，由此可得答案.
5．（2022·莲湖模拟）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，
可知函数的对称轴x＝＝，
∴﹣＝，
∴m＝﹣1；
∴y＝x2﹣x﹣1，
将点（﹣1，n）代入函数解析式，可得n＝1；
∴m＋n＝﹣1＋1＝0.
故答案为：B.
【分析】由于两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性，可求出抛物线的对称轴为直线x=﹣＝，从而求出m值，将点（﹣1，n）代入函数解析式求出n值，继而得解.
6．（2022八下·环翠期末）如图，D是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，则
B．如果，则
C．如果，则
D．如果，则
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A中∠ADB=∠ABC，∠A为公共角，所以，故A不符合题意；
B中∠ABD=∠C，∠A为公共角，所以，故B不符合题意；
C中对应边成比例，∠A为公共角，所以，故不符合题意；
D中对应边成比例，但夹角不相等，所以不一定相似，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
7．（2022九上·嘉鱼月考）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式，即可判断A、B、D；再求出y=0的x值，即得抛物线与x轴的交点坐标，据此判断C.
8．（2022八下·东营期末）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB交y轴于点F，轴，垂足是C，反比例函数的图象分别交BC，AB于点，E，若，则△ABC的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点D（-4，1）在反比例函数的图象上，BC⊥x轴，
∴k=-4×1=-4，C（-4，0），
∴ ，OC=4，
过点E作EH⊥x轴于H，则EH∥BC∥y轴，
∴OA：OH：HC=AF：EF：BE，
∵，OC=4，
∴OA=OH=HC=2，即AC=6，
∴点E的横坐标为-2，又点E在反比例函数的图象上，
将x=-2代入得y=2，∴EH=2，
∵EH∥BC，
∴∠AHE=∠ACB，又∠EAH=∠BAC，
∴△AHE∽△ACB，
∴即，
∴BC=3，
∴△ABC的面积为×3×6=9，
故答案为：C.
【分析】先求出AC=6，再求出△AHE∽△ACB，最后利用相似三角形的判定与性质求解即可。
9．（2022·覃塘模拟）如图，在中，D是边的中点，点E在边上，且，与交于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH∥BE，
∵点E在BC边上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵D是AB边的中点，，
∴DH为△ABE的中位线，
∴，
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：B.
【分析】过点D作DH∥BE，根据平行线的性质可得∠FDH=∠FCE，∠FHD=∠FEC，证明△DFH∽△CFE，易得DH为△ABE的中位线，则，结合已知条件可得，然后根据相似三角形的性质进行计算.
10．（2020九上·绍兴月考）如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=45° ， ∠C=90° ， AD=4cm ，CD=3cm 、动点M，N同时从点A出发，点M以 cm/s 的速度沿 AB 向终点B运动，点N以2cm/s 的速度沿折线 AD-DC 向终点C运动.设点N的运动时间为ts ，△AMN 的面积为 Scm ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①如图，当0＜t≤2时，作MH⊥AN于N，
S=AN×MH=×2t×tcos45°=t2，
②如图，当2＜t≤3时，连接DM，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×（4-t）+×4×t-×4×（2t-4）
=-t2+4t，
③如图，当3＜t≤3.5时，连接BN，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×1+×4×3-×4×（2t-4）
=-3t+12，
综上可知，符合条件的函数图象是B.
故答案为：B.
【分析】分三种情况作答，即①当0＜t≤2时，②当3＜t≤3.5时，③当3＜t≤3.5时，用分割法分别求出 △AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.
二、填空题
11．（2021九上·奉贤期末）如果 ， 那么 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ，
设 则
故答案为：
【分析】根据比例的性质即可得出答案。
12．（2021九上·普宁期中）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边DF离地面的高度 ， ，则树AB的高度为 cm.
【答案】420
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在△DEF和△DBC中，
∠D=∠D，
∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
解得BC=300cm，
∵ ，
∴AB=AC+BC=120+300=420m，
即树高420m．
故答案为：420.
【分析】先证明△DEF∽△DCB，再利用相似的性质列出比例式 ，求出BC的长，再利用线段的和差计算即可。
13．（2022·北京市）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】先求出，BC=4，再求解即可。
14．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
15．（2021九上·路北期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ．抛物线与y轴交点为C，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 ．
【答案】y＝x+2；
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵y＝﹣（x﹣a）2+a+2，
∴顶点坐标为（a，a+2），
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝x+2；
在y＝﹣（x﹣a）2+a+2中，令x＝0可得y＝﹣a2+a+2，
∴OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，
∴OC是关于a的抛物线，开口向下，对称轴为a＝ ，
当﹣1≤a≤ 时，OC随a的增大而增大，当a＝﹣1时，OC＝0，当a＝ 时，OC＝ ，此时点C经过的路径长为 ；
当 ≤a≤2时，OC随a的增大而减小，当a＝ 时，OC＝ ，当a＝2时，OC＝0，此点C经过的路径长为 ；
∴当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 + ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，再分类讨论，计算求解即可。
三、综合题
16．（2019九上·大通月考）已知一个二次函数当 时，函数有最大值9，且图象过点 .
（1）求这个二次函数的关系式.
（2）设 ， ， 是抛物线上的三点，直接写出 的大小关系.
【答案】（1）解：设
代入得
（2）解：根据（1）可知抛物线的对称轴为x=8
<0
则可知y2是函数的最大值；
又 与 是关于对称轴对称，
∴y1=y3
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式 ，然后把（0，1）代入求出a即可；（2）根据（1）可知抛物线的对称轴为x=8则可知 是顶点，再根据对称性可知y1=y3，则可比较大小
17．（2022九上·福州开学考）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）解：设AD＝xm，则AB＝m，
根据题意得x ＝225，
解得x1＝15，x2＝45，
∵AD≤a＝20，
∴AD＝15，
答：AD的长为15m；
（2）解：设AD＝xm．
∴S＝x ＝﹣（x2﹣60x）＝﹣（x﹣30）2+300，
当a≥30时，则x＝30时取S最大值，最大值为300平方米，
当0＜a＜30时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为﹣a2+20a，
综上所述，当a≥30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为300m2；当0＜a＜30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为﹣a2+20a．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AD＝xm，观察图形，利用矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆，可表示出AB的长，再利用矩形的面积等于长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据AD≤a可得到AD的长；
（2）设AD＝xm，矩形的面积为S，利用矩形的面积公式可得到S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，分情况讨论：当a≥30时；当0＜a＜30时，可得到矩形的最大面积.
18．（2021九上·西安期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°.
（1）证明：△BDA∽△CED.
（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∵∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝135°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝135°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BDA∽△CED；
（2）解：当AE＝DE时，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝3；
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠B＝∠C＝45°，结合内角和定理可推出∠BAD＝∠CDE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）当AE＝DE时，由等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠DAE＝45°，根据∠BAC=90°可得∠BAD＝∠EAD＝45°，则AD平分∠BAC，进而推出AD垂直平分BC，据此解答.
19．（2021九上·淮北月考）已知P(－3，m)和Q(1，m)是抛物线上的两点．
（1）求b的值；
（2）判断关于x的一元二次方程是否有实数根，若有求出实数根；若没有请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过P（-3，m）和Q（1，m），
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
∴-，
∴b=4；
（2）解：方程有实数解．
对于方程2x2+4x+1=0，
∵Δ=42-4×2×1=8＞0，
∴关于x的一元二次方程2x2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
∴x=，
∴，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x==-1，即可得到，求出b的值即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式及公式法求解即可。
20．（2022·桐乡模拟）某校对教室采用药薰法进行灭蚊.根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量 与药物点燃后的时间 成正比例关系，药物燃尽后， 与 成反比例关系 如图 已知药物点燃 燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为 .
（1）分别求药物燃烧时和药物燃尽后， 与 之间函数的表达式.
（2）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量低于 时，对人体是安全的，那么从开始药薰，至少经过多少时间后，学生才能进教室？
（3）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于 且持续时间不低于 时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【答案】（1）解：设药物燃烧时 关于 的函数关系式是 ，
将点 代入，得 ，
所以药物燃烧时 关于 的函数关系式是 ，自变量 的取值范围是 ；
设药物燃烧后 关于 的函数关系式是 ，
把 代入得：
，
所以药物燃烧后 与 的函数关系式为 ，
（2）解：当 时，代入 ，
得 ，
那么从药薰开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室；
（3）解：此次灭蚊有效，
将 分别代入 ， ，
得， 和 ，
那么持续时间是 ，
所以能有效杀灭室内的蚊虫.
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式是y=kx，将（8，6）代入求出k的值，据此可得对应的函数关系式；设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y=，将（8，6）代入求出m的值，据此可得对应的函数表达式；
（2）将y=1.6代入反比例函数解析式中求出x的值即可；
（3）将y=3代入（1）中的关系式中求出x的值，然后作差，再与10进行比较即可判断.
21．（2022·安徽模拟）已知抛物线（a是实数）．
（1）若该当抛物线的顶点的纵坐标为，求该抛物线的表达式；
（2）若点，都在该抛物线上，求b的最大值．
【答案】（1）解：∵抛物线，∴，
∴，∴该抛物线的表达式为
（2）解：点，都在该抛物线上，
∴对称轴为直线，
∴，∴，∴点N的坐标为，
代入，得，
∴当时，b有最大值，最大值为3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）先把抛物线的解析式化为顶点式，再根据顶点的纵坐标为-1列出方程，解方程求出a的值，即可得出答案；
（2）根据抛物线的对称轴求出c的值，从而得出点N的坐标，再把点N的坐标代入抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得出b的最大值.
22．（2022八下·济宁期末）如图，在正方形中，点E为对角线AC，BD交点，AF平分交于点G，交DG于点F．
（1）求证：．
（2）判断的形状．
（3）若，求GF的长．
【答案】（1）证明∶ 四边形 是正方形，
，
，
平分 ，
，
．
（2）结论∶ 是 等腰三角形．
理由∶ 四边形 是正方形，
平分
是等腰三角形；
（3）解：四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形；
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得 ，由角平分线的定义可得，从而可证；
（2）由正方形的性质可得由角平分线的定义可得22.5°，根据三角形外角的性质及角的和差可得出=45°，根据等腰三角形的判定即证；
（3）易得△AED 是等腰直角三角形，可得由可得从而求出AF=，利用GF=AF-AG即可求解.
1 / 1沪科版数学2022~2023学年年度九年级（上）期中考试模拟卷（B卷）
一、单选题
1．（2022九上·晋安月考）把抛物线y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣2）2+7 B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2+7 D．y＝﹣2（x+2）2+1
2．（2022九上·广水月考）对于抛物线的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（1，2）
C．抛物线的对称轴是直线 x＝1 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
3．（2022九上·淇滨开学考）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·黔东南）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·莲湖模拟）已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2022八下·环翠期末）如图，D是的边上一点，那么下面四个命题中错误的是（ ）
A．如果，则
B．如果，则
C．如果，则
D．如果，则
7．（2022九上·嘉鱼月考）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
8．（2022八下·东营期末）如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB交y轴于点F，轴，垂足是C，反比例函数的图象分别交BC，AB于点，E，若，则△ABC的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
9．（2022·覃塘模拟）如图，在中，D是边的中点，点E在边上，且，与交于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九上·绍兴月考）如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， ∠A=45° ， ∠C=90° ， AD=4cm ，CD=3cm 、动点M，N同时从点A出发，点M以 cm/s 的速度沿 AB 向终点B运动，点N以2cm/s 的速度沿折线 AD-DC 向终点C运动.设点N的运动时间为ts ，△AMN 的面积为 Scm ，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·奉贤期末）如果 ， 那么 ．
12．（2021九上·普宁期中）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边DF离地面的高度 ， ，则树AB的高度为 cm.
13．（2022·北京市）如图，在矩形中，若，则的长为 ．
14．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
15．（2021九上·路北期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ．抛物线与y轴交点为C，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 ．
三、综合题
16．（2019九上·大通月考）已知一个二次函数当 时，函数有最大值9，且图象过点 .
（1）求这个二次函数的关系式.
（2）设 ， ， 是抛物线上的三点，直接写出 的大小关系.
17．（2022九上·福州开学考）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
18．（2021九上·西安期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°.
（1）证明：△BDA∽△CED.
（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长.
19．（2021九上·淮北月考）已知P(－3，m)和Q(1，m)是抛物线上的两点．
（1）求b的值；
（2）判断关于x的一元二次方程是否有实数根，若有求出实数根；若没有请说明理由．
20．（2022·桐乡模拟）某校对教室采用药薰法进行灭蚊.根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量 与药物点燃后的时间 成正比例关系，药物燃尽后， 与 成反比例关系 如图 已知药物点燃 燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为 .
（1）分别求药物燃烧时和药物燃尽后， 与 之间函数的表达式.
（2）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量低于 时，对人体是安全的，那么从开始药薰，至少经过多少时间后，学生才能进教室？
（3）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于 且持续时间不低于 时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
21．（2022·安徽模拟）已知抛物线（a是实数）．
（1）若该当抛物线的顶点的纵坐标为，求该抛物线的表达式；
（2）若点，都在该抛物线上，求b的最大值．
22．（2022八下·济宁期末）如图，在正方形中，点E为对角线AC，BD交点，AF平分交于点G，交DG于点F．
（1）求证：．
（2）判断的形状．
（3）若，求GF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y＝﹣2x2+4的图象向左平移2个单位得到y＝﹣2（x+2）2+4，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝﹣2（x+2）2+4的图象向上平移3个单位可得到函数y＝﹣2（x+2）2+4+3，即y＝﹣2（x+2）2+7.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+2中，a＝﹣＜0，开口向下；顶点坐标为（1，2）；对称轴为x＝1；当x＞1时，y随着x的增大而减小．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数y=a（x-h）2+k的性质：当a＜0时，抛物线开口向下，可对A作出判断；顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，可对C，B作出判断；再利用二次函数的增减性，可对D作出判断.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、虽有两组边对应成比例，但相等的角不是它们的夹角，所以不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】有两组角对应相等的两个三角形相似，据此判断A、C；有两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此判断D.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一，三象限，选项C符合题意.
故答案为：C
【分析】观察二次函数的图象开口向上，可知a＞0，对称轴在y轴的左侧，左同右异，可得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得到c＜0，由此可得到直线y=ax+b所经过的象限，同时可得到 反比例函数 的两个分支所在的象限，由此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，
可知函数的对称轴x＝＝，
∴﹣＝，
∴m＝﹣1；
∴y＝x2﹣x﹣1，
将点（﹣1，n）代入函数解析式，可得n＝1；
∴m＋n＝﹣1＋1＝0.
故答案为：B.
【分析】由于两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性，可求出抛物线的对称轴为直线x=﹣＝，从而求出m值，将点（﹣1，n）代入函数解析式求出n值，继而得解.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A中∠ADB=∠ABC，∠A为公共角，所以，故A不符合题意；
B中∠ABD=∠C，∠A为公共角，所以，故B不符合题意；
C中对应边成比例，∠A为公共角，所以，故不符合题意；
D中对应边成比例，但夹角不相等，所以不一定相似，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令，则，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式，即可判断A、B、D；再求出y=0的x值，即得抛物线与x轴的交点坐标，据此判断C.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点D（-4，1）在反比例函数的图象上，BC⊥x轴，
∴k=-4×1=-4，C（-4，0），
∴ ，OC=4，
过点E作EH⊥x轴于H，则EH∥BC∥y轴，
∴OA：OH：HC=AF：EF：BE，
∵，OC=4，
∴OA=OH=HC=2，即AC=6，
∴点E的横坐标为-2，又点E在反比例函数的图象上，
将x=-2代入得y=2，∴EH=2，
∵EH∥BC，
∴∠AHE=∠ACB，又∠EAH=∠BAC，
∴△AHE∽△ACB，
∴即，
∴BC=3，
∴△ABC的面积为×3×6=9，
故答案为：C.
【分析】先求出AC=6，再求出△AHE∽△ACB，最后利用相似三角形的判定与性质求解即可。
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH∥BE，
∵点E在BC边上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵D是AB边的中点，，
∴DH为△ABE的中位线，
∴，
∴
∵，
∴
∴.
故答案为：B.
【分析】过点D作DH∥BE，根据平行线的性质可得∠FDH=∠FCE，∠FHD=∠FEC，证明△DFH∽△CFE，易得DH为△ABE的中位线，则，结合已知条件可得，然后根据相似三角形的性质进行计算.
10．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①如图，当0＜t≤2时，作MH⊥AN于N，
S=AN×MH=×2t×tcos45°=t2，
②如图，当2＜t≤3时，连接DM，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×（4-t）+×4×t-×4×（2t-4）
=-t2+4t，
③如图，当3＜t≤3.5时，连接BN，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×1+×4×3-×4×（2t-4）
=-3t+12，
综上可知，符合条件的函数图象是B.
故答案为：B.
【分析】分三种情况作答，即①当0＜t≤2时，②当3＜t≤3.5时，③当3＜t≤3.5时，用分割法分别求出 △AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ，
设 则
故答案为：
【分析】根据比例的性质即可得出答案。
12．【答案】420
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在△DEF和△DBC中，
∠D=∠D，
∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
解得BC=300cm，
∵ ，
∴AB=AC+BC=120+300=420m，
即树高420m．
故答案为：420.
【分析】先证明△DEF∽△DCB，再利用相似的性质列出比例式 ，求出BC的长，再利用线段的和差计算即可。
13．【答案】1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】先求出，BC=4，再求解即可。
14．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
15．【答案】y＝x+2；
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵y＝﹣（x﹣a）2+a+2，
∴顶点坐标为（a，a+2），
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝x+2；
在y＝﹣（x﹣a）2+a+2中，令x＝0可得y＝﹣a2+a+2，
∴OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，
∴OC是关于a的抛物线，开口向下，对称轴为a＝ ，
当﹣1≤a≤ 时，OC随a的增大而增大，当a＝﹣1时，OC＝0，当a＝ 时，OC＝ ，此时点C经过的路径长为 ；
当 ≤a≤2时，OC随a的增大而减小，当a＝ 时，OC＝ ，当a＝2时，OC＝0，此点C经过的路径长为 ；
∴当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 + ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣ ）2+ ，再分类讨论，计算求解即可。
16．【答案】（1）解：设
代入得
（2）解：根据（1）可知抛物线的对称轴为x=8
<0
则可知y2是函数的最大值；
又 与 是关于对称轴对称，
∴y1=y3
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式 ，然后把（0，1）代入求出a即可；（2）根据（1）可知抛物线的对称轴为x=8则可知 是顶点，再根据对称性可知y1=y3，则可比较大小
17．【答案】（1）解：设AD＝xm，则AB＝m，
根据题意得x ＝225，
解得x1＝15，x2＝45，
∵AD≤a＝20，
∴AD＝15，
答：AD的长为15m；
（2）解：设AD＝xm．
∴S＝x ＝﹣（x2﹣60x）＝﹣（x﹣30）2+300，
当a≥30时，则x＝30时取S最大值，最大值为300平方米，
当0＜a＜30时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为﹣a2+20a，
综上所述，当a≥30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为300m2；当0＜a＜30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为﹣a2+20a．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AD＝xm，观察图形，利用矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆，可表示出AB的长，再利用矩形的面积等于长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据AD≤a可得到AD的长；
（2）设AD＝xm，矩形的面积为S，利用矩形的面积公式可得到S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，分情况讨论：当a≥30时；当0＜a＜30时，可得到矩形的最大面积.
18．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∵∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝135°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝135°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BDA∽△CED；
（2）解：当AE＝DE时，
∴∠ADE＝∠DAE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝3；
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠B＝∠C＝45°，结合内角和定理可推出∠BAD＝∠CDE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）当AE＝DE时，由等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠DAE＝45°，根据∠BAC=90°可得∠BAD＝∠EAD＝45°，则AD平分∠BAC，进而推出AD垂直平分BC，据此解答.
19．【答案】（1）解：∵抛物线经过P（-3，m）和Q（1，m），
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
∴-，
∴b=4；
（2）解：方程有实数解．
对于方程2x2+4x+1=0，
∵Δ=42-4×2×1=8＞0，
∴关于x的一元二次方程2x2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
∴x=，
∴，．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x==-1，即可得到，求出b的值即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式及公式法求解即可。
20．【答案】（1）解：设药物燃烧时 关于 的函数关系式是 ，
将点 代入，得 ，
所以药物燃烧时 关于 的函数关系式是 ，自变量 的取值范围是 ；
设药物燃烧后 关于 的函数关系式是 ，
把 代入得：
，
所以药物燃烧后 与 的函数关系式为 ，
（2）解：当 时，代入 ，
得 ，
那么从药薰开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室；
（3）解：此次灭蚊有效，
将 分别代入 ， ，
得， 和 ，
那么持续时间是 ，
所以能有效杀灭室内的蚊虫.
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式是y=kx，将（8，6）代入求出k的值，据此可得对应的函数关系式；设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y=，将（8，6）代入求出m的值，据此可得对应的函数表达式；
（2）将y=1.6代入反比例函数解析式中求出x的值即可；
（3）将y=3代入（1）中的关系式中求出x的值，然后作差，再与10进行比较即可判断.
21．【答案】（1）解：∵抛物线，∴，
∴，∴该抛物线的表达式为
（2）解：点，都在该抛物线上，
∴对称轴为直线，
∴，∴，∴点N的坐标为，
代入，得，
∴当时，b有最大值，最大值为3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）先把抛物线的解析式化为顶点式，再根据顶点的纵坐标为-1列出方程，解方程求出a的值，即可得出答案；
（2）根据抛物线的对称轴求出c的值，从而得出点N的坐标，再把点N的坐标代入抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得出b的最大值.
22．【答案】（1）证明∶ 四边形 是正方形，
，
，
平分 ，
，
．
（2）结论∶ 是 等腰三角形．
理由∶ 四边形 是正方形，
平分
是等腰三角形；
（3）解：四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形；
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得 ，由角平分线的定义可得，从而可证；
（2）由正方形的性质可得由角平分线的定义可得22.5°，根据三角形外角的性质及角的和差可得出=45°，根据等腰三角形的判定即证；
（3）易得△AED 是等腰直角三角形，可得由可得从而求出AF=，利用GF=AF-AG即可求解.
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